1、第三章行波法與積分變換法(第十三講)土分離變量法，它是求解有限區域內定解問題常用的一種方法。土行波法，是一種針對無界域的一維波動方程的求解方法。4積分變換法，一個無界域上不受方程類型限制的方法。3.1維波動方程的達朗貝爾(Dalembert)公式一、達朗貝爾公式考察如下Cauchy問題：-2,20U=a2,:x(1)ut=0=9(x),Utt=0=w(x),-oox0時桿上溫度分別情況。解：由題意可知上問題可歸結為求下定解問題：=a22f(x,t),-二：:x：二，t0,:t；xt9=(x),-二二x：:二.很容易看出，上定解問題為無界域上的求解問題，直接用分離變量法比較復雜。下面我們用Fou

2、rier變換法求解。用U(s,t),G(s,t)表示u(x,t),f(x,t)的Fourier變換，關于x對上方程作Fourier變換可得dU(s,t)22“_asUGdt此為一階ODE,在由原問題的初始條件作Fourier變換可得上常微分方程的定解條件口=：)從而可得22十U=：，(s)eG(s,)e再利用Fourier逆變換可得原問題的解。由Fourier變換表知x222.1-2-FJest=一e4at2a二t再由Fourier變換的卷積性質知(x- )2,、1u(x,t)二2a .二t(-)e 4a2t d- +-1=2a、二(x - )2-24a2(tT 占e d%。總結：積分變換法解

3、定解問題的一般過程1 .根據自變量的變化范圍及定解條件，選取適當的積分變換公式，通過對方程進行積分變換把問題簡化；2 .對所得簡化問題求解；3 .運用逆變換，求得原問題的解。例2.一條無限長的桿，端點溫度情況已知，初溫為0C0,求桿上溫度分布規律。解：由題意可知，等價于求下定解問題-2u20u,二ar,0:x:-,t0,2t:xt=e=0,0 ： x ：二.ux=0=f(t),此問題不能用Fourier變換法(？)。要用Laplace變換法求解。若關于x作Laplace變換，則需要有u關于x的一階偏導的邊界值，但方程沒有給出，所以只能作關于t的Laplace變換。記U(x,p)=Lu(x,t)

4、,F(p)=Lf(t),則作Laplace變換可.2d2UpU=FxLF(p)從而可得px-pxU=AeaBea由定解條件知，當xtg時，U有界，從而可得B=0.又U_pxU=F(p)ea為求原問題的解，下用Laplace逆變換，查表可知2erfc(y)=Lerfc1=e p x令k =二，則知a2 二12erfc(y) = 一 e dt： y4.1 = p.L e a = erfc( p再由Laplace變換的微分性質知2at22=2 . x e dy 4a2txx 一p1 - pL e a = L p e ap最后，由Laplace變換卷積性知,-二_y2x e dy 二4a2t2a、-：

5、t3/2x24a 2t eu(x,t)=2a 二x2;adJ注：從例1和例2解的表達公式不難看出：函數x2e7商對熱傳導問題起重要2a.二 t作用。令則例1的解可寫為-bek(x，t) = 2a而t0x24 a2t3/2 e t 0u(x,t) =； ( )k(x- ,t)d0 .f ( , . )k(x - ,t - . )d d .此公式為Possion公式，稱函數Tx,t; &1)=k(x 一&t 一石)為熱傳導方程的基本解。它表示在桿上處時刻的一個瞬時單位熱源所引起的桿上溫度分布。位點熱源的影響函數。例3.用Laplace變換法求解定解問題：故有時稱基本解為瞬時單_ 2.u二 u.:t

6、 Fx2,0 ：二 x :二 2, t 0,xz0 = UX3 =0，t 0，sin二x,0:二x：2.t寸：解：由題意知，需關于時間t作拉普拉斯變換，記U(x,s)=Lu(x,t),對方程做拉氏變換可得d2U一sU = -sin -：x,用系數待定法很容易解求上常微分方程的一特解一sin二xU0二-77s又上常微分方程相應的齊次問題的通解為5-AesxBe”所以，上常微分方程的通解為sxsxsin二xU=AeBe2,s-再由定解條件可得A= B= 0,從而sin二xU=2s-二故而，原定解問題的解sin 二x2 二e11，u(x,t)=LU=L第十六講-2.u例4.用積分變換法解定解問題-2.二Uc299:t4u|Xz0=cost,u衛=0,Jimux,t=0,=0,什一t00二x：二解：對方程兩端對t取Laplace變換，設U(x,s)=Lu(x,t)=Cu(x,t)e-stdt，可得2dUx,sdx22s一_一一Ux,s=0：69對定解條件的兩端對t取Laplace變換，記F(s)=Lbost】=LcostBtdt，則有:U0,s)；=F