1、第二講選彳4-5不等式選講考情分析1 .不等式選講是高考的選考內容之一，考查的重點是絕對值不等式的解法以及不等式的證明，其中絕對值不等式的解法以及絕對值不等式與函數綜合問題的求解是命題的熱點.2 .該部分命題形式單一、穩定，難度中等，備考時應注意分類討論思想的應用.考點一絕對值不等式的解法典例感悟典例(2018全國卷n)設函數f(x)=5|x+a|-|x-2|.(1)當a=1時，求不等式f(x)>0的解集；(2)若f(x)<1,求a的取值范圍.2x+4,x<-1,解(1)當a=1時，f(x)=<2,-1<x<2,I-2x+6,x>2.當x<1時，

2、由2x+4>0,解得一2Wx<1；當一1WxW2時，顯然滿足題意；當x>2時，由一2x+6>0,解得2<xW3,故f(x)>0的解集為x|2WxW3.(2)f(x)W1等價于|x+a|+|x2|>4.而|x+a|+|x2|>|a+2,且當x=2時等號成立.故f(x)W1等價于|a+2|>4.由|a+2|>4可得aw6或a>2.所以a的取值范圍是(一8,-6u2,+2.方法技巧絕對值不等式的5種常用解法(1)基本性質法：對aCR+,|x|<a?a<x<a,|x|>a?x<a或x>a.(2)平方法

3、：兩邊平方去掉絕對值符號.(3)零點分區間法：含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區間法脫去絕對值符號，將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解.(4)幾何法：利用絕對值的幾何意義，畫出數軸，將絕對值轉化為數軸上兩點的距離求解.(5)數形結合法：在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應的兩個函數的圖象，利用函數圖象求解.演練沖關(2019屆高三沈陽模擬)已知函數f(x)=|x-a|+3x,其中aCR.當a=1時,求不等式f(x)>3x+|2x+1|的解集；(2)若不等式f(x)wo的解集為x|xv1,求a的值.解：當a=1時,f(x)=|x-1|+3x,由f(x)>

4、;3x+|2x+1|,得|x1|2x+1|>0,當x>1時，x1(2x+1)>0,得xw2,無解；當一xw1時，1X(2x+1)>0,得一-<x<0;1I當xva時，1x+(2x+1)>0,得一2Wxv、.不等式的解集為x|2&XV0.(2)法一：由|xa|+3xW0,x>a,x<a,可得1或f4xa<0|2x+a<0,(g.kx>a,x<a,即SA或SAdd卜3lx<-2-al當a>0時，不等式的解集為pc|x<-J由一：=1,得a=2.當a=0時，不等式的解集為x|x<0,不合題意

5、.當a<0時，不等式的解集為由=1,得a=-4.綜上，a=2或a=4.法二：當x>a時，f(x)=4x-a,函數f(x)為增函數,由不等式f(x)wo的解集為x|xv1得，f(-1)=4X(-1)-a=0,得a=-4.當xa時，f(x)=2x+a,函數f(x)為增函數，由不等式f(x)wo的解集為x|xw1得，f(1)=2X(1)+a=0,彳#a=2.經檢驗，a=2或a=4都符合題意，故a的值為2或4.考點二不等式的證明典例感悟典例(2017全國卷n)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明：(1)(a+b)(a5+b5)>4;(2)a+b<2.證明(1)(

6、a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)22a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2b2)2>4,當且僅當a=b=1時取等號.23(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)<2+4a+b)=2+(一4所以(a+b)3w8,因此a+b<2,當且僅當a=b=1時取等號.方法技巧證明不等式的常用方法不等式證明的常用方法有比較法、分析法、綜合法、反證法等.(1)如果已知條件與待證結論直接聯系不明顯，則考慮用分析法.(2)如果待證的是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的問題，則考慮用反證法.演練沖關設不等

7、式|x+1|x1|<2的解集為A.(1)求集合A;1abc(2)右a,b,cCA,求證：abc>1.2,x>1,解：(1)由已知，令f(x)=|x+1|-|x-1|=22x,-1<x<1,由|f(x)|<2得一1<x<1,即12,x<1,A=x1<x<1.1abc(2)證明：要證>1,只需證|1-abc|>|ab-c|,abc只需證1+a2b2c2>a2b2+c2,只需證1a2b2>c2(1a2b2),只需證(1a2b2)(1c2)>0,由a, b, cC A,得1<ab<1, c2&l

8、t;1,所以(1 a2b2)(1 c2)>0 恒成立.綜上,1 abcab c>1.考點三含絕對值不等式的恒成立問題典例感悟典例(2018全國卷I)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)當a=1時，求不等式f(x)>1的解集；(2)若xC(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.2,x<-1故不等式f(x)>1解(1)當a=1時，f(x)=|x+1|x1|,即f(x)=$2x,-1<x<12,x>1.1x>2(2)當xC(0,1)時|x+1|ax1卜x成立等彳于當xC(0,1)時|ax1|<1成立.若aw。，則

9、；所以2>1,故 0<a<2.一，_一2當xC(0,1)時，|ax1|>1;右a>0,貝“ax1|<1的解集為lx0<x<-a綜上，a的取值范圍為(0,2.方法技巧已知不等式恒成立求參數范圍問題的3種解法分離參數法運用“f(x)Wa恒成立？f(x)maX<a,f(x)>a恒成立？f(x)min>a”可解決恒成立中的參數取值范圍問題更換主元法對一些含參不等式恒成立問題，若直接從主兀入手非常困難或不可能解決問題時，可轉換思維角度，將主元與參數互換，?？傻玫胶喗莸慕夥〝敌谓Y合法在研究曲線交點的恒成立問題時數形結合，揭示問題所蘊含的幾何

10、背景，發揮形象思維與抽象思維的優勢，可直接解決問題演練沖關已知函數f(x)=|2x+1|-|2x-3|,g(x)=|x+1|+|x-a|.(1)求f(x)>1的解集;(2)若對任意的tCR,sCR,都有g(s)>f(t).求a的取值范圍.解：(1)因為函數f(x)=|2x+1|-|2x-3|,故f(x)R1,等價于|2x+1|-|2x-3|>1,等價于廠；-2x-1-(3-2x戶1,2x+1(32x廣1,33x>-,或$22x+1-(2x-3廣1.無解，解得3>x>3，解得x>3.242綜上可得，不等式的解集為x|x>31：(2)若對任意的tCR

11、,SCR,都有g(s)>f(t),可得g(x)min>f(x)max.函數f(x)=|2x+1|-|2x-3|<|2x+1(2x3)|=4,.f(x)max=4.g(x)=|x+1|+|x-a|>|x+1-(x-a)|=|a+1|,故g(x)min=|a+1|.|a+1|>4,解得a>3或a<-5.故a的取值范圍為a|a>3或aw5.課時跟檢測*存在實數x使1. (2018廣州模擬)已知定義在R上的函數f(x)=|xm|+|x|,mCNf(x)<2成立.(1)求實數m的值；(2)若1,1,f(a)+f(3)=4,求證：4+：>3.(X

12、p解：(1)因為|xm|十|x|引(xm)-x|=|m|.所以要使不等式|x-m|十|x|<2有解，則|m|<2,解得一2Vm<2.因為mCN*,所以m=1.(2)證明：因為1,1,所以f(a)+f(3=2a1+23-1=4,即a+片3,所以一十4114+1a83.4 3 a 1 i, J曠*2=35+當且僅當手.即“=2,3=1時等號成立，故烏+*3.(Xp2. (2018唐山卞莫擬)設f(x)=|x|+2|xa|(a>0).(1)當a=1時，解不等式f(x)W4;(2)若f(x)>4,求實數a的取值范圍.2-3x,x<0,解：(1)當a=1時，f(x)=

13、|x|+2|x-1|=2-x,0<x<1,3x-2,x>1.當x<0時，由23xW4,得一2Wx<0;3當0WxW1時，由2xw4,彳導0WxW1；當x>1時，由3x2W4,得1<xW2.綜上，不等式f(x)W4的解集為一3，2L2a-3x,x<0,(2)f(x)=|x|+2|xa|=2ax,0<x<a,13x2a,x>a.可見，f(x)在(00,a上單調遞減，在(a,+8)上單調遞增.當x=a時，f(x)取得最小值a.若f(x)>4恒成立，則應a>4.所以a的取值范圍為4,+8).3. (2018全國卷出)設函數f

14、(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)畫出y=f(x)的圖象；(2)當xC0,+8)時，f(x)<ax+b,求a+b的最小值.1/-3x,x<2，解：(1)f(x)=x+2,-2<x<1,'3x,x>1.y=f(x)的圖象如圖所示.(2)由(1)知，y=f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當且僅當a>3且b>2時，f(x)<ax+b在0,十8)成立，因此a+b的最小值為5.4. (2018開封模擬)已知函數f(x)=|x-m|,m<0.(1)當m=1時，求解不等式f(x)+f(-x)>2

15、-x;(2)若不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空，求m的取值范圍.解：設F(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|+|x+1|-2x,x<-1,=2,1<x<1,G(x尸2-x,2x,x>1,由F(x)>G(x)解得x|xw2或x>0.(2)f(x)+f(2x)=|xm|+|2xm|,m<0.設g(x)=f(x)+f(2x),當xWm時，g(x)=mx+m2x=2m3x,則g(x)>m;m當m<x<2時，g(x)=xm+m2x=x,則一；<g(x)<一m;m當x>2時，g(x)=xm+2xm=3x2m,則

16、g(x"-m則g(x)的值域為m,+8j不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空，即1>解得m>-2,由于m<0,則m的取值范圍是(一2,0).5. (2018昆明模擬)設函數f(x)=|x-a|+x+；(aw0,aCR).(1)當a=1時，解不等式f(x)W5;(2)記f(x)的最小值為g(a),求g(a)的最小值.解：(1)當a=1時,f(x)=|x1|+|x+2|,2x+1,x>1,故f(x)=33,-2<x<1,I2x1,x<2.當x>1時，由2x+1W5,得xW2,故1<xW2;當一2WxW1時，由3W5,彳#xR

17、,故一2WxW1；當x<一2時，由一2x1W5,得x>一3,故一3Wx<2.綜上，不等式的解集為3,2.(xa 尸a十一2(2)f(x)=|x-a|+x+a且僅當xa+a0時等號成立所以g(a)=a+a，因為a+a=|a|十|2封24同用=2亞,當且僅當|a|=2,a即a=W2時等號成立，所以g(a)min=2J2.6. (2018陜西模擬)已知函數f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)解不等式f(x)W3;(2)記函數g(x)=f(x)+|x+1|的值域為M,若tCM,證明：t2+1>3+3t.<3x，xw1,1解：(1)依題意，得f(x)=22X,1<

18、;x<2,1L3x,x>2，xw 1,于是 f(x)< 3? f|- 3x< 3-1<x<1,或 22-x<3或；x43x< 3,解得一1WxW1.故不等式f(x)W3的解集為x|一1WxW1.(2)證明:g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|引2x12x2|=3,當且僅當(2x1)(2x+2)W0時取等號，M=3,+8).t2+1R；+3t等價于t2-3t+1->0,23t3-3t2+t-3(t-3ft2+1)t23t+1-=xt3ttt.tM,.t-3>0,t2+1>0,.I!L0,t2+1>3+3

19、t.7. (2018福州模擬)設函數f(x)=|x-1|.(1)求不等式f(x)W3f(x1)的解集；(2)已知關于x的不等式f(x)wf(x+1)|xa|的解集為M,若1,2bM,求實數a的取值范圍.解：(1)因為f(x)<3-f(x-1),所以|x-1|w3|x-2|,即|x1|十|x2|W3,x<1,1<x<2,x>2,則或或3-2x<33|2x-3<3,解得0Wx<1或1WxW2或2<xW3,所以0WxW3,故不等式f(x)<3-f(x-1)的解集為0,3.一3"L一(2)因為1,2?M,所以當xC1,3h寸，f(x)wf(x+1)|xa|恒成立，而f(x)w