1、引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說：“數(shù)學(xué)就是對(duì)于模式的研究。” 所謂數(shù)學(xué)模型，是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定研究對(duì)象，為了某個(gè)特定的目的，在做了一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并通過數(shù)學(xué)語言表述出來的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)中的各種基本概念，都以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景而抽象出來的數(shù)學(xué)概念。各種數(shù)學(xué)公式、方程式、定理、理論體系等等，都是一些具體的數(shù)學(xué)模型。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)說到底實(shí)際上就是教給學(xué)生前人給我們構(gòu)建的一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型和怎樣構(gòu)建模型的思維方法，以使學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題。 由此，我們可以看到，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力，關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象

2、為數(shù)學(xué)問題，通過解決數(shù)學(xué)問題，從而解決實(shí)際問題。本人結(jié)合實(shí)際教學(xué)談?wù)勥\(yùn)用數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題的實(shí)例。 實(shí)例一：二次函數(shù)與實(shí)際問題 1 中學(xué)課本中的實(shí)際例題。 在義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)教材蘇科版九年級(jí)上第34頁習(xí)題10：某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品。若按每件20元的價(jià)格銷售，每月能賣出360件，若按每件25元的價(jià)格銷售，每月能賣出210件。假定每月銷售件數(shù)y（件）與價(jià)格x（元/件）之間滿足一次函數(shù)。 （1） 試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。 （2） 在商品不積壓且不考慮其他因素的條件下，銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月的毛利潤(rùn)W最大？每月的最大毛利潤(rùn)是多少？ 解：（1） y=-30x+960

3、。 （2） 設(shè)每月的毛利潤(rùn)為W元，則 W=（x-16）（-30x+960） =-30x2+1440x-96016 =-30（x-24）2+1920。 當(dāng)x=24時(shí)，W有最大值，W最大值=1920。 答：將售價(jià)定為24元時(shí)，每月的最大毛利潤(rùn)為1920元。 2 在一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)中，敵方戰(zhàn)敗，敵方準(zhǔn)備乘飛機(jī)逃跑。我軍戰(zhàn)機(jī)監(jiān)測(cè)到敵方的飛機(jī)位于自己正南30 km外，正以3 km/s的速度向北逃去，而我方戰(zhàn)機(jī)的速度是4 km/s，由東向西追，如圖，請(qǐng)問我方戰(zhàn)機(jī)在何時(shí)方能有把握把敵機(jī)擊落（最近處）。 分析：設(shè)時(shí)間x秒，兩機(jī)相距s千米。 那么s是斜邊，兩直角邊分別為3x km，（30-4x）km，則 S= = 當(dāng)x

4、=4.8時(shí)，s有最小值 所以，經(jīng)過4.8秒后，去擊落敵機(jī)最有把握。 二次函數(shù)在各領(lǐng)域非常重要，上述二例說明了在經(jīng)濟(jì)、軍事上的實(shí)際應(yīng)用。當(dāng)然在其他方面如體育方面、建筑方面等都能用到二次函數(shù)，只要認(rèn)真觀察，仔細(xì)尋找，我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)就在身邊，數(shù)學(xué)不再是簡(jiǎn)單地運(yùn)算，而是生活中必不可少的成分。我們的生活與數(shù)學(xué)密不可分，我們通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)為生活服務(wù)。因此，對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的最優(yōu)化問題，如造價(jià)用料最少，利潤(rùn)產(chǎn)出最大等，可透過實(shí)際背景、建立變量之間的目標(biāo)函數(shù)二次函數(shù)，以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值問題。 實(shí)例二：不等式（或組）與實(shí)際問題 一群學(xué)生住若干間宿舍，每間住4人，剩19人無房住；每間住6人，有一間宿舍住不滿

5、。 （1） 設(shè)有x間宿舍，請(qǐng)寫出x應(yīng)滿足的不等式組。 （2） 可能有多少間宿舍和多少名學(xué)生？ 分析：（1） 設(shè)有x間宿舍，則有（4x+19）名學(xué)生， 根據(jù)題意，得： （2） 解不等式組，得 9.5x12.5。 因?yàn)閤是整數(shù)，所以x=10，11，12。 因此有三種可能，第一種，有10間宿舍，59名學(xué)生；第二種，有11間宿舍，63名學(xué)生；第三種，有12間宿舍，67名學(xué)生。 不等式在各領(lǐng)域都非常重要，上面的例子在房間分配上就用到了不等式組，其實(shí)，在市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)、生產(chǎn)決策和社會(huì)生活中都會(huì)用到不等式（或組）。如估計(jì)生產(chǎn)數(shù)量，核定價(jià)格范圍，盈虧平衡分析，投資決策等，則可挖掘?qū)嶋H問題所隱含的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等

6、式（組）的求解或目標(biāo)函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題。只要能建構(gòu)好適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，實(shí)際問題就迎刃而解了。 實(shí)例三：三角函數(shù)與實(shí)際問題 1. 熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30，看這棟高樓底部的俯角為60，熱氣球與高樓的水平距離為120 m。這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1 m）？ 分析：在RtABD中，=30，AD=120。所以可以利用解直角三角形的知識(shí)求出BD；類似地可以求出CD，進(jìn)而求出BC。 解：如圖=30，=60，AD=120。 tan=，tan=， BD=ADtan=120=40。 CD=ADtan=120tan60=120=120。 BC=BD+CD=40+120=160

7、227.1。 2. 如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個(gè)問題請(qǐng)你解決（如圖3）： 水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23 m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求斜坡AB的坡面角，壩底寬AD和斜坡AB的長(zhǎng)（精確到0.1 m）。 解：作BEAD，CFAD，垂足分別是E，F(xiàn) 在RtABE和RtCDF中， =，=。 AE=3BE=323=69（m） FD=2.5CF=2.523=57.5（m） AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5（m）。 因?yàn)樾逼翧B的坡度itan0.3333， =sin， AB=72.7（m）。 1826 答：斜坡AB的坡角約為1

8、826，壩底寬AD為132.5米，斜坡AB的長(zhǎng)約為72.7米。 三角函數(shù)在各領(lǐng)域也非常重要，上面二個(gè)例子說明測(cè)樓房高度、大壩計(jì)算方面用到了三角函數(shù)。平常生活中普遍存在著三角函數(shù)的應(yīng)用問題，如對(duì)測(cè)高、測(cè)距、航海，燕尾槽、攔水壩、人字架的計(jì)算等應(yīng)用問題，則可建立三角函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為解三角形問題。因此我們學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)模型的建立，充分挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)涵，解決問題的能力會(huì)大大提高。 實(shí)例四：幾何與實(shí)際問題 1. 在足球比賽場(chǎng)上，甲、乙兩名隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖向A點(diǎn)時(shí)，乙已跟隨沖到B點(diǎn)，此時(shí)甲是自己直接射門好，還是迅速將球回傳給乙讓乙射門好？ 分析：在真正的足球比賽中，情況會(huì)很復(fù)雜，這里僅用

9、數(shù)學(xué)方法從靜止的兩點(diǎn)加以考慮，如果兩個(gè)點(diǎn)到球門距離相差不大，要確定較好的射門位置，關(guān)鍵是看這兩個(gè)點(diǎn)各自對(duì)球門MN的張角大小，當(dāng)張角較小時(shí)，則球容易被對(duì)方守門員攔截。 如在AMN，BMN中，比較MBN與NAM這兩個(gè)張角的大小（圖4）。 2. 如圖5，某貨船以20海里每時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨。此時(shí)，接到氣象部門通知，一臺(tái)風(fēng)中心正以40海里每時(shí)的速度由A向北偏西60方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均受影響。 （1） 問：B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說明理由； （2） 為避免受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物

10、？ 分析：（1） 過B作BDAC于D，在RtABD中，可知BAC=30，BD=AB=2016=160200； （2） 以點(diǎn)B為圓心，200海里為半徑畫圓交AC于EF，由勾股定理得DE=120， AD=160，AE=AD-DE=16-160，所以3.8（小時(shí)）為卸完貨物的時(shí)間。 解：（1）過B作BDAC于D，在Rt ABD中，可知BAC=30，BD=AB=2016=160（海里）200（海里），所以B處會(huì)受臺(tái)風(fēng)的影響。 （2） 以點(diǎn)B為圓心，200海里為半徑畫圓交AC于EF，由勾股定理得DE=120，AD=160，AE=AD-DE=16-160， 所以t=3.8（小時(shí)）。 答：為避免受到臺(tái)風(fēng)影響

11、，該船應(yīng)在3.8小時(shí)內(nèi)卸完貨物。 幾何在各領(lǐng)域也非常重要，上面二個(gè)例子說明在足球比賽、貨物的裝卸用到了幾何。幾何的圖形在我們現(xiàn)實(shí)生活中到處可見，諸如工程定位、邊角余料加工、拱橋計(jì)算、皮帶傳動(dòng)、修復(fù)破殘輪片、跑道的設(shè)計(jì)與計(jì)算等應(yīng)用問題，涉及一定圖形的性質(zhì)常需建立幾何模型，轉(zhuǎn)化為幾何問題求解，因此，只要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，學(xué)生的應(yīng)用能力會(huì)得到進(jìn)一步的提高。 綜上所述，數(shù)學(xué)模型是一種符號(hào)模型，它的解釋就是反映特點(diǎn)的具體實(shí)體內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模就是要把現(xiàn)實(shí)生活中具體實(shí)體內(nèi)包含的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)字規(guī)律抽象出來，構(gòu)成數(shù)學(xué)模型，根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行推理求解，得出數(shù)學(xué)上的結(jié)論，返回解釋驗(yàn)證，以求解決實(shí)際問題。作為一種

12、思想方法，數(shù)學(xué)建模思想可以與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相依相隨、互相滲透、逐步升華。 數(shù)學(xué)建模處理的對(duì)象是一些復(fù)雜的應(yīng)用問題，它需要自己去挖掘，采集有用的信息：自己去提出模型的假設(shè)，求解的方式多種多樣，目標(biāo)可以不同的層次，結(jié)論也常常需要在多次反復(fù)中得到修正。好的建模過程常常有藝術(shù)品的特點(diǎn)，可以去品味和欣賞。學(xué)生由學(xué)習(xí)的受體變?yōu)橹黧w，與老師地位平等，師生互動(dòng)，因此極大的調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。多讓學(xué)生觀察生活，聯(lián)系實(shí)際，利用課本中的“想一想”“讀一讀”“試一試”“做一做”等為學(xué)生提供大量的學(xué)習(xí)和實(shí)踐的機(jī)會(huì)，使學(xué)生具有適應(yīng)生活和社會(huì)的能力，并能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和思想方法去思考和處理問

13、題，使他們?cè)诮鉀Q實(shí)際問題的過程中逐步形成數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)和應(yīng)用能力。從而達(dá)到綜合素質(zhì)的提高。 當(dāng)然，一切數(shù)學(xué)概念、公式、方程式和算式系統(tǒng)都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模思想滲透在中小學(xué)的教材中，因此，只要我們深入鉆研教材，挖掘教材蘊(yùn)涵的應(yīng)用數(shù)學(xué)的教材。并從中總結(jié)提練，就能找到數(shù)學(xué)建模的素材。 例如 （1） 拱橋、炮彈發(fā)射、衛(wèi)星軌道、面積大小、商品的盈利等問題都可以建立二次函數(shù)模型。 （2） 平均增長(zhǎng)率問題、（包括產(chǎn)量、繁殖、資金、利率）旅游、裝飾材料、商品的利潤(rùn)、濃度配比、工程施工及人員調(diào)配、行程等問題，則可列出方程轉(zhuǎn)化為方程求解問題 （3） 房間分配、方案設(shè)計(jì)、市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)、生產(chǎn)數(shù)量、核定價(jià)格范圍，盈虧平衡分析，投資決策等，則可挖掘?qū)嶋H問題所隱含的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式（組）的求解或目標(biāo)函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題。 （4） 對(duì)測(cè)高、測(cè)距、航海，燕尾槽、攔水壩、人字架的計(jì)算等應(yīng)用問題，則可建立三角模型，轉(zhuǎn)化為解三角形問題 （5） 足球比賽、工程定位、邊角余料加工、拱橋計(jì)算、皮帶傳動(dòng)、修復(fù)破殘輪片、跑道的設(shè)計(jì)與計(jì)算等應(yīng)用問題，涉及一定圖形的性質(zhì)常需建立幾何模型，轉(zhuǎn)化為幾何問題求解。 （6） 有些實(shí)際問題還可以用概率模型、統(tǒng)計(jì)模型及數(shù)列模型等來解決實(shí)際問題。 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，光憑傳授知識(shí)