1、2008 年第 25 屆中學生物理競賽復賽試題及參考1.(5 分)蟹狀脈沖星的輻射脈沖周期是 0.033s.假設它是由均勻分布的物質的球體，脈沖周期是它的旋轉周期，萬有引力是唯一能它離心分解的力，已知萬有引力常量 G=6.67×10-11m3·kg-1·s-2，由于脈沖星表面的物質未分離，故可估算出此脈沖星密度的下限是kg·m-3.，式中靜電力常量 k=8.98×109N·m2·C-2，電荷量 q 和q 的122.(5 分)在國際制中，庫侖定律寫成都是庫侖，距離 r 的的是米，作用力 F 的是米，作用力 F 的是.若把庫侖定

2、律寫成更簡潔的形式，式中距離 r是.由此式可定義一種電荷量 q 的新.當用米、千克、秒表示此新時，電荷新=；新與庫侖的關系為 1 新=C.3.(5 分)電子感應(betatron)的基本原理如下：一個圓環真空室處于分布在圓柱形體積內的磁場中，磁場方向沿圓柱的軸線，圓柱的軸線過圓環的圓心并與環面垂直.圓中兩個同心的實線圓代表圓環的邊界，與實線圓同心的虛線圓為電子在過程中運行的軌道.已知磁場的磁感應強度 B 隨時間 t 的變化規律為 B=B0cos(2t/T)，其中 T 為磁場變化的周期.B0 為大于 0 的常量.當B 為正時，磁場的方向垂直于紙面指向紙外.若持續地將初速度為 v0 的電子沿虛線圓

3、的切線方向注入到環內(如圖)，則電子在該磁場變化的一個周期內可能被的時間是從 t=到 t=.二、(21 分)嫦娥 1 號奔月與長征 3 號火箭分離后，進入繞地運行的橢圓軌道，近地點離24地面高 Hn=2.05×10 km，遠地點離地面高 Hf=5.0930×10 km，周期約為 16 小時，稱為 16 小時軌道(如圖中曲線 1 所示).隨后，為了使離地越來越遠，發先在遠地點點火，使進入新軌道(如圖中曲線 2 所示)，以抬高近地點.后來又連續三次在抬高以后的近地點點火，使加速和變軌，抬高遠地點，相繼進入 24 小時軌道、48 小時軌道和地月轉移軌道(分別如圖中曲線 3、4、5

4、 所示).已知質量 m=2.350×103kg，地球半徑 R=6.378×103km，地面重力1.試計算 16 小時軌道的半長軸 a 和半短軸 b 的長度，以及橢圓偏心率 e.度 g=9.81m/s2，月球半徑 r=1.738×103k2.在 16 小時軌道的遠地點點火時，假設所受推力的方向與速度方向相同，而且點火時間很短，可以認為橢圓軌道長軸方向不變.設推力大小 F=490N，要把近地點抬高到 600km，問點火時間應持續多長？3.試根據題給數據計算在 16 小時軌道的實際運行周期.4.之比值.最后進入繞月圓形軌道，距月面高度 Hm 約為 200km，周期 Tm

5、=127 分鐘，試據此估算月球質量與地球質量三、(22 分)足球射到球門橫梁上時，因速度方向不同、射在橫梁上的位置有別，其落地點也是不同的.已知球門的橫梁為圓柱形，設足球以水平方向的速度沿垂直于橫梁的方向射到橫梁上，球與橫梁間的滑動摩擦系數 =0.70，球與橫梁碰撞時的恢復系數 e=0.70.試問足球在橫梁上什么位置才能使球心落在球門線內(含球門上)？足球射在橫梁上的位置用球與橫梁的撞擊點到橫梁軸線的垂線與水平方向(垂直于橫梁的軸線)的夾角 (小于 90°)來表示.不計空氣及重力的影響.四、(20 分)圖示為低溫工程中常用的一種氣體、蒸氣壓溫度計的原理示意圖，M 為指針壓力表，以 V

6、M 表示其中可以容納氣體的容積；B 為測溫泡，處在待測溫度的環境中，以 VB 表示其體積；E 為貯氣容器，以 VE 表示其體積；F 為閥門.M、E、B 由體積可忽略的毛細連接.在 M、E、B 均處5在室溫T0=300K 時充以壓強p0=5.2×10 Pa 的氫氣.假設氫的飽和蒸氣仍遵從理想氣體狀態方程.現考察以下各問題：1.關閉閥門 F，使 E 與溫度計的其他部分隔斷，于是 M、B一簡易的氣體溫度計，用它可測量 25K 以上的溫度，這時 B 中的氫氣始終處在氣態，M 處在室溫中.試導出 B 處的溫度 T 和表顯示的壓強 p 的關系.除題中給出的室溫 T0 時 B 中氫氣的壓強 P0

7、外，理論上至少還需要測量幾個已知溫度下的壓強才能定量確定 T 與p之間的關系？2.開啟閥門 F，使 M、E、B 連通，一用于測量 2025K 溫度區間的低溫的蒸氣壓溫度計，此時表 M 測出的是液態氫的飽和蒸氣壓.由于飽和蒸氣壓與溫度有靈敏的依賴關系，知道了氫的飽和蒸氣壓與溫度的關系，通過測量氫的飽和蒸氣壓，就可相當準確地確定這一溫區的溫度.在設計溫度計時，要保證當 B 處于溫度低于 TV=25K 時，B 中一定要有液態氫存在，而當溫度高于 TV=25K 時，B 中無液態氫.到達到這一目的，VM+VE 與 VB 間應滿足怎樣的關系？5已知 TV=25K 時，液態氫的飽和蒸氣壓 pv=3.3

8、15;10 Pa.53.已知室溫下壓強 p1=1.04×10 Pa 的氫氣體積是同質量的液態氫體積的 800 倍，試論證蒸氣壓溫度計中的液態氣溢出測溫泡 B.五、(20 分)一很長、很細的圓柱形的由速度為 v 的勻速運動的低速電子組成，電子在中均勻分布，沿軸線每長度包含 n 個電子，每個電子的電荷量為-e(e0)，質量為 m.該從遠處沿垂直于平行板電容器極板的方向射向電容器，其前端(即圖中的右端)于 t=0 時刻剛好到達電容器的左極板.電容器的兩個極板上各開一個小孔，使可以不受阻礙地穿過電容器.兩極板A、B 之間加上了的周期性變化的電壓VAB(VAB=VA-VB)，圖中只畫出了一個周

9、期的圖線)，電壓的最大值和最小值分別為 V0 和-V0，周期為 T.若以 表示每個周期中電壓處于最大值的時間間隔，則電壓處于最小值的時間間隔為 T-.已知 的值恰好使在 VAB 變化的第一個周期內通過電容器到達電容器右邊的所有的電子，能在某一時刻 tb 形成均勻分布的一段.設電容器兩極板間的距離很小，電子穿過電容器所需要的時間可以忽略，且 mv2=6eV ，不計電子之間的相互作用及重力作用.01. 滿足題給條件的 和 tb 的值分別為 =T，tb=T.2. 試在下圖中畫出 t=2T 那一時刻，在 02T 時間內通過電容器的電子在電容器右側空間形成的電流 I，隨離開右極板距離 x 的變化圖線，并

10、在圖上標出圖線特征點的坐標(坐標的數字保留到小數點后第二位).取x 正向為電流正方向.圖中 x=0 處為電容器的右極板 B 的小孔所在的位置，橫坐標的.(本題按畫出的圖評分，不須給出計算過程)六、(22 分)零電阻是超導體的一個基本特征，但在確認這一事實時受到實驗測量精確度的限制.為克服這一最著名的實驗是長時間監測浸泡在液態氦(溫度 T=4.2K)中處于超導態的用鉛絲做成的單匝線圈(超導轉換溫度，TC=7.19K)中電流的變化.設鉛絲粗細均勻，初始時通有 I=100A 的電流，電流檢測儀器的精度為I=1.0mA，在持續一年的時間內電流檢測儀器沒有測量到電流的變化.根據這個實驗，試估算對超導態鉛

11、的電阻率為零的結論認定的上限為多大.設鉛中參與導電的電子數密度 n=8.00 ×1020m3，已知電子質量 m=9.11×10-31kg，基本電荷 e=1.60×10-19C.(采用的估算方法必須利用本題所給出的有關數據)七、(20 分)在地面上方垂直于太陽光的入射方向，放置一半徑 R=0.10m、焦距 f=0.50m 的薄凸透鏡，在薄透鏡下方的焦面上放置一黑色薄圓盤(圓盤中心與透鏡焦點重合)，于是可以在黑色圓盤上形成太陽的像.已知黑色圓盤的半徑是太陽像的半徑的兩倍.圓盤的導熱性極好，圓盤與地面之間的距離較大.設太陽輻射的能量遵從藩表面積上輻射的能量為 W=T4，

12、式中 為定律：在時間內在其藩常量，T 為輻射3體表面的的絕對溫度.對太而言，取其溫度 t5=5.50×10 .大氣對太陽能的吸收率為 =0.40.又設黑色圓盤對射到其上的太陽能全部吸收，同時圓盤也按藩定律輻射能量.如果不考慮空氣的對流，也不考慮雜散光的影響，試問薄圓盤到達穩定狀態時可能達到的最高溫度為多少攝氏度？八、(20 分)質子數與中子數互換的核互為鏡像核，例如 3He 是 3H 的鏡像核，同樣 3H 是 3He 的鏡像核.已知 3H 和3He 原子的質量分別是 m =3.016050u 和 m =3.016029u，中子和質子質量分別是 m =1.008665u 和m =1.0

13、07825u，3H3Henp，式中 c 為光速，靜電力常量，式中 e 為電子的電荷量.1. 試計算 3H 和 3He 的結合能之差為多少 MeV.2. 已知核子間相互作用的“核力”與電荷幾乎沒有關系，又知質子的半徑近似相等，試說明上面所求的結合能差主要是由什么造成的.并由此結合能之差來估計核子半徑 rN.3.實驗表明，核子可以被近似地看成是半徑 rN 恒定的球體；核子數 A 較大的原子核可以近似地被看成是半徑為 R的球體.根據這兩點，試用一個簡單模型找出 R 與 A 的關系式；利用本題第 2 問所求得的 rN 的估計值求出此關系式中的系數；用所求得的關系式計算 208Pb 核的半徑R .pb2

14、008 年第 25 屆中學生物理競賽復賽試題參考解答1.1.3×10142.1.06×10-5 (答 1.05×10-5 也給分)一、3.T二、參考解答：1.橢圓半長軸 a 等于近地點和遠地點之間距離的一半，亦即近地點與遠地點矢徑長度(皆指到地心的距離)rn 與 rf 的算術平均值，即有(1)代入數據得 a=3.1946×104km (2)橢圓半短軸 b 等于近地點與遠地點矢徑長度的幾何平均值，即有(3) 代入數據得 b=1.942×104km (4)橢圓的偏心率(5) 代入數據即得e=0.7941 (6)2.當在 16 小時軌道上運行時，以

15、vn 和vf 分別表示它在近地點和遠地點的速度，根據能量守恒，在近地點和遠地點能量相等，有(7)式中 M 是地球質量，G 是萬有引力常量. 因量守恒，有 mvnrn=mvfrf (8)在近地點和遠地點的速度都與到地心的連線垂直，根據角動注意到(9)由(7)、(8)、(9)式可得(10)沿 16 小時軌道運行時，根據題給的數據有(11)rn=R+Hn rf=R+Hf當由(11)式并代入有關數據得vf=1.198km/s (12)依題意，在遠地點發點火，對作短時間，度的方向與速度方向相同，后長軸方向沒有改變，故結束時，的速度與新軌道的長軸垂直，所在處將是新軌道的遠地點.所以新軌道遠地點高度的速度為

16、km，但新軌道近地點高度km.由(11)式，可求得在新軌道遠地點處(13)動量的增加量等于所受推力 F 的沖量，設發點火時間為t，有(14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有關數據得t=1.5×102s (約 2.5 分) (15)這比運行周期小得多.3.當沿橢圓軌道運行時，以 r 表示它所在處矢徑的大小，v 表示其速度的大小， 表示矢徑與速度的夾角，則的角動量的大小L=rmvsin=2m(16 )其中是(17)時間內掃過的面積，即矢徑在的面積速度.由于角動量是守恒的，故 是恒量.利用遠地點處的角動量，得(18)又因為運行一周掃過的橢圓的面積為S=ab (19)所以沿軌道運動

17、的周期(20)由(18)、(19)、(20) 式得(21)代入有關數據得 T=5.678×104s注：本小題有多種解法.例如，由(約 15 小時 46 分) (22)第三定律，繞地球運行的兩亇即的周期T 與T0 之比的于它們的軌道半長軸a 與a0 之比的立方，若 a0 是繞地球沿圓軌道運動的軌道半徑，則有得從而得代入有關數據便可求得(22)式.4.在繞月圓形軌道上，根據萬有引力定律和定律有(23)這里 rm=r+Hm 是繞月軌道半徑，Mm 是月球質量.由(23)式和(9)式，可得(24) 代入有關數據得(25)三、參考解答：足球射到球門橫梁上的情況(圖所在的平面垂直于橫梁軸線).圖中

18、B 表示橫梁的橫截面，O1 為橫梁的軸線；為過橫梁軸線并垂直于軸線的水平線；A 表示足球，O2 為其球心；O 點為足球與橫梁的碰撞點，碰撞點 O 的位置由直線 O1OO2 與水平線的夾角 表示.設足球射到橫梁上時球心速度的大小為 v0，方向垂直于橫梁沿水平方向，與橫梁碰撞后球心速度的大小為 v，方向用它與水平方向的夾角 表示（如圖）.以碰撞點O 為原點作直角坐標系 Oxy，y 軸與 O2OO1 重合.以 ?表示碰前速度的方向與 y 軸的夾角，以 表示碰后速度的方向與 y 軸(負方向)的夾角，足球被橫梁反彈后落在何處取決于反彈后的速度方向，即角 的大小.以 Fx 表示橫梁作用于足球的x 方向的分

19、量的大小，Fy 表示橫梁作用于足球的y 方向的分量的大小，t表示橫梁與足球相互作用的時間，m 表示足球的質量，有Fxt=mv0x-mvx(1)Fyt=mvy+mv0y(2)式中 v0x、v0y、vx 和 vy 分別是碰前和碰后球心速度在坐標系 Oxy 中的分量的大小.根據摩擦定律有Fx=Fy (3)由(1)、(2)、(3)式得(4)根據恢復系數的定義有vy=ev0y(5)因(6)(7)由(4)、(5)、(6)、(7)各式得(8)由圖可知 =+ (9)若足球被球門橫梁反彈后落在球門線內，則應有 90° (10)在臨界情況下，若足球被反彈后剛好落在球門線上，這時 =90°.由(

20、9)式得tan(90°-)=tan (11)因足球是沿水平方向射到橫梁上的，故 0=，有(12)這就是足球反彈后落在球門線上時入射點位置 所滿足的方程.解(12)式得(13)代入有關數據得 tan=1.6 (14)即 =58° (15)現要求球落在球門線內，故要求 58° (16) 四、參考解答：1.當閥門 F 關閉時，設封閉在 M 和B 中的氫氣的數為 n1，當B 處的溫度為 T 時，表顯示的壓強為 p，由理想氣體狀態方程，可知 B 和M 中氫氣的數分別為(1)(2)式中 R 為普適氣體恒量.因解(1)、(2)、(3)式得n1B+n1M=n1(3)(4)或(5)

21、(4)式表明， 與成線性關系，式中的系數與儀器結構有關.在理論上至少要測得兩個已知溫度下的壓強，作對的圖線，就可求出系數.確定 T 與p 之間的關系式.由于題中己給出室溫 T0 時的壓強 p0，故至少還要測定另一己知溫度下的壓強，才能定量2.若蒸氣壓溫度計測量上限溫度 Tv 時有氫氣液化，則當 B 處的溫度 TTv 時，B、M 和E 中氣態氫的總數應小于充入氫氣的數.由理想氣體狀態方程入氫氣的總數(6)假定液態氫上方的氣態氫仍可視為理想氣體，則 B 中氣態氫的數為(7)在(7)式中，已忽略了 B 中液態氫所占的微小體積.由于蒸氣壓溫度計的其它都分仍處在室溫中，其中氫氣的數為(8)根據要求有n2

22、B+n2M+n2En2(9)解(6)、(7)、(8)、(9)各式得(10)代入有關數據得 VM+VE18VB (11)五、與評分標準：1.(3 分) 2 (2 分)2.如圖(15 分.代表電流的每一線段 3 分，其中線段端點的橫坐標占 1 分，線段的長度占 1 分，線段的縱坐標占 1分)六、參考解答：如果電流有衰減，意味著線圈有電阻，設其電阻為 R，則在一年時間 t 內電流通過線圈因發熱而損失的能量為E=I2Rt (1)以 表示鉛的電阻率，S 表示鉛絲的橫截面積，l 表示鉛絲的長度，則有(2)電流是鉛絲中導電電子定向運動形成的，設導電電子的平均速率為 v，根據電流的定義有 I=Svne(3)所

23、謂在持續一年的時間內沒有觀測到電流的變化，并不等于電流一定沒有變化，但這變化超過電流檢測儀器的精度I，即電流變化的上限為I=1.0mA.由于導電電子的數密度 n 是不變的，電流的變小是電子平均速率變小的結果，一年內平均速率由 v 變為 v-v，對應的電流變化I=neSv (4)導電電子平均速率的變小，使導電電子的平均動能減少，鉛絲中所有導電電子減少的平均動能為lSnmvv(5)由于I<<I，所以v<<v，式中v 的平方項已被略去.由(3)式解出 v，(4)式解出v，代入(5)式得(6)鉛絲中所有導電電子減少的平均動能就是一年內因發熱而損失的能量，即Ek=E (7) 由(1)、(2)、(6)、(7)式解得(8)式中 t=365×24×3600s=3.15×107s (9)在(8)式中代入有關數據得 =1.4×10-26·m (10)所以電阻率為 0 的結論在這一實驗中只能認定到1.4×10-26·m (11) 七、參考解答：按照藩-定律，在時間內太陽表面面積發射的能量為(1)時間內整個太陽表面向其中 為外輻射的能量為藩-常量，Ts 為太陽表面的絕對溫度.若太陽的半徑為 Rs