1、動能定理的應用【學習目標】1進一步深化對動能定理的理解。2會用動能定理求解變力做功問題。3會用動能定理求解單物體或多物體單過程問題以及與其他運動形式的結合問題。4知道用動能定理解題的一般步驟。【要點梳理】要點一、動能定理的推導要點詮釋：1推導過程：一個運動物體，在有外力對它做功時，動能會發生變化。設一個質量為m的物體，原來的速度是，動能是，在與運動方向相同的恒定外力F的作用下，發生一段位移，速度增加到，動能增加到。在這一過程中外力對物體所做的功。根據牛頓第二定律和運動學公式得到所以或2關于公式的幾點說明（1）上面我們設外力方向與運動方向相同，導出了關系式，這時外力做正功，動能增加。外力方向與運

2、動方向相反時，上式同樣適用，這時外力所做的功是負值，動能的變化也是負值；（2）外力對物體做負功，往往說成物體克服這個力做了功。因此，對這種情形，也可以說物體克服阻力所做的功等于動能的減少；（3）如果物體不只受到一個力，而是受到幾個力，上述結論仍舊正確。只是外力所做的功是指各個力所做的功的代數和，即外力所做的總功。3動能定理的實質動能定理揭示了外力對物體所做的總功與物體動能變化之間的關系，即外力對物體做的總功，對應著物體動能的變化，變化的大小由做功的多少來量度。動能定理的實質是反映其它形式的能通過做功而和動能轉化之間的關系，只不過在這里其它形式的能并不一定出現，而是以各種性質的力所做的機械功(等

3、式左邊)的形式表現出來而已。要點二、對動能定理的進一步理解要點詮釋：1動能定理的計算式為標量式，計算外力對物體做的總功時，應明確各個力所做功的正負，然后求其所有外力做功的代數和；求動能變化時，應明確動能沒有負值，動能的變化為末動能減去初動能。2位移和速度必須是相對于同一個參考系的，一般以地面為參考系。3動能定理公式中等號的意義等號表明合力做的功與物體動能的變化間的三個關系：（1）數量相等：即通過計算物體動能的變化來求合力的功，進而求得某一力的功。（2）單位相同：都是焦耳。（3）因果關系：合外力的功是物體動能變化的原因。4動能定理既適用于一個持續的過程，也適用于分段過程的全過程。5動能定理應用廣

4、泛，直線運動、曲線運動、恒力做功、變力做功、同時做功、分段做功各種情況均適用。要點三、應用動能定理的基本步驟要點詮釋：1選取研究對象，明確它的運動過程；2分析研究對象的受力情況和各力的做功情況；受哪些力各力是否做功做正功還是負功做多少功然后求解各個外力做功的代數和3明確物體在過程的始末狀態的動能Ek1和Ek2；4列出動能定理的方程及其他必要的解題方程，進行求解。要點四、應用動能定理時應注意的問題要點詮釋：1有些力在物體運動的全過程中不是始終存在的，因此在求解物體運動過程中外力的總功時，要注意把物體的受力與運動結合分析。2動能定理是計算物體位移和速率的簡潔公式，當題目中涉及到位移時可優先考慮動能

5、定理。3若物體運動過程中包含幾個不同的物理過程，用動能定理解題時可以分段處理，也可取全過程直接列式。【典型例題】類型一、用動能定理求變力做功例1、如圖所示，質量為的小球，從半徑的半圓形軌道上的A點開始下滑，A點與圓心O點在同一水平面上，到達最低點B的速度。求在弧AB段阻力對物體所做的功Wf。（取）【思路點撥】物體在弧AB段運動過程中受重力、彈力和阻力作用，其中彈力和阻力是變力，但在此過程中彈力對小球不做功；重力是恒力，做正功，阻力做負功。在這一過程中，可用動能定理。【解析】重力的功。由動能定理有：所以【總結升華】動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動，既適用于恒力做功，也適用于變力做功。力

6、做功時可以是連續的，也可以是不連續的，可以是在一條直線上的，也可以是不在一條直線上的。舉一反三【變式1】在距地面高處，一人以的速度水平拋出一個質量為的物體，物體落地時速度大小為，試求：（）（1）人拋出物體的過程中對物體所做的功為多少？（2）飛行過程中物體克服空氣阻力所做的功為多少？【答案】(1)200J (2)88J【解析】（1）拋出物體的過程中，只有人做功，這個過程很短暫，人施加的力可以說是一個瞬間的力，該過程人的功無法用做功公式求解。所以只能用動能定理求解。由動能定理得：（2）飛行過程，物體除受重力作用外，還有空氣阻力做功，由動能定理得：即：解得：【變式2】如圖所示，質量為m的物體用細繩經

7、過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運動，拉力為某個值時，轉動半徑為R，當拉力為時，物體仍做勻速圓周運動，半徑為2R，則外力對物體做功的大小是（ ）A B C D零【答案】A【解析】設當繩的拉力為時，小球做勻速圓周運動的線速度為，則有當繩的拉力為時，小球做勻速圓周運動的線速度為，則有由動能定理：故答案為A。類型二、動能定理解單體多過程問題例2、如圖所示，物體從高為的光滑斜面頂端由靜止開始沿斜面下滑，最后停在水平面上與斜面頂端水平距離為的地方，物體與斜面和水平面間的動摩擦因數均為，試證明：.【解析】設斜面長為，物體在水平面上滑行的位移大小為，下面傾角為。兩個物體的受力圖如下，在斜面上有：在水平

8、面上：對整個過程根據動能定理列方程則：展開得：因為：所以：【總結升華】對這種多過程問題，既可以分段利用動能定理列方程求解，也可以對全過程利用動能定理列方程求解，解題時可根據具體情況選擇使用舉一反三【變式1】如圖所示，光滑1/4圓弧的半徑為0.8m，有一質量為1.0kg的物體自A點從靜止開始下滑到B點，然后沿水平面前進4.0m，到達C點停止。g取10m/s2，求：（1）物體到達B點時的速率。（2）在物體沿水平面運動的過程中摩擦力做的功。（3）物體與水平面間的動摩擦因數. 【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）物體在AB過程中，只有重力做功，由動能定理：解得：（2）在水平面上，只有摩擦力做功，由

9、動能定理：解得：（3）由做功公式：【變式2】如圖所示，一質量為2 kg的鉛球從離地面2 m高處自由下落，陷入沙坑2 cm深處，求沙子對鉛球的平均阻力【思路點撥】多過程問題要注意各個過程中的受力情況的變化。【解析】解法一：鉛球的運動分為自由下落和陷入沙坑減速運動兩個過程，根據動能定理，分段列式設鉛球自由下落到沙面時的速度為v，則設鉛球在沙中受到的平均阻力為F，則代入數據解得F2020 N 解法二：全程列式：全過程中重力做功mg(H+h)，進入沙中阻力做功-Fh，全程來看動能變化為零，則由 得 解得【變式3】質量為m=1.5kg的物塊（可視為質點）在水平恒力F作用下，從水平面上A點由靜止開始運動，

10、運動一段距離后撤去該力，物塊繼續滑行t=2.0s停止在B點。已知A、B兩點間的距離為S=5.0m，物塊與水平面間的摩擦因數=0.2，求恒力F。（）【思路點撥】本題用運動學和動能定理求解。【答案】【解析】設撤去力F前物塊位移為S1，撤去F時物塊的速度為。物塊所受的摩擦力，由運動學公式可得：即S1=1m對整個過程用動能定理：【總結升華】本題可以有多種解法，運用動能定理較為簡單。例3、如圖所示，斜面傾角為，滑塊質量為，滑塊與斜面間的動摩擦因數，從距擋板為的位置以的速度沿斜面向上滑行。設重力沿斜面的分力大于滑動摩擦力，且每次與擋板碰撞前后的速度大小保持不變，斜面足夠長。求滑塊從開始運動到最后停止滑行的

11、總路程。【思路點撥】由于重力沿斜面的分力大于滑動摩擦力，物體雖經多次往復運動，最終將停止在擋板處。整個過程中只有重力與摩擦力對物體做功。【解析】摩擦力一直做負功，其絕對值等于摩擦力與路程的乘積，由動能定理得解得【總結升華】動能定理只涉及初、末狀態而不涉及過程中的每一個細節，因此對于做往復運動的物體運用動能定理解題往往比較簡便，本題也可用牛頓運動定律結合運動學公式一步步求解，但十分繁瑣。舉一反三【變式1】如圖所示質量為的物體置于光滑水平面，一根繩子跨過定滑輪一端固定在物體上，另一端在力作用下，以恒定速率豎直向下運動，物體由靜止開始運動到繩與水平方向夾角的過程中，繩中張力對物體做的功為_。v0F【

12、解析】當繩與水平方向夾角時，物體的速度為v0vv0F選物體為研究對象，研究物體由靜止開始到繩與水平方向夾角為的過程，根據動能定理可知，繩中張力對物體做的功等于物體動能的增加。即【變式2】在水平恒力作用下，物體沿光滑曲面從高為的A處運動到高為的B處，若在A處的速度為，B處速度為，則AB的水平距離為多大？【思路點撥】用牛頓定律遇到困難，使用動能定理。【解析】A到B過程中，物體受水平恒力F，支持力N和重力mg的作用。三個力做功分別為、0和，所以動能定理寫為：解得：【總結升華】從此例可以看出，以我們現在的知識水平，牛頓定律無能為力的問題，動能定理可以很方便地解決，其關鍵就在于動能定理不計運動過程中瞬時

13、細節。類型三、動能定理解多體問題例4、如圖所示，用細繩連接的A、B兩物體質量相等， A位于傾角為30°的斜面上，細繩跨過定滑輪后使A、B均保持靜止，然后釋放，設A與斜面間的滑動摩擦力為A受重力的0.3倍，不計滑輪質量和摩擦，求B下降1m時的速度多大。【解析】解法一：對A使用動能定理：對B使用動能定理：得：解法二：將A、B看成一整體。（因二者速度、加速度大小均一樣），此時拉力T為內力，求外力做功時不計，則動能定理寫為： 二式聯立解得：【總結升華】上述兩種解法結論是一致的，而方法二中研究對象的選擇使解題過程簡化，因而在使用動能定理時要適當選取研究對象。舉一反三【變式】一輛汽車通過圖中的細

14、繩提起井中質量為m的物體。開始時，車在A點，繩子已經拉緊且是豎直的，左側繩長為H。提升時，車加速向左運動，沿水平方向從A經過B駛向C。設A到B的距離也為H，車過B點時的速度為v。求在車由A移到B的過程中，繩Q端的拉力對物體做的功。（設繩和滑輪的質量及摩擦不計，滑輪尺寸不計）mQABCHH【解析】本題中汽車和重物構成連接體，但解題通常取重物為研究對象，根據動能定理列方程： （1） （2）由于左邊繩端和車有相同的水平速度v，v可分解成沿繩子方向的兩個分速度，mQABCHHvxv （3）將（3）式和（2）式代入（1）式可得：例5、總質量為的列車，沿水平直線軌道勻速前進，其末節車廂質量為，中途脫節，司

15、機發覺時，機車已行駛的距離，于是立即關閉發動機除去牽引力，設運動的阻力與質量成正比，機車的牽引力是恒定的，當列車的兩部分都停止時，它們的距離是多少?【思路點撥】車頭和脫節的車廂運動情景不同，應畫好運動示意圖。【解析】解法一：先畫出草圖如圖所示，在圖中標明各部分的位移對車頭，在脫節前后的整個過程中運用動能定理有： 對末節車廂，應用動能定理有 由位移關系知： 由于列車脫節前做勻速運動 故 由聯立得：解法二：設列車勻速行駛時速度為，則脫節后，尾部車廂做勻減速運動至停止，運動過程中初速度為，末速度為零，設加速度大小為，運動位移為對車頭部分的運動，作如圖所示分析圖設在A處脫節，運動至B點時才發覺，后立即

16、關閉發動機，則AB段上為勻加速運動，達B點時速度有最大值，從B點開始，頭部車廂做勻減速運動至D點剛好停止考查BD過程，其中必有一點車速為，設為C點，則CD過程做初速度為、加速度大小為、末速度為零的運動，此段位移與尾部車廂的位移相同由此可知，當兩部分都停止運動后，兩車的間距大小等于AC的大小 根據以上分析，取車頭部分為研究對象，取AC過程來分析，依動能定理有：聯立解得，故兩車都停止后相隔的間距為：解法三：補償法 若脫節后立即關閉發動機，則車頭、車尾車廂應前進相同的距離而停在一起現在之所以停下后拉開一段距離，是因為牽引力在的距離上多做了功，因而車頭車廂動能多了一些，使其克服阻力多走一段距離可見，在

17、距離上做的功應等于阻力在距離上做的功，即，又，故【總結升華】用牛頓第二定律解此題后再與應用動能定理的解法相比較，動能定理解法的簡便之處是顯而易見的動能定理不需要涉及列車脫節前后運動情況的細節，只要根據始末兩個狀態給出方程即可從該題還可以看出，動能定理不僅適用于運動狀態不變的過程，也適用于其中包含幾個不同的運動狀態的全過程，不過應當注意分析各個不同過程的受力情況和做功情況，將全過程所有力做的功的代數和代入方程可見，運用動能定理時要靈活選取過程，過程的選取對解題難易程度有很大影響類型四、動能定理與圓周、平拋運動的結合例6、質量為的物體由圓弧軌道頂端從靜止開始釋放，如圖所示， A為軌道最低點，A與圓

18、心O在同一豎直線上，已知圓弧軌道半徑為R，運動到A點時，物體對軌道的壓力大小為，求此過程中物體克服摩擦力做的功。 【答案】【解析】A點是圓周的最低點，仍然在圓周上，需要向心力，所以小球在A點的合力提供向心加速度，由牛頓第二定律：解得：在圓弧軌道下滑過程中，由動能定理得：所以：舉一反三【變式1】如圖，一半徑為R的半圓形軌道豎直固定放置，軌道兩端等高；質量為m的質點自軌道端點P靜止開始滑下，滑到最低點Q時，對軌道的正壓力為2mg，重力加速度大小為g。質點自P滑到Q的過程中，克服摩擦力所做的功為（ ） A B C D【答案】C【解析】當質點由P點滑到Q點時，對軌道的正壓力為FN=2mg，由牛頓第二定

19、律得。對質點自P滑到Q點應用動能定理得：，得：，因此，A、B、D錯，C正確。【總結升華】典型的曲線運動，是非勻速圓周最低點問題與動能定理的綜合。【變式2】如圖所示，一個光滑的水平軌道與半圓軌道相連接，其中半圓軌道在豎直平面內，半徑為R，質量為m的小球以某速度從A點無摩擦地滾上半圓軌道，小球通過軌道的最高點B后恰好做平拋運動，且正好落在水平地面上的C點，已知AC=AB=2R,求:（1）小球在A點時的速度大小（2）小球在B點時半圓軌道對它的彈力【答案】；0 【解析】（1）先研究小球從B點平拋到C點過程：豎直方向：水平方向：聯立解得：從A到B過程，由動能定理：解得：（2）小球在軌道最高點時，假設除重

20、力外，還受到軌道的彈力N，由牛頓第二定律得：解得：【變式3】如圖，讓質量m5kg的擺球由圖中所示位置A從靜止開始下擺。擺至最低點B點時恰好繩被拉斷。設擺線長1.6m，懸點O與地面的距離OC4m，若空氣阻力不計，繩被拉斷瞬間小球的機械能無損失。（g10m/s2）求：（1）繩子所能承受的最大拉力T（2）擺球落地的速率v【答案】；【解析】（1）根據幾何關系，AB兩點高度差，擺球從A到B過程由動能定理得：解得：在最低點B，小球受力如圖，由牛頓第二定律：解得，所以，繩子能承受的最大拉力為（2）繩子斷裂后，小球做平拋運動，由動能定理：解得【總結升華】分清楚物體運動的各個過程，表示出全過程中各力所做的功和初、末態動能的變化是解題的關鍵 例7、如圖所示，用一塊長L1=1.0 m的木板在墻和桌面間架設斜面，桌子高H=0.8 m，長L2=1.5 m。斜面與水平桌面的傾角可在060°間調節后固定。將質量m=0.2 kg的小物塊從斜面頂端靜止釋放，物塊與斜面間的動摩擦因數1=0.05，物