1、小學(xué)數(shù)學(xué)牛吃草問題知識(shí)點(diǎn)總結(jié)： 牛吃草問題：牛吃草問題又稱為消長(zhǎng)問題或牛頓牧場(chǎng)，是 17 世紀(jì)英國(guó)偉大的科 學(xué)家 牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同 頭數(shù)的牛 吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長(zhǎng)的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不 斷地變化。小升初沖刺第 2 講牛吃草問題基本公式：1）設(shè) 定一頭牛一天吃草量為 “ 1”2）草的生長(zhǎng)速度 =（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù) X 吃的較多天數(shù)一相應(yīng)的牛頭數(shù) X 吃的較少天數(shù)）：（吃的較多天數(shù)一吃的較少天數(shù)）；3）原有草量 =牛頭數(shù) X 吃的天數(shù)一草的生長(zhǎng)速度 X 吃的天數(shù)；

2、 '4）吃的天數(shù) =原有草量：（牛頭數(shù)一草的生長(zhǎng)速度）；5 ） 牛頭數(shù) =原有草量：吃的天數(shù) +草的生長(zhǎng)速度。例 1 、牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了牧草，牧草每天勻速生長(zhǎng)，這片牧草可供10 頭牛吃 20 天，可供 15頭牛吃 10 天。問：這片牧草可供 25 頭牛吃多少天？解:假設(shè) 1頭牛 1天吃的草的數(shù)量是 1 份 草每天的生長(zhǎng)量： （200-150 ） 9（20-10 ）=5 份10X20=200份原草量+20天的生長(zhǎng)量 原草量：200-20X5=100 或150-10X5=100 份15X10=150 份原草量 +10 天的生長(zhǎng)量100： （25-5） =5 天自主訓(xùn)練牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了青草，而且每天

3、還在勻速生長(zhǎng)，這片牧場(chǎng)上的草可供 9 頭牛吃 20 天，可供 15 頭牛吃 10 天，如果要供 18 頭牛吃，可吃幾天？解:假設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草的數(shù)量是 1 份 草每天的生長(zhǎng)量 :（180-150 ）9（20-10 ）=3 份9X20=180 份原草量 +20 天的生長(zhǎng)量 原草量 :180-20X3=120 份 或 150-10X3=120 份15X10=150 份原草量 +10 天的生長(zhǎng)量 120： （18-3） =8 天 例 2 、由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天，或可供 15 頭牛吃 6 天。照此計(jì)算，可

4、供多少頭 牛吃 10 天？解：假設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草的數(shù)量是 1 份 草每天的減少量： ( 100-90) : (6-5) =10 份20X5=100份原草量-5天的減少量原草量：100+5X10=150 或90+6X10=150 份15X6=90 份原草量 -6 天的減少量( 150-10X10) ：10=5 頭自主訓(xùn)練 由于天氣逐漸寒冷，牧場(chǎng)上的牧草每天以均勻的速度減少，經(jīng) 測(cè)算，牧場(chǎng)上的草可供 30 頭牛吃 8天，可供 25 頭牛吃 9 天，那么可供 21 頭牛 吃幾 天？解：假設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草的數(shù)量是 1 份 草每天的減少量： ( 240-225) : (9-8) =1

5、5 份30X8=240 份原草量 -8 天的減少量 原草量： 240+8X15=360 份或 220+9X 15=360 份25X9=225 份原草量 -9 天的減少量 360： (21+15) =10 天例 3、自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走 20 級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走 15 級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了 5 分鐘到達(dá)樓上，女 孩用 了 6 分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級(jí)？男孩： 20X5 =100 ( 級(jí))自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù) -5 分鐘減少的級(jí)數(shù)女孩;15X6=90 (級(jí))自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)-6分鐘減少的級(jí)數(shù)每分鐘減少的級(jí)數(shù) =(20X5-15X6) 4

6、- (6-5) =10( 級(jí))自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù) =20X5+5X10=150(級(jí))自主訓(xùn)練 兩個(gè)頑皮孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走 3 級(jí)階梯， 女孩每秒可走 2 級(jí)階梯，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。問該扶梯共有多少級(jí)？3X100=300 自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù) +100 秒新增的級(jí)數(shù)2X300=600 自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù) +300 秒新增的級(jí)數(shù)每秒新增的級(jí)數(shù)： (2X300-3X100) 4- (300-100) =1. 5( 級(jí))自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù) =3X100-100X1. 5=150 (級(jí) )1, 有一片牧場(chǎng)，操每天都在勻速生長(zhǎng) (每天的增長(zhǎng)量相等 )

7、，如果放牧 24 頭 牛，則 6 天吃完草，如果放牧 21 頭牛，則 8 天吃完草，設(shè)每頭牛每天的吃草量 相等，問：要 使草永遠(yuǎn)吃不完，最多只能放牧幾頭牛？假設(shè) 1 頭 1 天吃 1 個(gè)單位24*6=14421*8=168168-144=24每天長(zhǎng)的草可供 24/2=12 頭牛吃最多只能放 12 頭牛2, 有一片草地，草每天生長(zhǎng)的速度相同。這片草地可供5頭牛吃 40 天，或 6 供頭牛吃 30 天。如果 4 頭牛吃了 30 天后，又增加 2 頭牛一起吃，這片草地還可 以再吃幾天？ 假設(shè) 1 頭 1 天吃 1 個(gè)單位5*40=200 ； 6*30=180200-180=20每天長(zhǎng)的草 : 20/

8、(40-30) =2原有草： 200-2*40=1204*30=120 , 30*2=6060/4=15 天3, 假設(shè)地球上新增長(zhǎng)資源的增長(zhǎng)速度是一定的，照此推算，地球上的資源可供 110 億人生活 90 年，或可供 90 億人生活 210 年，為了人類不斷繁衍，那么地球 最多可以 養(yǎng)活多少億人？假設(shè) 1 億人頭 1 天吃 1 個(gè)單位110*90=9900 ； 90*210=1890018900-9900=90009000/(210-90)=754, 一游樂場(chǎng)在開門前有 100 人排隊(duì)等候，開門后每分鐘來的游客是相同的，一 個(gè)入口處每分鐘可以放入 10 名游客，如果開放 2 個(gè)入口處 20 分

9、鐘就沒人排隊(duì)， 現(xiàn)開放 4 個(gè)入口處，那么開門后多少分鐘后沒人排隊(duì)？2*20*10=400400-100=300300/20=15100+15*4=160160/(4*10)=4( 1)因?yàn)椴萘?=原有草量 +新長(zhǎng)出的草量，而且草量是均勻增長(zhǎng)的。所以“對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù) X 吃的較多天數(shù) ”就代表了第一次情況下的總草量，即 為：吃的 較多天數(shù)時(shí)的總草量 =草地原有草量 +草的生長(zhǎng)速度 *較多天數(shù)時(shí)的時(shí)間。 同理 “相應(yīng) 的牛頭數(shù) X 吃的較少天數(shù) ” 代表了第二次情況下的總草量，即為：吃 的較少天數(shù)時(shí)的 總草量=草地原有草量+草的生長(zhǎng)速度*較少天數(shù)時(shí)的時(shí)間。兩個(gè)一做差，式子中的 “原有草量”就被減掉

10、了，等號(hào)的左邊就是兩次情況之下 總草 量的差，右邊等于草的生長(zhǎng)速度 *兩次情況下的時(shí)間差，所以直接把時(shí)間差 除到左邊 去，就得到了草的生長(zhǎng)速度了。（2 ）牛吃的草的總量包括兩個(gè)方面，一是原來草地上的草，而是新增長(zhǎng)出來的草。所以“牛頭數(shù)X吃的天數(shù)”表示的就是牛一共吃了多少草，牛在這段時(shí)間把 草吃干凈 了，所以牛一共吃了多少草就也表示草的總量。當(dāng)然草的總量減去新增長(zhǎng)出來的草的數(shù)量，就剩下原來草地上面草的數(shù)量了。牛吃草問題概念及公式牛吃草問題又稱為消長(zhǎng)問題或牛頓牧場(chǎng)，是17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家 牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同

11、，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長(zhǎng)的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問題常用到四個(gè)基本公式，分別是1）設(shè)定一頭牛一天吃草量為 “ 1”1） 草的生長(zhǎng)速度=（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)一相應(yīng)的牛頭數(shù) X吃 的較少 天數(shù)）4-（吃的較多天數(shù)一吃的較少天數(shù)）；2）原有草量=牛頭數(shù)X吃的天數(shù)一草的生長(zhǎng)速度 x吃的天數(shù)；3 ）吃的天數(shù)=原有草量+ （牛頭數(shù)一草的生長(zhǎng)速度）；4）牛頭數(shù)=原有草量+吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度。這四個(gè)公式是解決消長(zhǎng)問題的基礎(chǔ)。由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長(zhǎng)的，所以解決消長(zhǎng)問題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。牧場(chǎng)上原有的草

12、是不變的，新長(zhǎng)的草雖然在變化，但由于是勻速生長(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草量應(yīng)該是不變的。正是由于這個(gè)不變量，才能夠?qū)С錾厦娴乃膫€(gè)基本公式。牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長(zhǎng)出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問題。這類問題的基本數(shù)量關(guān)系是：1. （牛的頭數(shù)X吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù)X吃草較少的天數(shù)）+ （吃的較多的 天數(shù)-吃的較少的天數(shù)）=草地每天新長(zhǎng)草的量。2. 牛的頭數(shù)X吃草天數(shù)-每天新長(zhǎng)量X吃草天數(shù)=草地原有的草

13、。解多塊草地的方法多塊草地的“牛吃草”問題，一般情況下找多塊草地的最小公倍數(shù)，這樣可以減少運(yùn)算難度，但如果數(shù)據(jù)較大時(shí)，我們一般把面積統(tǒng)一為“相對(duì)簡(jiǎn) 單些。“牛吃草”問題分析華圖公務(wù)員考試研究中心數(shù)量關(guān)系資料分析教研室研究員姚璐【華圖名師姚璐例 1】有一塊牧場(chǎng)，可供 10 頭牛吃 20 天，15 頭牛吃 10天，則 它可供 25 頭牛吃多少天？A.3 B.4 C.5 D.6【華圖名師姚璐答案】 C【華圖名師姚璐解析】設(shè)該牧場(chǎng)每天長(zhǎng)草量恰可供 X 頭牛吃一天，這 片草場(chǎng)可 供 25 頭牛吃 Y 天根據(jù)核心公式代入(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-

14、5)=5(天 )璐例 2】有一塊牧場(chǎng)，可供 10 頭牛吃 20 天，15 頭牛吃 10 天，則它 可供多少頭 牛吃 4 天？A.20 B.25 C.30 D.35【華圖名師姚璐答案】 C【華圖名師姚璐解析】設(shè)該牧場(chǎng)每天長(zhǎng)草量恰可供 X 頭牛吃一天， 根據(jù)核心公式代入(20x10-15x10)=5 10x20-5x20=100 100-4+5=30( 頭 )【華圖名師姚璐例 3】如果 22 頭牛吃 33 公畝牧場(chǎng)的草， 54 天后可以 吃盡， 17 頭牛吃 28 公畝牧場(chǎng)的草 ， 84 天可以吃盡，那么要在 24 天內(nèi)吃盡 40 公畝牧場(chǎng)的草， 需要多少頭牛？A.50 B.46 C.38 D.3

15、5【華圖名師姚璐答案】 D【華圖名師姚璐解析】設(shè)每公畝牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出來的草可供 X 頭牛吃 1 天，每 公畝草場(chǎng)原有牧草量為 Y ,24 天內(nèi)吃盡 40 公畝牧場(chǎng)的草，需要 Z 頭牛根據(jù)核心公式：，代入, 因此，選擇 D【華圖名師姚璐注釋】這里面牧場(chǎng)的面積發(fā)生變化，所以每天長(zhǎng)出的 草量不再 是常量。下面我們來看一下上述 “牛吃草問題 ” 解題方法，在真題中的應(yīng)用。【華圖名師姚璐例 4 有一個(gè)灌溉用的中轉(zhuǎn)水池，一直開著進(jìn)水管往里灌水，一段時(shí)間后，用 2 臺(tái)抽水機(jī)排水，則用 40 分鐘能排完；如果用 4 臺(tái) 同樣的抽水機(jī)排水， 則用 16 分鐘排完。問如果計(jì)劃用 10 分鐘將水排完， 需要多少臺(tái)抽

16、水機(jī)？【廣東 2006 ±A.5 臺(tái) B.6 臺(tái) C.7 臺(tái) D.8 臺(tái) 【華圖名師姚璐答案】 B【華圖名師姚璐解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當(dāng)于 X 臺(tái)抽水機(jī)的排水 量，共需Y 臺(tái)抽水機(jī)有恒等式：解，得，代入恒等式【華圖名師姚璐例 5】有一水池，池底有泉水不斷涌出，要想把水池的水抽干，10 臺(tái)抽水機(jī)需抽 8 小時(shí)， 8 臺(tái)抽水機(jī)需抽 12 小時(shí)，如果用 6 臺(tái)抽 水機(jī)，那么需抽多 少小時(shí)？【北京社招 2006A.16 B.20 C.24 D.28【華圖名師姚璐答案】 C【華圖名師姚璐解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當(dāng)于 X 臺(tái)抽水機(jī)的排水 量，共需 丫小時(shí)有恒等式：解，得，代入恒等式【華圖名

17、師姚璐例 6】林子里有猴子喜歡吃的野果， 23 只猴子可在 9 周內(nèi)吃光， 21 只猴子可在 12 周內(nèi)吃光，問如果有 33 只猴子一起吃，則需 要幾周吃光？(假定 野果生長(zhǎng)的速度不變)【浙江 2007A.2 周 B.3 周 C.4 周 D.5 周【華圖名師姚璐答案】 C【華圖名師姚璐解析】設(shè)每天新生長(zhǎng)的野果足夠 X 只猴子吃， 33 只猴 子共需 Y 周吃完有恒等式：解，得，代入恒等式【華圖名師姚璐例 7 物美超市的收銀臺(tái)平均每小時(shí)有 60 名顧客前來 排隊(duì)付款， 每一個(gè)收銀臺(tái)每小時(shí)能應(yīng)付 80 名顧客付款。某天某時(shí)刻，超市 如果只開設(shè)一個(gè)收銀 臺(tái)，付款開始 4 小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了，問如果

18、當(dāng)時(shí) 開設(shè)兩個(gè)收銀臺(tái)，則付款開始幾 小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了【浙江 2006A.2 小時(shí) B.1.8 小時(shí) C.1.6 小時(shí) D.0.8 小時(shí)【華圖名師姚璐答案】 D【華圖名師姚璐解析】設(shè)共需 X 小時(shí)就無人排隊(duì)了。例題：1、旅客在車站候車室等車，并且排隊(duì)的乘客按一定速度增加，檢查速度也一定, 當(dāng)車站放一個(gè)檢票口，需用半小時(shí)把所有乘客解決完畢，當(dāng)開放2 個(gè)檢票口時(shí)，只要 10 分鐘就把所有乘客 OK 了求增加人數(shù)的速度還有原來 的人數(shù)設(shè)一個(gè)檢票口一分鐘一個(gè)人1 個(gè)檢票口 30 分鐘 30 個(gè)人2 個(gè)檢票口 10 分鐘 20 個(gè)人(30-20)4-(30-10)=0.5 個(gè)人原有 1x30-30x0

19、.5=15 人 或 2x10-10x0.5=15 人2、有三塊草地，面積分別是 5, 15, 24 畝。草地上的草一樣厚，而且 長(zhǎng)得一樣快。 第一塊草地可供 10 頭牛吃 30 天，第二塊草地可供 28 頭牛吃 45 天，問第三塊地可供 多少頭牛吃 80 天？這是一道牛吃草問題，是比較復(fù)雜的牛吃草問題。 把每頭牛每天吃的草看作 1 份。因?yàn)榈谝粔K草地 5畝面積原有草量 + 5 畝面積 30 天長(zhǎng)的草 =10x30 = 3 00 份 所以每畝面積原有草量和每畝面積 30 天長(zhǎng)的草是 300-5 = 60 份 因?yàn)榈诙K草地 15畝面積原有草量 + 15 畝面積 45 天長(zhǎng)的草 = 28x45 = 1260 份 所以每畝面積原有草量和每畝面積 45 天長(zhǎng)的草是 1260-15 = 84 份 所以 45 30 = 15 天，每畝面積長(zhǎng) 84 60