1、安陽師范學院本科學生畢業論文微分中值定理及其應用作 者張慶娜系（院）數學與統計學院專 業數學與應用數學年 級2006級學 號06081090指導老師姚合軍論文成績日 期2010年6月學生誠信承諾書本人鄭重承諾：所成交的論文是我個人在導師指導下進行的研究工作即取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包括其他人已經發表的或撰寫的研究成果，也不包括為獲得安陽師范學院或其他教育機構的學位或證書所需用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所作出的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。簽名：日期：論文使用授權說明本人完全了解安陽師范學院有關保留、使用學位論文的規定，即

2、：學校有權保留送交論文的復印件，允許論文被查閱和借閱；學校可以公布論文的全部或部分內容，可以采用影印、縮印或其他復制手段保存論文。簽名：導師簽名：日期微分中值定理及其應用張慶娜（安陽師范學院數學與統計學院, 河南安陽455002）摘要：介紹了使用微分中值定理一些常見方法,討論了洛爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在證明中根的存在性、不等式、等式及判定級數的斂散性和求極限等方面的應用,最后通過例題體現微分中值定理在具體問題中的應用.關鍵詞：連續；可導；微分中值定理；應用1 引言人們對微分中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代.古希臘數學家在幾何研究中,得到如下論：“拋物線弓形的頂點的切

3、線必平行于拋物線弓形的底”,這正是拉格朗日定理的特殊情況.希臘著名數學家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用這一結論,求出拋物弓形的面積.意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在不可分量幾何學(1635年) 的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理,其中引理3基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦,這是幾何形式的微分中值定理,被人們稱為卡瓦列里定理.人們對微分中值定理的研究,從微積分建立之始就開始了.1637,著名法國數學家費馬(Fermat) 在求最大值和最小值的方法中給出費馬定理,在教科書中,人們通常將它稱為費馬定理.1691年,法國數學家羅

4、爾(Rolle) 在方程的解法一文中給出多項式形式的羅爾定理.1797年,法國數學家拉格朗日在解析函數論一書中給出拉格朗日定理,并給出最初的證明.對微分中值定理進行系統研究是法國數學家柯西(Cauchy) ,他是數學分析嚴格化運動的推動者,他的三部巨著分析教程、無窮小計算教程概論 (1823年)、微分計算教程(1829年),以嚴格化為其主要目標,對微積分理論進行了重構.他首先賦予中值定理以重要作用,使其成為微分學的核心定理.在無窮小計算教程概論中,柯西首先嚴格地證明了拉格朗日定理,又在微分計算教程中將其推廣為廣義中值定理柯西定理.從而發現了最后一個微分中值定理.近年來有關微分中值定理問題的研究

5、非常活躍,且已有豐富的成果,相比之下,對有關中值定理應用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等數學的一個重要基本內容,而且無論是對數學專業還是非數學專業的學生,無論是研究生入學考試還是更深層次的學術研究,中值定理都占有舉足輕重的作用,因此有關微分中值定理應用的研究顯得頗為必要.2 預備知識由于微分中值定理與連續函數緊密相關,因此有必要介紹一些閉區間上連續函數的性質、定理.定理2.1 (有界性定理) 若函數在閉區間上連續,則在上有界.即$常數 ,使得"Î有.定理2.2（最大、最小值定理）若函數在閉區間上連續,則在上有最大值與最小值.定理2.3（介值性定理）設函數在閉區間上

6、連續,且.若為介于與之間的任意實數(或),則至少存在一點使得 .定理2.4（根的存在定理） 若函數在閉區間上連續,且與異號（即）.則至少存在一點使,即方程在開區間內至少有一個根.定理2.5（一致連續性定理） 若函數在閉區間上連續,則在閉區間上一致連續.定理2.6 設區間的右端點為；區間的左端點也為（其中,可分別為有限或無限區間）.若分別在和上一致連續,則在上也一致連續.定理2.7（比較原則） 設和是兩個正項級數,如果存在某正數,對一切都有,則（1）若級數收斂,則級數也收斂；（2）若級數發散,則級數也發散.定理2.8 絕對收斂的級數一定收斂.3 相關的幾個重要定理定理3.1（費馬定理） 設函數在

7、點的某鄰域內有定義,且在點可導,若點為的極值點,則必有.定理3.2（羅爾中值定理） 若函數滿足如下條件：（1）在閉區間上連續；（2）在開區間內可導；（3）,則在開區間內至少存在一點,使得.定理3.3（拉格朗日中值定理） 若函數滿足如下條件：（1）在閉區間上連續；（2）在開區間內可導；則在開區間內至少存在一點,使得.定理3.4（柯西中值定理） 若函數,滿足如下條件：（1）在閉區間上連續；（2）在開區間內可導；（3）,不同時為零； （4）；則在開區間內存在一點,使得.注 上面各定理的條件是充分的,但不是必要的.4 微分中值定理的應用4.1 證明有關等式在證明一些出現導數的等式時,進行適當的變形后,

8、考慮應用微分中值定理加以證明.還有,就是我們在證明一些與中值定理有關的題目時,構造輔助函數是解決問題的關鍵.在證明題中巧妙選用和構造輔助函數,進行系統分析和闡述,從而證明相關結論.5是定義在實數集上的函數,若對任意,有,其中是常數,則是常值函數.證明 對任意,的改變量為,由條件有,即,兩邊關于取極限得所以.由中值定理,即,故在上是常值函數.思路總結 要想證明一個函數在某區間上恒為常數一般只需證明該函數的導函數在同一區間上恒為零即可.2設,證明：存在,使得.證明 由于在上連續,在內可導, .符合羅爾中值定理的條件,故存在,使例4.1.3 若在上有三階導數,且,設,試證在內至少存在一個,使.證明

9、由題設可知,在上存在,又,由羅爾中值定理,使,又可知在上滿足羅爾中值定理,于是,使得,又對存在,使 .4（達布定理的推論） 若函數在內有有限導數,且,則至少存在,使得.證明 ,不妨設,因為由極限的局部保號性可知,當時, ,即.同樣,當時,即.取,于是在,中,分別有和.故,均不是在中的最小值,最小值一定是在內部的一點處取得,設為由費馬定理可知,.小結 證明導函數方程的根的存在性的證明方法有如下幾種：驗證函數在上滿足羅爾中值定理的三個條件,由此可直接證明.在大多數情況下,要構造輔助函數,驗證在上滿足羅爾中值定理的三個條件,證明,進而達到證明問題的目的.驗證為函數的極值點,應用費馬定理達到證明問題的

10、目的.例4.1.5 設在上連續,在內可導,試證：使.證明 由于,由于在上滿足柯西中值定理 ,所以使 ,由上面二式可得使得：.例4.1.6 設函數在上連續,在內可導,且.試證：對任意給定的正數在內不同的,使.證明 由于所以.又由于在上連續且.由介值性定理,使得,在上分別用拉格朗日中值定理有即即于是由上面兩式有將兩式相加得 即.小結 大體上說,證明在某區間內存在滿足某種等式的方法是：用兩次拉格朗日中值定理.用一次拉格朗日中值定理,一次羅爾中值定理.兩次柯西中值定理.用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理.4.2 證明不等式在證明不等式時,可以考慮從微分中值定理入手,找出切入點,靈活運用相關微分中

11、值定理,進行系統的分析,從而得以巧妙解決.3 設 在上連續；在內存在；在內存在點,使得求證在內存在,使.證明 由題設知存在,使在處取得最大值,且由知,也是極大值點,所以.由泰勒公式：.所以.例4.2.2 設,證明.證明 顯然等式當且僅當時成立.下證 當時,有作輔助函數,則在上滿足拉格朗日中值定理,則使由于,所以由有,即.小結 一般證明方法有兩種利用泰勒定理把函數在特殊點展開,結論即可得證.利用拉格朗日中值定理證明不等式,其步驟為：第一步 根據待證不等式構造一個合適的函數,使不等式的一邊是這個函數在區間上的增量；第二步 驗證在上滿足拉格朗日中值定理的條件,并運用定理,使得等式的另一邊轉化為；第三

12、步 把適當放大或縮小.4.3 利用微分中值定理求極限及證明相關問題例4.3.1 設函數在點的某一鄰域內可導,且其導數在連續,而當時,求 .解 設,則由拉格朗日中值定理有.已知,又在連續,即,所以.例4.3.2 若在內可導,且,求.分析 由式,引進輔助函數,顯然.解 由,知,當時,令,對,在上利用柯西中值定理有,即,亦有,或由于,所以當時有和,于是,使即.小結方法1 選擇適當的函數和區間利用拉格朗日中值定理并結合導函數的特點及極限的迫斂性求的最終結果.方法2 選擇適當的函數和區間利用柯西中值定理結合具體題意求的最終結果.4.4 證明零點存在性在證明方程根的存在性時,出現滿足中值定理的相關條件時,

13、可以考慮運用微分中值定理加以解決.從某種意義來說,微分中值定理為證明方程根的存在性提供了一種方法.例4.4.1 設且滿足,證明方程在內至少有一個實根.證明 引進輔助函數,顯然,又是多項式函數在上連續,在可導,滿足羅爾中值定理的條件,故存在使而故方程在內至少有一個實根.注 本題構造的依據是使得導數恰好是所證方程的左邊.例4.4.2 證明：方程有唯一正根.證明 （存在性）令,顯然是連續函數,取區間則在上連續,在內可導,且,由連續函數的零點定理,知存在使即方程有正根.（唯一性）下面用反證法證明正根的唯一性,設處外還有一個不妨設使則在上滿足羅爾中值定理條件,于是存在使這與上面的矛盾.所以,方程有唯一的

14、正根.例4.4.3 設在上連續,在內可導,證明使并由此說明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例.證明 作輔助函數由于,由羅爾中值定理知使, 若令,則由式有, 由式可得此即柯西中值定理.若令,由式有, 由可得此即為拉格朗日中值定理.此類型題的一般解題方法小結證明根的存在性有以下兩種方法（1）構造恰當的函數,使；對使用洛爾定理即可證得結論存在,使得；（2）對連續函數使用介值定理；證明根的唯一性一般用反證法,結合題意得出矛盾,進而結論得證.4.5 函數的單調性6 證明：若函數在可導,單調增加,且,則函數在也單調增加.證明 對任意,且,則在與均滿足拉格朗日中值定理條件,于是分別存在,使,由于單調

15、增加,且,所以,從而,即函數在也單調增加.證明函數為單調函數一般有兩種方法：（1）利用函數單調的定義來證明；（2）利用導函數來證明.若在該區間上恒有則為單增函數；若在該區間上恒有則為單減函數.4.6 導數的中值估計7 設在上二次可微,則至少存在一點,使得.證明 因為函數在與上可導,所以由中值定理有 （1） （2）,并整理得, （3）又,且在上二次可微,則分別在與內至少存在與,使 （4） （5）,并整理得 （6）將（6）式代入（3）式得令,則即,.解題方法小結選擇適當的區間分別利用拉格朗日中值定理并進行適當處理,再結合具體題目采用適當的手段最終證得所求結論.4.7 證明函數在區間上的一致連續例4

16、.7.1 設函數在內連續且可導,有,證明：在內一致連續.證明 由函數極限的局部有界性知,存在和,使于是,且不妨設由柯西中值定理,有即故,當,且時,由上面兩式得到于是知在上一致連續,由于在上連續,所以在上一致連續,由定理知在內一致連續.證明函數在區間上的一致連續解題小結：利用一致連續的定義并結合有關一致連續的定理即可證得結論成立.4.8 用來判定級數的斂散性例4.8.1 設函數在點的某鄰域內有二階連續導數,且,證絕對收斂.證明 由且在可導,知故在點處的一階泰勒公式為：,因,故.取有由于收斂,由比較判別知絕對收斂.定理8 已知為定義在上的減函數,為定義在上的連續函數,且,.當極限存在時,正項級數收

17、斂,設其和為,則；當極限時,正項級數發散.證明 下面只證定理的前半部分.因為函數在區間上滿足中值定理的條件（其中）,所以在內至少存在使得成立,又為減函數,故有.將上述個不等式相加得.令,則,（1）因極限存在,為減函數,從而數列有界,所以數列單調遞增且有上界,故極限存在,即級數收斂.從而,由（1）可得.例4.8.2 判定級數是否收斂？若收斂,請估計其和.解 令,則,故當時,此時為減函數,又,由定理知級數收斂,且,所以即.判定級數的斂散性的一般解題方法方法一 一般先運用泰勒定理并結合題意,再運用比較判別法即可得到所要證明的結論；方法二 先驗證級數滿足相關定理的條件,即可得到相應結論；5 總結人們對

18、微分中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代,對微分中值定理的研究從微積分建立之始就開始了.至今有關微分中值定理問題的研究非常活躍,且已有豐富的成果,相比之下,對有關中值定理應用的研究尚不是很全面.討論了洛爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在證明中根的存在性、不等式、等式及判定級數的斂散性和求極限等方面的應用,最后通過例題體現微分中值定理在具體問題中的應用.參考文獻1華東師范大學數學系編.數學分析M.北京:高等教育出版社第三版,2001.2孫清華,孫昊編. 數學分析內容、方法與技巧（上）M. 武漢:華中科技出版社, 2003.3錢吉林.數學分析題解精粹第二版M. 武漢: 湖北長江出版集團,2009.4鄧樂斌編. 數學分析的理論、方法與技巧M. 武漢:華中科技出版社,2005.5 王寶艷.微分中值定理的應用J.雁北師范學院學報,2005,2：5961.6賈田田,劉偉偉,霍麗元.微分中值定理的應用及其在特定條件下問題的思路分析J.工程科技Engineering Technolofy,2009,2下：182.7羅群.微分中值定理及其應用J.肇慶學院學報,2003,24（5）：3136.8劉章輝.微分中值定理及其應用J.山西大同大學學報(自然科學版),2007,2（27）:981.The Differential Mean-value