1、第3章 圓3.1 圓3.1.1 圓的對稱性(第1課時)1.1.理解圓的對稱性及相關性質理解圓的對稱性及相關性質.(.(重點重點) )2.2.能正確運用能正確運用“垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦”解決問題解決問題.(.(重點、重點、難點難點) )1.1.觀察圖形，完成填空觀察圖形，完成填空. .線段線段OAOA繞繞_旋轉旋轉_所形成的圖形所形成的圖形就是圓，由旋轉的性質可知，圓周上任就是圓，由旋轉的性質可知，圓周上任一點到圓心的距離一點到圓心的距離_._.(1)(1)圓是平面內到一圓是平面內到一_的距離等于的距離等于_的所有點組成的圖形，這個的所有點組成的圖形，這個_叫做圓心，

2、叫做圓心，_叫做半徑叫做半徑. .定點定點O O一周一周相等相等定點定點定長定長定點定點定長定長(2)(2)圓也可以看成是平面內一個動點繞一個圓也可以看成是平面內一個動點繞一個_旋轉旋轉_所形所形成的圖形，成的圖形，_叫做圓心，定點與動點的連線段叫做半徑叫做圓心，定點與動點的連線段叫做半徑. .2.2.圓的有關概念圓的有關概念. .(1)(1)弦弦: :連結圓上任意兩點的連結圓上任意兩點的_._.(2)(2)直徑直徑: :經過經過_的弦的弦. .(3)(3)等圓等圓: :能夠能夠_的兩個圓的兩個圓. .定點定點一周一周定點定點線段線段圓心圓心重合重合3.3.圓的對稱性圓的對稱性. .(1)(1

3、)圓是圓是_圖形圖形, ,即圓繞圓心旋轉即圓繞圓心旋轉_角度角度, ,都能與自身都能與自身_._.特別地特別地, ,圓是中心對稱圖形圓是中心對稱圖形,_,_是它的對稱中心是它的對稱中心. .(2)(2)圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形,_,_所在的所在的_都是它的對稱軸都是它的對稱軸. .4.4.垂徑定理垂徑定理. .如圖如圖,CD,CD為為O O的直徑的直徑,AB,AB為弦為弦. .旋轉對稱旋轉對稱任意任意重合重合圓心圓心任意一條直徑任意一條直徑直線直線【思考思考】1.1.當當CDAB,CDAB,垂足為垂足為E E時時, ,將圓沿直線將圓沿直線CDCD對折對折, ,點點A A與點與點B B重合嗎

4、重合嗎? ?你會發現哪些相等的線段你會發現哪些相等的線段? ?提示提示: :重合重合.AE=BE.AE=BE.2.2.你能證明你能證明AE=BEAE=BE嗎嗎? ?提示提示: :連結連結OA,OB,OA,OB,則則OEOE為等腰為等腰AOBAOB底邊上的高底邊上的高,AE=BE.,AE=BE.【總結總結】_于弦的直徑于弦的直徑_這條弦這條弦. .垂直垂直平分平分(1)(1)直徑是弦直徑是弦. ( ). ( )(2)(2)以點以點O O為圓心只能作一個圓為圓心只能作一個圓. .( )( )(3)(3)圓是中心對稱圖形圓是中心對稱圖形, ,圓心是對稱中心圓心是對稱中心. .( )( )(4)(4)

5、如圖如圖, ,在在O O中中, ,當當AC=BCAC=BC時時,OCAB.,OCAB.( )( )知識點知識點 1 1 圓的定義及應用圓的定義及應用【例例1 1】如圖所示如圖所示,AB,AB是是O O的弦的弦, ,半徑半徑OC,ODOC,OD分別交分別交ABAB于點于點E,F,E,F,且且AE=BF,AE=BF,請你找出線段請你找出線段OEOE與與OFOF的數量關系的數量關系, ,并給予證明并給予證明. .【思路點撥思路點撥】作輔助線構造作輔助線構造OAEOAE與與OBF,OBF,然后證明這兩個三然后證明這兩個三角形全等角形全等, ,最后根據全等的性質得出結論最后根據全等的性質得出結論. .【

6、自主解答自主解答】OE=OF.OE=OF.證明證明: :連結連結OA,OB,OA=OB,OAE=OBF.OA,OB,OA=OB,OAE=OBF.又又AE=BF,AE=BF,OAEOAEOBF.OE=OF.OBF.OE=OF.【總結提升總結提升】圓的半徑相等的兩種應用圓的半徑相等的兩種應用1.1.利用半徑相等為三角形全等提供相等的邊利用半徑相等為三角形全等提供相等的邊. .2.2.構造等腰三角形構造等腰三角形, ,不在同一直線上的兩半徑與弦長構成等腰不在同一直線上的兩半徑與弦長構成等腰三角形三角形. .知識點知識點 2 2 圓的對稱性有關性質的應用圓的對稱性有關性質的應用【例例2 2】如圖是一個

7、隧道的橫截面如圖是一個隧道的橫截面, ,若它的形狀是以若它的形狀是以O O為圓心為圓心的圓的一部分的圓的一部分, ,路面路面AB=10m,AB=10m,凈高凈高CD=7m,CD=7m,則此圓的半徑則此圓的半徑OAOA是多是多少少m?m?【解題探究解題探究】1.1.根據題意及圖示，你能用數學符號語言表述對稱性有關定理根據題意及圖示，你能用數學符號語言表述對稱性有關定理嗎嗎( (假設假設CECE為為O O的直徑的直徑) )？提示：提示：CECE為為O O的直徑，的直徑，CEABCEAB，ADBD ACBC AEBE.，2.2.如何根據對稱性的有關定理求如何根據對稱性的有關定理求ADAD的長？的長？

8、提示：提示：在在O O中，中，AB=10 mAB=10 m，ODABODAB，AD= =5 m.AD= =5 m.3 3設設O O的半徑的半徑OAOA為為x mx m，請用代數式表示線段，請用代數式表示線段ODOD的長的長. .提示：提示：ODOD可表示為可表示為(7-x)m.(7-x)m.AB24 4應用對稱性的有關定理計算的關鍵是尋找以弦的一半、半應用對稱性的有關定理計算的關鍵是尋找以弦的一半、半徑和弦到圓心的垂線段為邊的直角三角形徑和弦到圓心的垂線段為邊的直角三角形. .利用勾股定理列方利用勾股定理列方程求解，請你找出此直角三角形，并求解程求解，請你找出此直角三角形，并求解. .提示：提

9、示：此直角三角形是此直角三角形是RtRtAOD.AOD.在在RtRtAODAOD中，中，OAOA2 2=OD=OD2 2+AD+AD2 2，即即x x2 2=(7-x)=(7-x)2 2+5+52 2，解得，解得x= .x= .即即OA= m.OA= m.377377【互動探究互動探究】若若D D點為弦點為弦ABAB上的一個動點，求線段上的一個動點，求線段ODOD的取值的取值范圍范圍. .提示：提示：1237OD77【總結提升總結提升】對稱性的有關定理基本圖形的四變量、兩關系對稱性的有關定理基本圖形的四變量、兩關系1.1.四變量：如圖，弦長四變量：如圖，弦長a a，圓心到弦的距離，圓心到弦的距

10、離d,d,半徑半徑r,r,弧的中點弧的中點到弦的距離到弦的距離( (弓形高弓形高)h,)h,這四個變量知任意兩個可求其他兩個這四個變量知任意兩個可求其他兩個. .2.2.兩關系：兩關系：( )( )2 2+d+d2 2=r=r2 2；h+d=r.h+d=r.a2題組一：題組一：圓的定義及應用圓的定義及應用1.1.半徑為半徑為5 cm5 cm的圓滿足的圓滿足O O上的點到圓心的距離上的點到圓心的距離( )( )A.A.大于大于5 cm B.5 cm B.小于小于5 cm5 cmC.C.不等于不等于5 cm D.5 cm D.等于等于5 cm5 cm【解析解析】選選D D根據圓的定義可得，根據圓的

11、定義可得，O O可以看成是到定點可以看成是到定點O O的的距離等于定長距離等于定長r r的點的集合的點的集合. .2.2.下列條件能確定圓的為下列條件能確定圓的為( )( )A.A.以已知點以已知點O O為圓心為圓心 B.B.經過已知點經過已知點O O，且半徑長為，且半徑長為2 cm2 cmC.C.以以2 cm2 cm長的線段為半徑長的線段為半徑 D.D.以已知點以已知點O O為圓心，為圓心，2 cm2 cm長的線段為半徑長的線段為半徑【解析解析】選選D.D.確定圓需要兩個條件，圓心和半徑確定圓需要兩個條件，圓心和半徑. .3.3.如圖，如圖，ABAB和和CDCD都是都是O O的直徑，的直徑，

12、AOC=50AOC=50，則，則C C的度數是的度數是( )( )A.20A.20 B.25 B.25C.30C.30 D.50 D.50【解析解析】選選B.ABB.AB和和CDCD都是都是O O的直徑，的直徑，OC=OBOC=OB，C=B.C=B.又又C+B=AOCC+B=AOC，C= AOC=25C= AOC=25124.4.若若P,M,NP,M,N三點到點三點到點O O的距離相等的距離相等, ,即即PO=MO=NO=2cm,PO=MO=NO=2cm,那那P,M,NP,M,N這這三個點在以點三個點在以點為圓心為圓心, ,以以為半徑的圓上為半徑的圓上. .【解析解析】P,M,NP,M,N這三

13、個點在一個圓上這三個點在一個圓上. .圓心是點圓心是點O,O,半徑的長度是半徑的長度是POPO的長度的長度. .答案答案: :O O2cm2cm5.5.如圖如圖,AOB=60,AOB=60, ,則則AOBAOB是是三角形三角形. .【解析解析】OA=OB,AOB=60OA=OB,AOB=60, ,AOBAOB是等邊三角形是等邊三角形. .答案答案: :等邊等邊6.6.如圖所示如圖所示,BD,CE,BD,CE是是ABCABC的高的高, ,求證求證:E,B,C,D:E,B,C,D四點在同一個圓四點在同一個圓上上. .【證明證明】取取BCBC的中點的中點F,F,連結連結DF,EF.DF,EF.BD,

14、CEBD,CE是是ABCABC的高的高, ,BCDBCD和和BCEBCE都是直角三角形都是直角三角形. .DF,EFDF,EF分別為分別為RtRtBCDBCD和和RtRtBCEBCE斜邊上的中線斜邊上的中線, ,DF=EF=BF=CF.E,B,C,DDF=EF=BF=CF.E,B,C,D四點在以點四點在以點F F為圓心為圓心, BC, BC為半徑的為半徑的圓上圓上. .12【歸納整合歸納整合】證明證明n n點共圓的方法點共圓的方法根據圓上各點到圓心的距離都相等根據圓上各點到圓心的距離都相等, ,所以只需要證明這所以只需要證明這n n個個點到某一點點到某一點O O的距離相等即可的距離相等即可,

15、,此時點此時點O O為圓心為圓心, ,任意一點到點任意一點到點O O的距離為該圓的半徑的距離為該圓的半徑. .題組二題組二: :圓的對稱性有關性質的應用圓的對稱性有關性質的應用1.1.下列命題中下列命題中, ,正確的是正確的是( () )A.A.圓只有一條對稱軸圓只有一條對稱軸B.B.圓的對稱軸有有限條圓的對稱軸有有限條C.C.圓有無數條對稱軸圓有無數條對稱軸, ,每條直徑都是它的對稱軸每條直徑都是它的對稱軸D.D.圓有無數條對稱軸圓有無數條對稱軸, ,經過圓心的每條直線都是它的對稱軸經過圓心的每條直線都是它的對稱軸【解析解析】選選D.D.圓沿著過圓心的任意一條直線對折圓沿著過圓心的任意一條直

16、線對折, ,兩部分都能兩部分都能重合重合. .2.(20132.(2013溫州中考溫州中考) )如圖，在如圖，在O O中，中，OCOC弦弦ABAB于點于點C C，AB=4AB=4，OC=1OC=1，則，則OBOB的長是的長是( )( )【解析解析】選選B. B. 在在O O中，中，OCOC弦弦ABAB于點于點C C，則，則BC= AB=2BC= AB=2，A. 3B. 5C. 15D. 171222OBBCOC5.3.(20133.(2013龍東中考龍東中考) )如圖，如圖，O O的直徑為的直徑為1010，兩條弦，兩條弦ABCDABCD，垂足為垂足為E E，且，且AB=CD=8AB=CD=8，

17、則，則OE=_.OE=_.【解析解析】連結連結OA,OD.OA,OD.過點過點O O分別作分別作OFABOFAB，OGCDOGCD，垂足分別為，垂足分別為F,G,F,G,AF= AB=4.AF= AB=4.AO=5AO=5，在，在RtRtAFOAFO中，由勾股定理得中，由勾股定理得同理同理OG=3.OF=OG.OG=3.OF=OG.OFB=OGC=AED=90OFB=OGC=AED=90，122222OFAOAF543.四邊形四邊形OFEGOFEG是矩形是矩形. .OF=OGOF=OG，四邊形四邊形OFEGOFEG是正方形是正方形. .根據勾股定理得根據勾股定理得答案：答案：22OE333 2

18、.3 24.(20134.(2013西寧中考西寧中考) )如圖，如圖，ABAB為為O O的直徑，弦的直徑，弦CDABCDAB于點于點E E，若若CD=6,CD=6,且且AEBE=13,AEBE=13,則則AB=_.AB=_.【解析解析】ABAB為為O O的直徑，弦的直徑，弦CDABCDAB于點于點E E，CD=6CD=6，CE=DE= CD=3CE=DE= CD=3，連結，連結OCOC，AEBE=13,AEBE=13,設設AE=x,BE=3x,AE=x,BE=3x,AB=4x,OA=OC=2x,AB=4x,OA=OC=2x,OE=x,OE=x,在在RtRtCOECOE中，中，CECE2 2+OE+OE2 2=OC=OC2 2,3,32 2+x+x2 2=(2x)=(2x)2 2, ,解得解得x= ,AB=4 .x= ,AB=4 .答案：答案：4 4 123335.(20135.(2013漳州中考漳州中考) )如圖如圖, ,一個寬為一個寬為2 2厘米的刻度尺厘米的刻度尺( (刻度單位刻度單位: :厘米厘米).).放在圓形玻璃杯的杯口上放在圓形玻璃杯的杯口上, ,刻度尺的一邊與杯口外沿只刻度尺的一邊與杯口