1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)模型案例4森林救火模型 森林失火了！消防站接到火警后，立即決定派消防隊(duì)員前去救火.一般情況下，派往的隊(duì)員越多，火被撲滅的越快，火災(zāi)所造成的損失越小，但是救援的開支就越大；相反，派往的隊(duì)員越少，救援開支越少，但滅火時(shí)間越長，而且可能由于不能及時(shí)滅火而造成更大的損失，那末消防站應(yīng)派出多少隊(duì)員前去救火呢？ （1）問題分析如題中所述，森林救火問題與派出的消防隊(duì)員的人數(shù)密切相關(guān)，應(yīng)綜合考慮森林損失費(fèi)和救援費(fèi)，以總費(fèi)用最小為目標(biāo)來確定派出的消防隊(duì)員的人數(shù)使總費(fèi)用最小. 救火的總費(fèi)用由損失費(fèi)和救援費(fèi)兩部分組成.損失費(fèi)由森林被燒毀的面積大小決定 ，而燒毀面積與失火、滅火（指火被撲

2、滅）的時(shí)間（即火災(zāi)持續(xù)的時(shí)間）有關(guān)，滅火時(shí)間又取決于參加滅火的隊(duì)員的數(shù)目，隊(duì)員越多滅火越快.救援費(fèi)除與隊(duì)員人數(shù)有關(guān)外，也與滅火時(shí)間長短有關(guān).救援費(fèi)可具體分為兩部分：一部分是滅火器材的消耗及消防隊(duì)員的薪金等，與隊(duì)員人數(shù)及滅火時(shí)間均有關(guān)；另一部分是運(yùn)送隊(duì)員和器材等一次性支出，只與隊(duì)員人數(shù)有關(guān). 設(shè)火災(zāi)發(fā)生時(shí)刻為t=0，開始救火時(shí)刻為t=t1，滅火時(shí)刻為t=t2，t時(shí)刻森林燒毀面積為B（t），則造成損失的被燒毀的森林的面積為B（t2），而是森林被燒毀的速度，也表示了火勢(shì)蔓延的程度.從火災(zāi)發(fā)生時(shí)刻開始到火被撲滅的過程中，被燒毀的森林的面積是不斷擴(kuò)大的，因而B（t）應(yīng)是時(shí)間t的單調(diào)非減的函數(shù)，即.從火災(zāi)

3、發(fā)生到消防隊(duì)員到達(dá)并開始救火這段時(shí)間內(nèi)，火勢(shì)是越來越大的，即.開始救火以后，即時(shí)，如果隊(duì)員滅火能力足夠強(qiáng)，火勢(shì)會(huì)越來越小，即，并且當(dāng)t=t2時(shí)，.在建立數(shù)學(xué)模型之前，需要對(duì)燒毀森林的損失費(fèi)、救援費(fèi)及火勢(shì)蔓延程度作出合理的假設(shè). （2）模型假設(shè) 森林中樹木分布均勻，而且火災(zāi)是在無風(fēng)的條件下發(fā)生的； 損失費(fèi)與森林燒毀面積B（t2）成正比，比例系數(shù)為c1，即燒毀單位面積的損失費(fèi)為c1； 從失火到開始救火這段時(shí)間內(nèi)，火勢(shì)蔓延程度與時(shí)間t成正比，比例系數(shù)為，稱之為火勢(shì)蔓延速度，即 派出消防隊(duì)員x名，開始救火以后（），火勢(shì)蔓延速度降為（線性化），其中可視為每個(gè)隊(duì)員的平均滅火速度，且有，因?yàn)橐獡錅缟执蠡穑?/p>

4、滅火速度必須大于火勢(shì)蔓延的速度，否則火勢(shì)將難以控制； 每個(gè)消防隊(duì)員單位時(shí)間費(fèi)用為c2（包括滅火器材料的消耗及消防隊(duì)員的薪金等），救火時(shí)間為t2-t1，于是每個(gè)隊(duì)員的救火費(fèi)用為c2(t2-t1)；每個(gè)隊(duì)員的一次性支出為c3(運(yùn)送隊(duì)員、器材等一次性支出).對(duì)于假設(shè)3可作如下解釋：由于森林中樹木分布均勻，且火災(zāi)是在無風(fēng)條件下發(fā)生的，因而火勢(shì)可看作以失火點(diǎn)為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，因而蔓延半徑r與時(shí)間t成正比，又因?yàn)闊龤娣eB與r2成正比，故B與t2成正比，從而與t成正比. （4）模型建立總費(fèi)用由森林損失費(fèi)和救援費(fèi)組成.由假設(shè)2，森林損失費(fèi)等于燒毀面積B（t2）與單位面積損失費(fèi)c1的積，即c1B(t2)；由假設(shè)5，救援費(fèi)為c2x(t2-t1)+c3x，因此，總費(fèi)用為 .由假設(shè)3，4，火勢(shì)蔓延速度在內(nèi)線性地增加，t1時(shí)刻消防隊(duì)員到達(dá)并開始救火，此時(shí)火勢(shì)用b表示，而后，在內(nèi)，火勢(shì)蔓延的速度線性地減少（如圖26），即 圖26與時(shí)間t的關(guān)系 因而有. 燒毀面積為 恰為圖26中三角形的面積. 由b的定義有，于是 所以