1、第十二章全等三角形2018.9 楊1全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊對應邊相等。2全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角對應角相等。證明三角形全等基本思路：三角形全等的判定(1)三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成邊邊邊或SSS 1.如圖，ABAD，CBCD，求證：(1)ABCADC；(2)BD.證明：(1)連接AC，在ABC與ADC中， ABCADC(SSS)(2)ABCADC，BD. 2.已知在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC,求證AD/BC A D 做輔助線，連接AC，利用SSS證明全等， 得到DAC=ACB ，從而證明平行B C

2、三角形全等的判定(2)兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”)兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等. 1.如圖，將兩個一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D三點共線，ABCB，EBDB，ABCEBD90)，連接AE，CD，試確定AE與CD的關系，并證明你的結論解：結論：AECD，AECD.F證明：延長AE交CD于F，在ABE與CBD中 ， ABECBD(SAS)，AECD，EABDCB，DCBCDB90，EABCDB90，AFD90，AECD.2.在ABC和CDE中，CA=CB,CD=CE,ACB=DCE=90，AE與BD交與點F（1）求證

3、：ACEBCD（2）求證：AEBD1,利用SAS證明全等，AC=BC DC=EC BCD=ACE2，全等得到角相等 CAE=DCBCAB+EAB+ABC=90DCBEAB+ABC=90三角形全等的判定(3)兩角和它們的夾邊分別對應相等的兩個三角形全等，簡稱角邊角或ASA兩個角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等，簡稱角角邊或AAS求證：三角形一邊的兩端點到這邊的中線或中線延長線的距離相等如圖，AD為ABC的中線，且CFAD于點F，BEAD，交AD的延長線于點E，求證：BECF.證法1：AD為ABC的中線，BDCD.BEAD，CFAD，BEDCFD90.在BED與CFD中BEDCFD(AA

4、S)，BECF.證法2：SABDADBE，SACDADCF，且SABDSACD(等底同高的兩個三角形面積相等)，ADBEADCF，BECF.三角形全等的判定(4)斜邊和一條直角邊分別對應相等的兩個直角三角形全等，簡稱“斜邊、直角邊”或“HL”如圖，E，F分別為線段AC上的兩點，且DEAC于點E，BFAC于點F，若ABCD，AECF，BD交AC于點M. 求證：BMDM，MEMF.證明：AECF，AEEFCFEFAFCE.在RtABF與RtCDE中RtABFRtCDE(HL)，BFDE.DEAC，BFAC，DEMBFM90.在BFM與DEM中BFMDEM(AAS)，BMDM，MEMF.角的平分線的

5、性質角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等文字命題的證明方法：a.明確命題中的已知和求證；b.根據題意，畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證；c.經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程 方法總結：（1）角平分線的性質是證明線段相等的另一途徑（2）在已知角平分線的條件下，也可想到翻折構造全等的方法角平分線的性質是證線段相等的常用方法之一，角平分線的性質與判定通常是交叉使用，作角的平分線或過角的平分線上一點作角兩邊的垂線段是常用的輔助線1.在ABC中，AD是ABC的角平分線，E，F分別是AB，AC上一點，并且有EDFEAF180.試判斷DE和DF的大小關系并說明理由解

6、：結論：DEDF.證明：過點D作DGAB于點G，作DHAC于點C，AD是ABC的角平分線，DGDH.DGADHA90，GDHBAC180，EDFEAF180，GDHEDF，GDHEDHEDFEDH，GDEFDH.在DGE與DHF中，DGEDHF(ASA)，DEDF2.如圖，在ABC中，D是BC邊上一點，連接AD，過點B作BEAD于點E，過點C作CFAD交AD的延長線于點F，且BECF.2求證：AD是ABC的中線利用AAS證明全等BDE=F BDE=CDF BE=CF 利用全等證明垂直此類題目中必有垂直，利用垂直角度和是90，再根據全等轉換一個角，達到另外的兩個角度和是90，得到第三個角是90，

7、進一步證明線的垂直關系。1. 將兩塊全等的直角三角形如圖1擺放，其中DCE=ACB=90D=A.(1)求證:ABDE;(2)將圖中的ADCE繞點C順時針旋轉45得到圖2,AB.CD交于點N,DE,BC交于M.求證:CM=CN第一問中延長AB交DE于F，已經知道全等，知道垂直，就可以將 D+E=90轉化為A+E=90得到AFE=90 進而證明了垂直第二問中，利用ASA證明相等旋轉角度是45MCD=DCA=45A=D CD=CA得到CMDCNA(ASA)從而證明CM=CN2.如圖，已知等腰RtOABC和等腰RtACDE,AC=BC,CD=CE,M,N分別為AE,BD的中點(1)判斷CM與CN的位置

8、關系和數量關系:(2)若CDE繞C旋轉任意角度，其他條件不變，則(1)的結論是否仍成立?試證明， 幾何證明中常見的“添輔助線”方法一. 連結:構造全等三角形或等腰三角形1:如圖,AB=AD,BC=DC,求證:B=D.1.連結AC構造全等三角形2.連結BD構造兩個等腰三角形 2:如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,求證:點M是CD的中點.連結AC、AD構造全等三角形3:如圖,AB=AC,BD=CD, M、N分別是BD、CD的中點，求證：AMB ANC連結AD構造全等三角形二. 角平分線上點向兩邊作垂線段:構造直角三角形,得到距離相等1:如圖,ABC中, C =90o,BC=10,B

9、D=6, AD平分BAC,求點D到AB的距離.過點D作DEAB構造全等的直角三角形且距離相等2:如圖,ABC中, C =90o,AC=BC,AD平分BAC,求證:AB=AC+DC過點D作DEAB構造了全等的直角三角形且距離相等3:如圖,梯形中, A= D =90o,BE、CE均是角平分線,求證:BC=AB+CD.過點E作EFBC構造全等的直角三角形且距離相等三. 垂直平分線上點向兩端連線段構造直角三角形,得到斜邊相等ABC中,ABAC ，A的平分線與BC的垂直平分線DM相交于D，過D作DE AB于E，作DFAC于F。求證：BE=CF連接DB,DC垂直平分線上點向兩端連線段四. 倍長中線：中線延

10、長一倍構造直角三角形,得到斜邊相等AD是ABC的中線，求證 延長AD到點E，使DE=AD，連結CE.如圖，在ABC中，D為BC的中點(1)求證：ABAC2AD； (2)若AB5，AC3，求AD的取值范圍五. 截長補短 1.已知在ABC中，C=2B, 1=2求證:AB=AC+CD在AB上取點E使得AE=AC，連接DE在AC的延長線上取點F使得CF=CD，連接DF2.如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線DC經過點E交AD于點D，交BC于點C。求證：AD+BC=AB在AB上取點F使得AF=AD,連接EF3.如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90.E，F分別是BC，CD上的點，且EAF60.探究圖中線段BE，EF，FD之