1、機(jī)器人柔性臂動(dòng)力學(xué)建模的D              摘要從改進(jìn)柔性臂的模化原則出發(fā)，提出了多連桿復(fù)雜的柔性臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模的更為一般化的簡(jiǎn)單有效的D-Holzer法。用該法推導(dǎo)了兩連桿柔性臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真。敘詞：柔性臂動(dòng)力學(xué)建模非線性仿真中圖分類號(hào)：TP242A NEW DYNAMIC MODELINGMETHOD OF D-HOLZER OF THEFLEXIBLE MANIPULATORDing XilunZhang Qixian(Beijing

2、University of Aeronauticsand Astronautics)AbstractBased on the Holzer method, a new efficiency dynamic modeling method of D-Holzer for multilink flexible manipulators is proposed by improving the assumed principle of modeling. The dynamic model of a two flexible link manipulator system is obtained w

3、ith this method, and then the dynamic simulation is done with the nonlinear modelKey words：Flexible manipulatorDynamic modelingNonlinearSimulation0前言機(jī)器人柔性臂是一個(gè)非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，存在著嚴(yán)重的非線性。進(jìn)行機(jī)器人柔性臂動(dòng)力學(xué)問題的研究，其模型的建立是極其重要的。在柔性臂的建模上，其關(guān)鍵一點(diǎn)是對(duì)分布柔性的有限維近似。這些近似方法中，有當(dāng)作分布參數(shù)系統(tǒng)1，3來處理的Rayleigh法、Ritz方法、Galerkin方法、假定模態(tài)法，還有當(dāng)作集中

4、參數(shù)系統(tǒng)2，4來處理的Holzer法、Myklestad法、有限元素法等，其在建模的方法上各具特點(diǎn)。集中參數(shù)系統(tǒng)把彈性體分為幾個(gè)元素，求各個(gè)元素的振動(dòng)方程式，然后用矩陣集合起來，構(gòu)成整體的振動(dòng)方程。其對(duì)密度和質(zhì)量不均勻的物體來說，是很有效的。而分布參數(shù)系統(tǒng)是把相對(duì)密度、質(zhì)量比較均勻的系統(tǒng)作為研究對(duì)象來處理。如何對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行合理假設(shè)與近似處理使建模簡(jiǎn)單有效是目前機(jī)器人柔性臂動(dòng)力學(xué)建模所機(jī)器人柔性臂動(dòng)力學(xué)建模的D-Holzer法 歡迎您訪問范.文,之.家需要解決的主要問題。針對(duì)柔性臂建模研究的現(xiàn)狀，對(duì)柔性臂建模的Holzer法進(jìn)行了完善，提出了改進(jìn)的D-Holzer法。1系統(tǒng)的模化由于影響柔性臂動(dòng)力

5、學(xué)系統(tǒng)的因素較多，充分考慮各種影響，建立能夠準(zhǔn)確反映系統(tǒng)實(shí)際情況的精確的動(dòng)力學(xué)模型一般是不可能的，同時(shí)，在許多情況下，由于所建立的模型比較復(fù)雜，不便于進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析與控制的研究，所以在建模時(shí)要做許多的假設(shè)與合理的近似處理。正因?yàn)檫@些假設(shè)與近似處理手段的不同，才產(chǎn)生了各種獨(dú)具特點(diǎn)的建模方法。1.1方法描述本文中，把集中彈性質(zhì)量模型應(yīng)用于柔性臂的建模。柔性臂是由驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的關(guān)節(jié)和與此相結(jié)合的連桿構(gòu)成的，在此，各個(gè)關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，各個(gè)連桿的長(zhǎng)度近似不變。原Holzer法2的處理方法是，首先，把臂桿分割成適當(dāng)?shù)膮^(qū)間，把分割后的各區(qū)間的質(zhì)量二等分，做為各區(qū)間兩頭的集中質(zhì)量來對(duì)待，即在臂的切斷點(diǎn)存在集中

6、質(zhì)量，并考慮集中質(zhì)量間是無質(zhì)量的彈性體。在Holzer法中，把這個(gè)集中質(zhì)量稱作站點(diǎn)(Station)，無質(zhì)量的彈性部分稱為彈性域(Field)。柔性機(jī)械臂是按照把散布的各個(gè)關(guān)節(jié)和集中質(zhì)量與無質(zhì)量的彈性體相結(jié)合的構(gòu)造體而模型化的。連桿分割成幾部分是根據(jù)所研究的機(jī)械臂的特點(diǎn)、控制的方法以及所需的模型的精確程度等問題參考來決定的。例如，在具有很強(qiáng)的柔性的大連桿柔性臂的情況下，為得到高精度的近似模型，就有必要取足夠的分割數(shù)；反之，在柔性臂的關(guān)節(jié)部分，末端具有較大的質(zhì)量，而連桿的質(zhì)量相對(duì)很小的情況下，即使考慮一個(gè)連桿對(duì)應(yīng)一個(gè)彈性域的話，也可以得到十分近似的模型。1.2D-Holzer法根據(jù)具體情況，對(duì)臂

7、桿均勻細(xì)長(zhǎng)，末端具有較大的集中質(zhì)量的柔性臂，我們考慮一個(gè)臂桿對(duì)應(yīng)一個(gè)彈性域，而且將Holzer法中，對(duì)彈性域端部的站點(diǎn)的質(zhì)量分配的質(zhì)量均分原則變?yōu)榘凑绽@驅(qū)動(dòng)其轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)節(jié)慣量相當(dāng)?shù)脑瓌t。對(duì)臂桿不均勻的柔性臂，我們將其適當(dāng)?shù)胤殖捎邢迋€(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間作為一個(gè)彈性域，對(duì)其兩端的站點(diǎn)的質(zhì)量分配也是按照繞驅(qū)動(dòng)其轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)節(jié)慣量相當(dāng)?shù)脑瓌t進(jìn)行處理。通過下面的簡(jiǎn)單比較，可以看出，經(jīng)過這樣處理以后，不僅使柔性臂建模過程簡(jiǎn)單，而且可以得到十分近似的模型，使建模方法更為方便有效。本文將改進(jìn)后的建模方法，稱為D-Holzer法。1.3方法比較下面我們就通過圖1和表，對(duì)動(dòng)力學(xué)建模的Holzer法和改進(jìn)以后的D-Holze

8、r法做一下比較，這樣兩種方法的原理和各自的優(yōu)缺點(diǎn)就一目了然。圖1（省）Holzer法與D-Holzer法的系統(tǒng)簡(jiǎn)化的描述表2種方法的比較把該柔性臂看作是具有兩個(gè)關(guān)節(jié)、二個(gè)彈性域和二個(gè)站點(diǎn)的集中參數(shù)系統(tǒng)。關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Ia1和Ia2，轉(zhuǎn)角分別為1、2。站點(diǎn)1和站點(diǎn)2的質(zhì)量、慣性張量分別為m1、m2和Iz1、Iz2，相應(yīng)的變形和扭轉(zhuǎn)角分別用u1、1和u2、2來表示。彈性域1和彈性域2的長(zhǎng)度分別為l10、l2，其彈性變形的剛度系數(shù)分別為E1I1和E2I2。站點(diǎn)1和關(guān)節(jié)2之間的距離用l11表示。系統(tǒng)做小變形假設(shè)。2.1坐標(biāo)變換關(guān)系彈性域k(k=1，2)與站點(diǎn)k的關(guān)系描述見圖3所示。從關(guān)

9、節(jié)1到基坐標(biāo)的坐標(biāo)變換關(guān)系為：從站點(diǎn)1到關(guān)節(jié)1的坐標(biāo)變換為彈性域1沒有變形的情況下11彈性域1有變形的情況下111關(guān)節(jié)2到站點(diǎn)1的坐標(biāo)變換為站點(diǎn)2到關(guān)節(jié)2的坐標(biāo)變換為彈性域2沒有變形的情況下22彈性域2有變形的情況下222所以，站點(diǎn)1到基坐標(biāo)的坐標(biāo)變換為站點(diǎn)2到基坐標(biāo)的坐標(biāo)變換為(8)式中=1+1+2Q1=l10cos 1-u1sin(1+1)+l11cos +l2cos Q2=l10sin 1+u1cos(1+1)+l11sin +l2sin 2.2動(dòng)力學(xué)模型的建立站點(diǎn)1的位置矢量站點(diǎn)2的位置矢量其速度分別為所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的勢(shì)能為虛功為耗散能為式中>0小的阻尼系數(shù)以上各式(13

10、)(16)代入Lagrange第二方程，經(jīng)過復(fù)雜的推導(dǎo)和整理得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為式中m6×6正定、對(duì)稱、時(shí)變的質(zhì)量矩陣6×1包含哥氏力、離心力和彈< 歡迎您訪問機(jī)器人柔性臂動(dòng)力學(xué)建模的D-Holzer法(3) /p>                              性力等的變

11、量耦合矩陣F6×1外加力矩列矩p=,u系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)動(dòng)力學(xué)方程式(17)中m及中的元素的具體表達(dá)式參見文獻(xiàn)5。3動(dòng)力學(xué)仿真柔性臂的非線性動(dòng)力學(xué)模型式(17)進(jìn)一步可以寫成對(duì)圖2所示的一平面兩柔性桿空間機(jī)器人操作臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。已知柔性臂系統(tǒng)的臂桿長(zhǎng)度分別為l1=l2=2.0 m，l10=1.9 m，l11=0.1 m，集中質(zhì)量分別為m1=2.0 kg，m2=200.0 kg，臂桿的彎曲剛度均為EI1=EI2=EI=200.0 N*m2，關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Ia1=1.0 kg*m2，Ia2=0.5 kg*m2，站點(diǎn)1、站點(diǎn)2繞各自坐標(biāo)系中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Iz1=0.02 kg*m

12、2，Iz2=0.05 kg*m2，彈性阻尼系數(shù)=0.005。在給出兩個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩分別為M1=0.6 N*m(0t2 s)4結(jié)論從以往柔性臂建模方法的研究，可以發(fā)現(xiàn)，假定模態(tài)法是分布參數(shù)系統(tǒng)的建模方法，對(duì)密度、質(zhì)量、彈性等分布比較均勻的系統(tǒng)的建模非常有效，但其邊界條件的處理較為復(fù)雜。而有限元素法和Holzer法對(duì)密度、質(zhì)量和彈性等不均勻的集中參數(shù)系統(tǒng)建模非常方便有效，而且有限元素法對(duì)邊界條件處理簡(jiǎn)單。另外，有限元素法與Holzer法比較，其建模過程十分有利于計(jì)算機(jī)來完成，所給出的模型信息，便于對(duì)柔性臂進(jìn)行計(jì)算機(jī)圖形動(dòng)態(tài)仿真。但假定模態(tài)法和有限元素法對(duì)于復(fù)雜的多自由度柔性臂系統(tǒng)，不僅建模有困難

13、，而且，得到以模型為基礎(chǔ)的控制規(guī)則也不是現(xiàn)實(shí)的事情。而Holzer法對(duì)典型的集中參數(shù)系統(tǒng)的建模比有限元法更為簡(jiǎn)單方便，但也存在著模化誤差較大、處理方法不夠完善的問題。經(jīng)過改進(jìn)以后的D-Holzer法，不僅適合于密度、質(zhì)量和彈性等不均勻的集中參數(shù)系統(tǒng)建模，而且，其對(duì)密度、質(zhì)量、彈性等分布比較均勻的系統(tǒng)的建模也非常有效，并且使柔性臂 （機(jī)器人柔性臂動(dòng)力學(xué)建模的D-Holzer法(4) 建模更加準(zhǔn)確、方便。注釋：國(guó)家航天863青年基金資助項(xiàng)目。作者簡(jiǎn)介丁希侖，男，工學(xué)博士，1967年9月出生，北京航空航天大學(xué)機(jī)器人研究所副教授。主要研究方向：機(jī)器人柔性臂動(dòng)力學(xué)與控制、復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的模糊與智能控制。

14、作者單位：北京航空航天大學(xué)機(jī)器人研究所北京100083參考文獻(xiàn)1Cetinkunt S, Ittoop B.Computer automated symbolic modeling of dynamics of robotic manipulators with flexible links. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1992,8(1)941052Konno A, Uchiyama M. Modeling of a flexible man- ipulator dynamics based on the Holzer's method. J.of Japan Robot Institute, 1994,12(7)102110283Meirovitch L, Stemple T.Hybrid equations of motion for flexible multibody systems using quasi coordinates. J.of Guidance, Control, and Dynamics, 1995,18(4)6786884Yoshika