1、WORD格式絕密啟用前2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試*卷數(shù)學(xué)理工類本試卷分為第一卷選擇題和第二卷非選擇題兩局部，共150 分，考試用時(shí)120分鐘。第一卷1 至 2 頁(yè)，第二卷3 至 5 頁(yè)。答卷前， 考生務(wù)必將自己的*、*號(hào)填寫(xiě)在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效?？荚囃戤吅?，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第一卷本卷須知：1.每題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。2.本卷共 8 小題，每題 5 分，共 40 分。參考公式：·如果事件 A，

2、B 互斥，那么·如果事件A， B 相互獨(dú)立，那么P(A B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A) P(B)·棱柱的體積公式 V=Sh.·球的體積公式 V4R3.3其中 S 表示棱柱的底面面積，其中 R 表示球的半徑h 表示棱柱的高一、選擇題：在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1設(shè)集合A 1,2,6, B 2,4,C xR |1 x5 ，那么 (AB) CA 2 B 1,2, 4 C 1,2,4,6 D xR |1x52xy0,x2 y20,xy 的最大值為2設(shè)變量x, y滿足約束條件0,那么目標(biāo)函數(shù) zxy3,專業(yè)資料整理WORD格式1專

3、業(yè)資料整理WORD格式A2B1C3D3323閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，假設(shè)輸入N 的值為24，那么輸出 N 的值為A 0 B 1C2D34設(shè)R，那么“|是“ sin1的12122A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件 5雙曲線x2y21(a0, b 0) 的左焦點(diǎn)為F，離心率為2.假設(shè)經(jīng)過(guò) F 和a2b2P(0, 4) 兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，那么雙曲線的方程為A x2y21 Bx2y21Cx2y21 Dx2y2144884884 6奇函數(shù)f ( x)在 R 上是增函數(shù)，g( x)xf ( x) .假設(shè) a g (log25.1) ，

4、b g (2 0.8 ) ，c g (3) ，那么 a， b， c 的大小關(guān)系為A a b cB cb a C ba c D b c a7設(shè)函數(shù) f ( x)2sin(x) ， xR ，其中0，| |.假設(shè) f (5 )2 ， f () 0 ，88且 f ( x) 的最小正周期大于2，那么A 2 ，12B 2 ，12C1 ，24 D 3331 ，243專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式2x3,x1,8函數(shù)x設(shè) a R，假設(shè)關(guān)于 x 的不等式 f (x)| xa | 在R上恒f (x)21.x, x2x成立，那么 a 的取值X圍是47B 4739C 2 3,2D 39A,2,23

5、, 16161616第二卷本卷須知：1用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上。2本卷共 12 小題，共 110 分。二 . 填空題：本大題共 6 小題，每題5 分，共 30分 .9 aR ，i為虛數(shù)單位，假設(shè)ai為實(shí)數(shù)，那么 a 的值為.2i10一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，假設(shè)這個(gè)正方體的外表積為18，那么這個(gè)球的體積為. 11在極坐標(biāo)系中，直線4 cos()10與圓2 sin 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6_.12假設(shè)a,bR ，ab0，那么 a44b41的最小值為 _.ab 13 在ABC中，A60，AB3 ，AC 2.假設(shè) BD 2DC，AEACAB(R)，且ADAE4 ，那么的值為 _.

6、（ 14用數(shù)字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有 _個(gè) .用數(shù)字作答三 . 解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟15.本小題總分值13 分在ABC 中，內(nèi)角A, B,C 所對(duì)的邊分別為a, b, c .ab ，a 5, c36 ， sin B.5求 b 和 sin A 的值；求 sin(2 A)的值.416.本小題總分值13 分專業(yè)資料整理WORD格式3專業(yè)資料整理WORD格式從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3 個(gè)十字路口， 設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為1,1,1.

7、2 3 4設(shè) X 表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X 的分布列和數(shù)學(xué)期望；假設(shè)有2 輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2 輛車(chē)共遇到1 個(gè)紅燈的概率. 17本小題總分值13 分如圖，在三棱錐P-ABC 中， PA底面 ABC ，BAC90 .點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC 的中點(diǎn)， M 是線段 AD 的中點(diǎn)， PA=AC=4 ， AB=2.求證： MN 平面 BDE ；求二面角C-EM-N 的正弦值；點(diǎn)H 在棱 PA 上，且直線 NH 與直線 BE 所成角的余弦值為7，求線段 AH 的21長(zhǎng).18.本小題總分值13 分 an 為等差數(shù)列，前n 項(xiàng)和為Sn( nN )， bn是首

8、項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312 , b3a42a1， S1111b4.求 an 和 bn 的通項(xiàng)公式；求數(shù)列 a2nb2n 1 的前n項(xiàng)和 ( nN ).19本小題總分值14 分設(shè)橢圓 x2y21(a b 0) 的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A ，離心率為1.A是拋物線a2b22專業(yè)資料整理WORD格式4專業(yè)資料整理WORD格式y(tǒng)22 px( p0) 的焦點(diǎn)， F 到拋物線的準(zhǔn)線l 的距離為1.2I 求橢圓的方程和拋物線的方程；II 設(shè)l上兩點(diǎn)，關(guān)于 x 軸對(duì)稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)異于點(diǎn)A，直線BQP QB B與 x 軸相交于點(diǎn)D.假設(shè)APD的面積為6 ，求直線AP的方程.2 20本

9、小題總分值 14分設(shè) a Z，定義在R 上的函數(shù)f ( x)2x43x33x26x a 在區(qū)間 (1,2) 內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn) x0， g(x) 為 f ( x) 的導(dǎo)函數(shù).求 g (x) 的單調(diào)區(qū)間；設(shè) m1, x0 )( x0 , 2 ，函數(shù) h( x)g(x)(mx0 )f (m) ，求證： h(m)h( x0 )0 ；p求證：存在大于 0 的常數(shù)A，使得對(duì)于任意的正整數(shù)p, q ，且1, x0 )( x0 , 2,滿q足 | px0 |1 4.qAq專業(yè)資料整理WORD格式5專業(yè)資料整理WORD格式*理數(shù)答案1-4BDCA 5-8BCAA9.-2 ；10. 9；211.2；12.4 ；13.

10、 3 ；1114.108015.解：在ABC中，因?yàn)閍b ，故由sin B3，可得 cos B4 .由及余弦定55理，有 b2a2c22ac cos B13 ，所以 b13 .由正弦定理ab,得sin Aa sin B313sin Ab.sin B13所以， b 的值為13 ，sin A的值為3 13.13解：由及 a c ，得 cos A213，所以 sin 2 A 2sin A cos A1213，13cos 2A12sin2A5.故sin(2 Acos2 Asin 72)sin 2A cos4.13442616.解：隨機(jī)變量X 的所有可能取值為0,1,2,3.P( X0)(11)(11)

11、(11)1，2344P( X1)1(11)(11)(11 )1(11 )(1 1)(1 1)111，23423423424P(X 2)(11)111(11)111(11)1 ，2342342344P( X3)1111234.24所以，隨機(jī)變量X 的分布列為X0123P11111424424專業(yè)資料整理WORD格式6專業(yè)資料整理WORD格式隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望E( X ) 011112 13113 .42442412解：設(shè) Y 表示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z 表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，那么所求事件的概率為P(Y1Z)P(Y 0Z11111111424244.48所以，這2 輛車(chē)共遇到1 個(gè)

12、紅燈的概率為11 .48 17本小題主要考察直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等根底知識(shí).考察用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法.考察空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.總分值13 分 .如圖，以 A 為原點(diǎn)，分別以AB ， AC ， AP 方向?yàn)?x 軸、 y 軸、 z 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系 .依題意可得A 0， 0， 0， B 2，0， 0， C0， 4， 0， P 0， 0， 4， D 0，0， 2， E0， 2，2， M 0， 0， 1， N 1，2， 0 .證明：DE = 0， 2， 0， DB = 2， 0，2 .設(shè)n(x, y, z) ，為平面BDE 的法向量，那

13、么 n DE0 ，即2 y0.不妨設(shè)z 1，可得n(1,0,1) .又 MN =1， 2，1，可得n DB02 x2 z0MN n 0.因?yàn)?MN平面 BDE，所以 MN/ 平面 BDE .解：易知 n1(1,0,0) 為平面 CEM 的一個(gè)法向量 .設(shè)n2 ( x, y, z) 為平面 EMN 的法向量，專業(yè)資料整理WORD格式7專業(yè)資料整理WORD格式n2EM0(0, 2,1)， MN(1,2,1) ，所以2 yz0.不妨設(shè) y 1 ，那么，因?yàn)?EMn2MN0x2 yz0可得 n2(4,1, 2) .因此有 cosn1, n2n1 n24，于是 sinn1, n2105.| n1| n2

14、|2121所以，二面角CEM N 的正弦值為105 .21解：依題意，設(shè)AH =h 0h4 ，那么 H 0， 0， h，進(jìn)而可得 NH( 1, 2,h) ，BE (2,2,2). 由 已 知 ， 得 | cosNH ,BE| NHBE | 2h2 |37，整理得|NH |BE |h 25221221h80 ，解得 h8110h，或 h.52所以，線段 AH 的長(zhǎng)為8或1 .5218.【解析】 I設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d，等比數(shù)列 bn的公比為q .由 b2b312 ，得 b1 (qq2 )12，而 b12 ，所以 q2q60 .又因?yàn)?q0 ，解得 q2.所以，bn2n.由 b3a42a1，

15、可得 3da18 .由 S11=11b4，可得 a1 5d 16 ，聯(lián)立，解得a11 ，d3，由此可得an3n 2.所以，數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an3n 2，數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式為b2nn. II 解：設(shè)數(shù)列 a2nb2 n 1的前 n 項(xiàng)和為 Tn，由 a2n6n2 ， b2 n 124n 1，有 a2n b2 n 1(3 n 1) 4n，故 Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3 n1)4n 1，上述兩式相減，得3Tn24 3423433 4n(3 n1)4n 1專業(yè)資料整理WORD格式8專業(yè)資料整理WORD格式12(14n )4(3n1)4n 1

16、14(3n2)4n18.得 T3n24n18.n33所以，數(shù)列 a2n b2 n 1 的前 n 項(xiàng)和為3n24n18.3319.解：設(shè) F 的坐標(biāo)為 (c,0).依題意，c1pa，a1a 1，c1，2c，解得2a22p2 ，于是 b2a2c23 .4所以，橢圓的方程為x24 y21，拋物線的方程為y24x .3解：設(shè)直線AP 的方程為 xmy1(m0) ，與直線l的方程x1聯(lián)立，可得點(diǎn)P( 1,2)，故2將 xmy1與24y 21聯(lián)立，消去x，整理得mQ( 1, ).x3m(3 m24) y26my0 ，解得 y0 ，或 y6m.由點(diǎn)B異于點(diǎn)A，可得點(diǎn)3m24B(3m24 ,6m).由Q(1,

17、 2 ) ，可得直線 BQ 的方程為3m243m24m(6m2)( x1)3m241)(y2)0 ，令 y0，解得 x23m2，故(4m3m2 23m24 m3m2D( 23m2,0) .所以 | AD |123m26m2.又因?yàn)锳PD的面積為6 ，故3m223m223m22216m2226 ，整理得3m226 | m |20，解得 | m |6，所以 m6.23m2| m |233所以，直線 AP 的方程為3x6 y30 ，或 3x6 y30 .20.解：由f ( x)2x43x33x26x a ，可得 g(x)f ( x)8x39x26x6 ，進(jìn)而可得2x11g ( x)24 x18x6

18、令g ( x)0，解得，或 x.4當(dāng) x 變化時(shí)，g ( x), g( x)的變化情況如下表：x( ,1)11(1,)( , )44g ( x)+-+專業(yè)資料整理WORD格式9專業(yè)資料整理WORD格式g( x)所以， g (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是(, 1)，(1,) ，單調(diào)遞減區(qū)間是( 1,1).44證明：由h( x) g(x)(mx0 ) f (m) ，得 h(m) g (m)( mx0 )f ( m) ，h( x0 ) g (x0 )(m x0 ) f (m) .令函數(shù) H 1 (x)g( x)( xx0 )f (x) ，那么 H 1(x)g (x)( x x0 ) .由知，當(dāng) x1,2時(shí)

19、， g ( x)0，故當(dāng) x1, x0 ) 時(shí)， H 1 (x)0， H 1 ( x) 單調(diào)遞減；當(dāng)x ( x0 , 2 時(shí)，H 1 (x) 0， H 1 ( x)單調(diào)遞增.因 此 ， 當(dāng) x 1, x0 )( x0 ,2時(shí) ，H 1( x)H1 ( 0x )f (0，x可)得 H01( m)0,即 h(m) 0 .令函數(shù) H 2 (x) g (x0 )( xx0 ) f ( x) ，那么 H 2(x)g( x0 ) g( x) .由知， g( x) 在1,2 上單調(diào)遞增， 故當(dāng) x1, x0 ) 時(shí)， H 2( x)0 ， H 2 ( x) 單調(diào)遞增； 當(dāng) x (x0, 2時(shí)，H 2 ( x)0， H 2 ( x) 單調(diào)遞減.因此，當(dāng) x1,x0 )( x0 , 2 時(shí)， H 2 ( x) H 2 (x0 )0 ，可得 H 2 (m) 0,即 h(x0 )0 .所以， h(m) h(x0 )