1、專題3.4： “設而不求”的導數問題的研究與拓展【探究拓展】探究1：若函數滿足，且時，函數則函數在區間上的零點個數為_.15思考：證明：函數在區間上有且僅有一個零點.探究2：已知函數f(x)=lnx+ +axa2(其中a0)（1）當a=1時，求f(x)的最小值；（2）若x1,3時，f(x)0恒成立，求實數a的取值范圍（可以直接單刀直入的方法）對于圖像的要求：一開始必須單調遞增，否則不成立解：函數f(x)的定義域為(1，+) （1）a=1時，f(x)=lnx+ +x3，f (x)= +1= 當0x1時，f (x)1時，f (x)0 所以，f(x)在區間(0,1)上為減函數，在區間(1，+)上為增

2、函數.所以，a=1時，f(x)的最小值為f(1)=0 （2）由(1)當a=1時，f(x)0恒成立，即lnx+ +x30恒成立.所以當a1，且x1,2時，f(x)=lnx+ +a（x1）2lnx+ +x30所以，當a1符合要求 0a0)，令g(x)=ax2+x2，g(1)=a10，所以方程ax2(2a1)x3=0一根大于1，另一根小于1， 不妨設兩根為x1，x2，x11x2，所以1xx2時，f (x)0，f(x)在(1，x2)為減函數 故當x(1，x2)時，f(x)f(1)=0，與x1，3，f(x)0恒成立矛盾所0a1不符合要求所以，a的取值范圍是1，+) 探究3：已知函數的圖像在點(其中為自然

3、對數的底數)處的切線斜率為3. （1）求實數的值；（2）若，且對任意恒成立，求的最大值；（3）當時，求證：.解析：（1），由解得；（2）， （換元）令，有，那么. （研究導函數的導數）不妨設，由，則可知，且. （導函數零點估計）因此，當時，；當時，；（得到函數單調性）即可知， （設而不求代入化簡）所以，得到滿足條件的的最大正整數為3.（3）證明：； （等價轉化）由，下只要證在為增函數即可： ，令，由，那么， （研究導函數的導數）得到，從而可知在為增函數，得證.變式1：函數，當時，不等式恒成立，則整數k的最大值為_ 4 先縮小再驗證證明變式2：已知函數，為何值時，方程有唯一解.解析： ， （等價

4、轉化）當時，有； （分離參數step1）設，；又，不妨設，則可知. （分母零點的估計）當時，得到； ，令，易知，且時，；時，；（導函數零點的發現） 綜上可知在區間上為減函數，在區間上為增函數；畫圖函數圖像： 因此，可知所求的范圍為. （作圖像時需要用極限！）變式3：已知函數，當時，求實數a的取值范圍，首先，當時，在上恒成立，則有其次，當時，令，由題1可知，當，即時，此時,同樣有再者，當時，函數與相交于點和同時，當時，；當時，. 即可知，將代入得到： ，令，則又由變式2可知，那么，即在區間上遞減，因此有，與矛盾，故不合題意綜上可知，滿足題意的實數a的取值范圍為評注2：上述解法中，若要驗證不合題意，除了采用解法中的嚴謹論證，也可采用“驗證性”做法：即將代入到中，得到若時，則有，與矛盾，故不成立評注3：若從“形”的角度去“還原”此題，可令，易知，