1、儲油罐的變位識別與罐容表標定的數學模型摘要本文解決了儲油罐罐容表變位后標定的問題。通過把實際的儲油罐抽象成直角坐標系下的幾何柱體，然后從區分不同的油面高度入手建立了幾何柱體體積的積分模型。再通過合理運用所給數據進行數據擬合，得出了油量體積與油面高度之間的函數關系，進而進行理論與實際體積之間的誤差分析和模型可行性分析。針對問題一，首先對于無變位的小橢圓柱體建立了直角坐標系下的容積積分模型（見第4頁）。通過Minitab15軟件對實驗數據進行曲線擬合，得出一個油量作為高度的函數關系。利用這個函數關系計算出相應罐容表高度的實際油量容積，對比理論積分模型的容積值，計算出誤差值（見表3和表5）。觀察知誤

2、差屬于正常范圍內，則得出通過理論模型來標定的標準罐容表（見第7頁表6）。然后當只有縱向傾斜的變位時，根據柱體內的傾斜油面將柱體容積分為三個部分，分段計算出相對應部分中的容積積分，建立了變位后的分段容積積分模型，通過Matlab7.0編程得出容積積分函數（見第9頁）。而這個模型是與縱向傾斜角度和油高兩個因素有關的。當傾斜角一定時，代入條件數據進行擬合對比，得出模型是合理有效的，從而得出變位后的罐容表（見第12頁表7）。最后將每變化0.01m的油量變化量與標準罐容表作比，得出比例系數。針對問題二，將儲油罐分割成兩個球冠和一個圓柱三部分，并將其截面放入平面直角坐標系下建立容積積分模型，分別求出各個部

3、分的油量容積，再相加求總容積（見第15頁）。而當縱向傾斜和橫向偏轉都存在時，考慮將空間直角坐標系作一個相應變換，即把軸乘以相應的三角函數得到新的坐標系，此時積分模型得出的是關于兩個傾斜角度和高度的函數。然后根據所給數據作擬合計算出實際油量，且分別選取兩個傾斜角度的合理范圍，固定高度后代入容積積分函數，將得到的油量與擬合出的實際油量作比較，利用最小二乘的方法從兩邊逐步逼近，最終得出最優的傾斜角度（見第17頁）和傾斜后的罐容表（見第17頁表8）。最后，利用附件2中的實際檢測數據對所建模型的正確性與所運用方法的可靠性進行了分析。關鍵詞橢圓柱；儲油罐；積分模型一、問題的重述對于加油站的地下儲油罐都有與

4、之配套的“油位計量管理系統”，工作人員采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內油位高度等數據。再通過預先標定的罐容表進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況。但由于地形變化而導致儲油罐的位置會發生縱向傾斜和橫向偏轉等變位，使得罐容表的標度不再準確。故要研究變位與罐容表之間的對應關系。其中的條件包括：條件一：實際圓柱型（兩端為球冠體）儲油罐的尺寸及變位后的各項數據見附錄一圖1至圖3，圖4是小橢圓型儲油罐模型（兩端平頭的橢圓柱體）。條件二：利用小橢圓型儲油罐模型，分別對罐體無變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數據見附件1所示。條件三：問題只考慮縱向傾斜和橫向偏轉的

5、變位，且縱向傾斜角度為a和橫向偏轉角度為b。要討論的問題有：問題一：針對小橢圓型儲油罐，建立數學模型來研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。問題二：針對實際儲油罐，建立罐體變位后標定罐容表的數學模型，并用附錄二的數據確定a和b的值，給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數據來分析檢驗模型的正確性與方法的可靠性。二、問題的分析對于問題一，首先計算無變位時的罐容表。已知罐容表就是罐內油位高度與儲油量的對應關系，故要根據已給小橢圓型的數據，積分得出其體積與高度之間的關系，即建立積分模型。具體做法是取從左往右的左視圖

6、，將所截半橢圓面函數作為被積函數。然后乘以罐長即得體積與高度的理論函數。再利用無變位時進油出油的實驗數據，擬合出油量作為高度的函數關系。然后令高度為標準罐容表的刻度，通過編程計算出高度間隔為1cm的油量體積數，即為標準罐容表。而用擬合出的關系函數，則可以計算出相應高度的計算油量。將理論油量與計算油量做比較，可得出罐容表計量的誤差。再考慮變位后的罐容表。由于小橢圓型油罐的兩端是橢圓形，故在研究積分時先分段，以到一半長軸為界限，分別計算半橢圓的面積，從而得出被積函數的表達式。然后乘以模型的長，就可以表達出變位時的體積公式。用編程積分得體積與高度的函數，再與擬合的函數比較，得出變位后的罐容表。將標準

7、罐容表與變位后的罐容表數值關于縱向傾斜角度a作比值，就可以得出變位后對刻度的影響。對于問題二，類似于對問題一的分析，首先計算實際標準儲油罐的體積與高度的函數關系，同樣要建立積分模型。由于標準儲油罐的兩端是球冠體，因此可以將儲油罐分成兩部分分別積分，即分為圓柱體和兩個球冠體。為了方便積分，可以取從上往下的視角，即俯視圖，來對所截平面積分。故應設油高為積分變量，用高度表示不同油量時球冠弧對應的半徑，從而計算出球冠處的面積，最后編程積分得理論函數。當有變位時，加入兩個角度值為自變量，用實驗數據二來代入計算，得出角度與罐容表的函數。三、模型的假設（1）不考慮儲油罐內外溫度的變化；（2）油位探針的壓力傳

8、感器在最下端；（3）出油管等管的體積忽略不計；（4）儲油罐在進油后沒有其他外在的抽油，即進油后的總量與剛開始出油時等量；四、符號說明誤差：； 高端液高為時的體積：（單位：m3）；橢圓長半軸：； 橢圓短半軸：；油高：（單位：m）； 油高坐標值：；儲油罐長度：（單位：m）； 理論油量：（單位：L）；實際進油油量：（單位：L）； 實際出油油量：（單位：L）；儲油罐的一半高度：（單位：m）； 儲油罐球冠半徑：（單位：m）；儲油罐球冠高：（單位：m）； 五、對問題一求解的小橢圓柱體容積積分模型5.1 無變位積分模型模型的建立對于小橢圓型罐模型，把它轉化成坐標系中的橢圓柱，如圖1；當向里面進油時，油面是水

9、平的，即從左往右看的左視圖如圖2 圖1橢圓柱 圖2 左視圖根據數學分析中的定積分應用知識1，將儲油罐儲油量計算問題轉化成求橢圓柱容積計算問題來處理。當油面水平時，罐長是一定的，且左面與右面的半橢圓面大小相同。因此只需要計算側平面圖形橢圓的面積。故在圖2所建的直角坐標系中，橢圓的方程為，為了將面積表示成高度的函數，其中橫坐標可表示為。 (1)取一個高度為的積分元，即用作為積分變量。值得注意的是，上式不是標準的橢圓方程，其目的是使得油高與縱坐標相一致。由定積分知識得，以橢圓方程為被積函數，分別以油高坐標值和短半軸為上、下限，積分得圖2中油所覆蓋半橢圓面積為, (2)而要求的理論柱體體積為, (3)

10、通過換元計算積分式(3)得理論體積為。 (4)上式就是表示油高與體積之間的理論函數。根據這個理論函數，令且按1cm的增量遞增，代入式(4)就可以計算出相應高度的油量體積，即刻畫出標準罐容表。 模型的求解對于小橢圓型的儲油罐模型，已有數據為，將其代入(4)式，得理論容積作為油高的函數關系為。 (5)為了先標刻出標準罐容表的刻度，利用問題的約束條件，令且按1cm的增量遞增，代入式(6)計算得出理論油量體積，即罐容表。部分數據見如下的表1：表1 理論罐容表高度（m）理論油量（L）高度（m）理論油量（L）高度（m）理論油量（L）0.31839.50668650.361034.8249920.41123

11、8.0842150.32877.83812790.371074.9042140.421279.5213150.33916.55268290.381115.2847820.431321.1867510.34955.63311160.391155.9515040.441363.0666950.35995.06265420.401196.8895080.451405.147528 模型的檢驗為了檢驗理論油量函數的可實用性，需要將理論值與試驗值做比較。有了這個目的，就可以利用對問題所給附件1的實驗數據中無變位進油的數值，通過Minitab軟件統計中的數據擬合進行函數擬合，得出擬合油量體積作為油位高度的

12、函數和圖3如下：。 (6)圖3 進油時油量體積與油高的函數圖令其中的油位高度為標度的0.01cm，代入式(6)得出對應的實際油量，部分數據如表2表2 由擬合函數得的進油時油量高度（m）實際油量（L）高度（m）實際油量（L）高度（m）實際油量（L）0.31801.57612120.361034.8249920.411238.0842150.32839.50668650.371074.9042140.421279.5213150.33877.83812790.381115.2847820.431321.1867510.34916.55268290.391155.9515040.441363.066

13、6950.35955.63311160.401196.8895080.451405.147528觀察表1和表2的對應高度的油量容積，由此來計算相應于表1、表2中理論進油量與實際進油量之間的誤差。計算誤差公式為， (7)對于上述部分數據，在Excel中計算得誤差值，見表3表3 理論油量和實際進油油量的誤差高度（m）誤差（%）高度（m）誤差（%）高度（m）誤差（%）0.313.3360095830.363.4626515960.413.4745182240.323.3733216790.373.4724568140.423.4676039140.333.4041296780.383.4781507

14、070.433.4583831760.343.4289560750.393.4801405540.443.4471521250.353.4483033830.403.4788096920.453.434187644以上討論的是進油時的理論與實際油量，還要研究出油時的誤差，從而確定誤差的來源與理論的可靠性。由假設（4）可知，進油后的一個小時中并沒有其它的出油，即出油初始時的燃油量就是進油后的總量。故首先要將附件一中無變位出油中的累計出油量轉化為出油后剩余量，即，其中是已給的累加出油量，是進油最后的總量，本問題中（L）。類似于表1對出油后剩余量和油高通過Minitab曲線擬合，得到出油時的油量與油

15、高的函數關系和圖4。 (8)圖4 出油時油量體積與油高的函數圖將罐容表的刻度值為0.01m代入式(8)，對應上面的部分數據的實際出油量見表4表4 由擬合函數得的出油時油量高度（m）實際油量（L）高度（m）實際油量（L）高度（m）實際油量（L）0.313156.0784460.362968.1631360.412772.0202260.323119.2366080.372929.5374180.422731.9565280.333082.0103220.382890.5964320.432691.6467420.343044.4134240.392851.3540140.442651.10470

16、40.353006.459750.402811.8240.452610.34425由此來計算相應于表3、表4中理論出油量與實際出油量之間的誤差，其表達式為，代入數據計算得表5表5 理論油量和實際出油油量的誤差高度（m）誤差（%）高度（m）誤差（%）高度（m）誤差（%）0.314.4126990480.364.5081456150.414.6256322310.324.4306237460.374.5295214780.424.6526631130.334.4490135780.384.5518814960.434.6810151720.344.4679905740.394.5753055230

17、.444.7107390450.354.4876668910.404.5998667680.454.741880534比較表3和表5在相同高度處的誤差，發現出油時的理論計算油量與實際油量的差距更大。這種現象可以認為是由于出油時油是通過出油管抽出的，且隨著燃油的減少，儲油罐中的油面高度也在下降。這樣就會有部分燃油因油的粘稠性而附著在儲油罐內壁，且出油越多，油面高度下降越大，附著的油量就越多，從而產生的誤差就越大。據此分析依據這個角度看這個理論油量的積分模型所得出的油量與油高的函數關系是可行的，故可以使用積分來標定標準罐容表，具體數據見表6。表6 標準罐容表高度（m）油量（L）高度（m）油量（L）

18、高度（m）油量（L）高度（m）油量（L）0.014.248039830.31839.5066870.612095.233980.913339.287240.0213.88034610.32877.8381280.622138.779860.923376.360430.0326.30156840.33916.5526830.632182.301530.933412.975830.0440.94828060.34955.6331120.642225.786850.943449.113050.0557.49043680.35995.0626540.652269.223650.953484.75089

19、0.0675.70237520.361034.824990.662312.599740.963519.867250.0795.41622300.371074.904210.672355.902860.973554.439010.08116.5001710.381115.284780.682399.120700.983588.441970.09138.8467440.391155.951500.692442.240850.993621.850660.1162.3658290.401196.889510.72485.2508513654.638240.11186.9802160.411238.08

20、4220.712528.138121.013686.776330.12212.6226090.421279.521320.722570.889991.023718.234760.13239.2335220.431321.186750.732613.493651.033748.981370.14266.7597550.441363.066690.742655.936171.043778.981730.15295.1532600.451405.147530.752698.204471.053808.198740.16324.3702710.461447.415830.762740.285311.0

21、63836.592250.17354.3706280.471489.858350.772782.165251.073864.118480.18385.1172450.481532.462010.782823.830691.083890.729390.19416.5756730.491575.213880.792865.267791.093916.371780.2448.7137580.51618.101150.82906.462491.13940.986170.21481.5013430.511661.111150.812947.400501.113964.505260.22514.91003

22、30.521704.231300.822988.067221.123986.851830.23548.9129870.531747.449140.833028.447791.134007.935780.24583.4847510.541790.752260.843068.527011.144027.649630.25618.6011070.551834.128350.853108.289351.154045.861560.26654.2389490.561877.565150.863147.718891.164062.403720.27690.3761700.571921.050470.873

23、186.799321.174077.050430.28726.9915690.581964.572140.883225.5138721.184089.4716540.29764.0647640.592008.118020.893263.8453131.194099.103960.30801.5761210.62051.6760.93301.7758791.24104.392645.2 變位后的容積積分模型 模型的建立當小橢圓柱有縱向變位時，可將其分成、三個部分2，其中、兩部分為楔形體，部分是水平液面為梯形的中部區，具體見圖5。yhxLdlH2ahA面A面圖5 下部楔形體的部分容積計算 圖6 左

24、視圖（1）部分下部楔形體積分模型為計算此部分的容積，就是要先計算圖6的左視圖中半橢圓的面積，再對垂直于罐底的各個面積分，即得容積。故在圖5中，當，即時，為下部楔形地區。取在距離液面高端（液面高端就是指從左邊觀察油面的高度）處，用一垂直于橢圓柱體的截面，截得A面。該區內通過此面的任一高度的油，在A面上為一弓形面積，其值為。由上式可以看出，這個截面面積跟油高有關。而要求容積的積分式中應該是罐長為積分變量，即高端液高為時的部分容積為， (9)觀察圖5，尋求與之間的關系，有，得，所以積分變量可換為，當時，；當時，。將換好的積分變量代入(9)式，即得出部分的容積積分公式。利用Matlab7.0軟件編程（

25、見附錄二）就可以將上式的積分式解出，即。 (10)（2）部分中部區積分模型如圖7所示，當，即時，為中部區，該區高端起始高可按計算。H2aMhHb1b2圖7 中部區的部分容積計算 圖8 高端 圖9 低端當液面處于此區域時，其液面的形狀為兩端分別為弦長b1和b2截去部分的橢圓面。令此時高端液高為，低端液高為。在下楔形積分模型中，。在此模型中通過部分總截面是平行四邊形這一條件，可以將高端液面處的容積計算轉化成部分的最上限，從而由式(10)得液面處于中部區的部分容積計算公式為。 (11)（3）部分上部楔形體積分模型最后一部分是上部楔形體，如圖10所示，當高端液高，即高端液面進入第部分時，其部分容積按下

26、式計算， (12)也就是總容積與類似部分容積之差，其中和都用(10)式表示。LGHH00HkM2R圖10 上部楔形體的部分容積計算 圖11 油浮子處高與高端液高關系（4）油浮子標度與高端液面的關系上面分情況討論的三種情況都是以高端液面為自變量的積分模型，而問題要求的是油浮子處的刻度高度與標準罐容表之間的關系。如圖11，利用三角形中的三角函數關系可得，其中是油浮子到左端點的固定距離。這樣把用表示，再代入上面的式(10)等三個分段函數，就可以得出油量體積作為油浮子處高度的函數表達式。 模型的求解根據式(10)的公式，代入已知數據，即，得部分下部楔形體的部分容積函數為。對于本題中附件1中的變位實驗數

27、據知，同無變位時的自變量的取值相同，令且按1cm的增量遞增，代入上式用Excel計算得出變位后相應刻度處的理論油量。同理將附件1中變位后的進油數據，通過Minitab軟件進行數據擬合，得出變位后實際的油浮子量出的油面高度，見圖12，其油量與油高的函數關系為，再令自變量，得出變位后罐容表中的油量數。圖12 變位后油量與油高的擬合圖但由于本問題中在進油前有一部分初始油，則要先算出此部分初始油量的高端液面。即直接令理論油量積分式中的容積，計算得出對應的高端高度（m）。而在分段函數中部分的上限值為，當時，上限值就是（m），比較初始油量高端液面與這個上限值，即，這說明由于變位的傾斜角度過小，導致初始油量

28、已經處于部分。所以在標油浮子理論刻度時，要根據上限值來分段求解。利用Excel計算得出變位后理論與實際油量之間的誤差，其值大約都為0.34%左右。這說明得出的理論函數較好，由此求變位后的罐容表如下表7表7 變位后罐容表高度（m）油量（L）高度（m）油量（L）高度（m）油量（L）高度（m）油量（L）0.01-0.53537020.31535.8585440.611749.588820.913060.997410.02-0.16609910.32570.4006310.621793.767600.923102.143940.030.868778090.33605.5444920.631838.03

29、4150.933142.968680.042.69287790.34641.2633730.641882.375620.943183.454450.055.41645980.35677.5319190.651926.779200.953223.583530.069.137600720.36714.3260170.661971.232170.963263.337590.0713.94469180.37751.6226610.672015.721820.973302.697640.0819.91834570.38789.3998330.682060.235490.983341.643920.092

30、7.13278110.39827.6364100.692104.760520.993380.155810.135.65684160.40866.3120720.72149.2842713418.211720.1145.55476630.41905.4072290.712193.794091.013455.788950.1256.88678480.42944.9029500.722238.277301.023492.863490.1369.70958930.43984.7809110.732282.721211.033529.409840.1484.07671390.441025.023340.

31、742327.113081.043565.400720.15100.0388470.451065.612950.752371.440121.053600.806700.16117.6440870.461106.532950.762415.689461.063635.595770.17136.9381640.471147.766940.772459.848181.073669.732680.18157.9646220.481189.298910.782503.903251.083703.178050.19181.3003510.491231.113240.792547.841521.093735

32、.887190.2205.5449670.51273.194590.82591.649771.13767.808150.21230.9753680.511315.527950.812635.314581.113798.878940.22257.5041340.521358.098580.822678.822441.123829.022810.23285.0556350.531400.891990.832722.159631.133858.140220.24313.5649350.541443.893920.842765.312261.143886.093990.25342.9753700.55

33、1487.090330.852808.266241.153912.679050.26373.236710.561530.467380.862851.007241.163937.553040.27404.3038290.571574.011380.872893.520691.173960.047140.28436.1357440.581617.708830.882935.791751.183978.491370.29468.6948920.591661.546360.892977.805271.193986.167520.30501.9465770.61705.510730.93019.5457

34、71.23992.39264 模型的檢驗 在計算誤差時發現其值基本上是保持在一個數值上，因此可以說明這個理論函數是可用性較高的。六、對問題二求解的實際儲油罐容積積分模型6.1 模型的建立xyhR-ho對于實際儲油罐的特殊形態，為了求其中油面對應的容積，要把儲油罐分解成兩個球冠與一個圓柱，分別求出各自的容積后求和。其中從正視圖分解的各部分如圖13圖13 儲油罐截面分解圖 圖14 左視圖 中間圓柱的容積積分模型當無變位時，以球冠的中心點為原點建立平面直角坐標系，而實際容積積分模型要根據儲油罐的油高分為兩類：（1）油面高度的情況當時，儲油罐中間圓柱體的左視圖見圖14。為了避免油高出現負值給積分和解釋

35、帶來不便，我們將區域，即把圖14中陰影區域翻折到時的陰影區域，則可求出陰影面積為，因此中間這個圓柱容積就可以求出為。 (13)（2）油面高度的情況當時，中間圓柱體的左視圖中陰影面積為，xy00xyr圖15 求半徑圖 圖16 球冠圖因此對應容積為。 (14) 兩端球冠的容積積分模型如圖15所示，先求出球冠的半徑，即， (15) 之后以垂直于地平面為截面畫平面圖，其中以右弧與中間長方形接線處中點為圓心建立平面直角坐標系。則截球冠的圓弧所在的方程為，在立體圖中球冠任意一截面所截得的圓半徑為， (16)這個就是油面高度。而作為兩端的球冠容積也要分成兩種情況討論：（1）油面高度的情況若，則按式(13)有

36、，則球冠的容積為。 (17)（2）油面高度的情況若，則按(14)式有,則球冠的容積為。 (18) 綜上所述，得儲油罐的容積積分模型為或者。6.2 模型的求解先計算中間圓柱體容積，即已知，代入(13)式和(14)式，得對于球冠，根據附錄一圖1中的數據，可得，代入式(15)得出半徑。再代入式(16),得出而和中的、和的關系如下，代入亦可得出、。所以，縱向變為角度時，油浮子測量高度所對應的油的理論容積值為：。 (19)6.3 帶傾斜角度的容積積分模型已知原來的空間直角坐標系是以罐長方向為軸，垂直地平面為軸，指向紙外為軸的坐標系。在上面無變位的容積積分模型基礎上，將空間直角坐標系作變換如下， (20)即由建立了新的沿罐的空間直角坐標系。之后將無變位的容積公式中的坐標用新坐標系的坐標表示，即得出容積關于兩個傾斜角度和高度的函數關系。由