1、14類型一函數(shù)類型確定型含參二次函數(shù)2 一1 .已知拋物線 y=3ax+2bx+c.(1)若a=3k, b=5k, c=k+1,試說明此類函數(shù)圖象都具有的性質(zhì)；(2)若a=；, c=2+b,且拋物線在一2W x<2區(qū)間上的最小值是一3,求b的值； 3(3)若a+b+c= 1,是否存在實數(shù)x,使得相應(yīng)的y值為1,請說明理由.解：(1)a=3k, b= 5k, c=k+1,，拋物線 y= 3ax2 + 2bx+c 可化為 y= 9kx2+10kx+k+1 = (9x2+10x+1) k+1,.令 9x2+10x+1 = 0,解得 x1= 1 , x2= :,9圖象必過點(一1, 1), (1

2、 1), 9，對稱軸為直線 x=- 2109k=-9；1(2) , a= 3, c= 2+ b,，拋物線 y= 3ax2 + 2bx+c可化為 y=x2+ 2bx+ 2+ b,2b，對稱軸為直線x=一萬=b,當(dāng)一b> 2 時，即 bv 2,1 .x=2時，y取到最小值為3.4+4b+2+b= 3,解得b= 5(不符合題意，舍去)，當(dāng)一bv 2時即b>2,，x=2時，y取到最小值為3.3, 24 (2+ b) 4b4.44b+2+b= 3,解得 b=3;當(dāng)一2V b< 2時，即一2V bv 2,當(dāng)x= b時，y取到最小值為一 =-3,解得匹="2反(不符合題意，舍去)

3、，b2=1-221,綜上所述，b=3或2；(3)存在.理由如下：丁 a+ b+c=1,2 c 1 = a b>令 y = 1,貝U 3ax2 + 2bx+c= 1.A =4b24(3a)( c-1) =4b2+4(3a)( a+b) = 9a2+12ab+4b2+3a2= (3a+2b) 2+3a： . aw0,3 .(3 a+ 2b)2+3a2>0,A >0,，必存在實數(shù)x,使得相應(yīng)的y值為1.2.在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別相交于 A( -3, 0)、R0 , 3)兩點，二次函數(shù) y=x2+ m奸n的圖象經(jīng)過點 A(1)求一次函數(shù) y=k

4、x+b的表達式；(2)若二次函數(shù)y = x2+m奸n的圖象頂點在直線 AB上，求m n的值；(3)設(shè)m= 2,當(dāng)一3wxwo時，求二次函數(shù) y = x2+m刈n的最小值； 若當(dāng)一3w x<0時，二次函數(shù)y = x2+m刈n的最小值為一4,求m, n的值.解：將點 代3, 0), B(0, 3)代入y=kx+b得-3k+ b=0b=- 3k= 1b= - 324n-m4九，一次函數(shù)y=kx+b的表達式為y= x 3；(2)二次函數(shù)y= x2 + m奸n的圖象頂點坐標為(一m, 頂點在直線AB上，4n m m=2-3,又二次函數(shù) y= x2+m奸n的圖象經(jīng)過點 A( -3, 0) 1- 9-

5、 3m+ n= 0,4n- rm m=3 組成方程組為42,9-3m n = 0m= 4 m= 6解得n=3或n=9；當(dāng)m= 2時，由(2)得9-3m+ n=0,解得n=- 15,y= x2-2x- 15. 二次函數(shù)對稱軸為直線 x=1,在一3< x<0右側(cè), 當(dāng)x=0時，y取得最小值是15.;二次函數(shù)y= x2+m肝n的圖象經(jīng)過點 A,9 3m+ n= 0,二次函數(shù)y = x2+ m刈n的對稱軸為直線 x= - 2;i)如解圖,當(dāng)對稱軸一m ,4n m23v 2v0時，最小值為-4-=- 4,聯(lián)立24n m9- 3m+ n= 0m= 2m= 10m解得n = -3或n=21(由一

6、 3< -2<°知不符合題意舍去)m= 2n=- 3,ii)如解圖，當(dāng)對稱軸一2> 0時，,一 3w xw0, .當(dāng)x=0時，y有最小值為一4,把(0 , 4)代入 y=x2+m刈 n,得 n=4,把 n = 4 代入 9 3m n= 0,得 m= 5.3mK 0,，此種情況不成立;iii) 當(dāng)對稱軸一mm=。時，y = x2+m奸n當(dāng)x=0時，取得最小值為一 4, 把(0 , 4)代入 y= x2+ m刈 n 得 n = - 4,把 n = - 4 代入 9 3m n= 0,得 m= 5.3m2=0m= 0,，此種情況不成立；iiii) 當(dāng)對稱軸一m< 3時

7、，一 3W xW0, .當(dāng)x=3時，y取得最小值一4, /當(dāng)x =-3時，y=0,不成立.綜上所述，mi= 2, n= - 3.第2題解圖3.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)yi=x2+2(k2)x+k24k+ 5.(1)求證：該二次函數(shù)圖象與坐標軸僅有一個交點；(2)若函數(shù)y2= kx+3經(jīng)過yi圖象的頂點，求函數(shù) yi的表達式；(3)當(dāng)1WxW3時，二次函數(shù)的最小值是 2,求k的值. 證明：b2- 4ac= 4( k- 2) 2-4( k2- 4k+ 5) = - 4<0, .函數(shù)圖象與 x 軸沒有交點，當(dāng) x = 0 時，yi=k2-4k+5=(k-2)2+1>0,，二次函數(shù)與坐

8、標軸僅有一個交點；2(2)解：yi= (x + k2) +1,函數(shù)yi的頂點坐標為(2k, 1),代入函數(shù)y2=kx+3得(2-k) k+3=1,解得 k= 1 + V3或 k= 1 y3,y1 = x2 + 2(1) x+ 5- 25或 y1 =x2- 2(班+ 1) x+ 5+ 2，3;(3)解：當(dāng)對稱軸x =白=2 kwi時，k> 1,2a當(dāng)x=1時，y1取得最小值2,即 1+2(k2) + k2 4k+5=2,解得 k=0(舍去)或 k=2；當(dāng)對稱軸1<2 k<3時，1<k<1,當(dāng)x = 2k時，最小值恒為1,無解；當(dāng)對稱軸x=2k>3時，k<

9、- 1,當(dāng)x = 3時，yi取得最小值2,即 9 + 6(k2) + k2 4k+5=2,化簡得 k2+2k=0,解得 k=0(舍去)或 k= 2.綜上所述，k的值為2或2.4.已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(aw0)的圖象經(jīng)過 A(1 , 1)、B (2 , 4)和C三點.(1)用含a的代數(shù)式分別表示 b、c;(2)設(shè)拋物線y=ax2+bx+ c的頂點坐標為(p, q),用含a的代數(shù)式分別表示 p、q；, 一一 3 當(dāng)a>0時，求證：p<2, q< 1.(1)解：二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A(1 , 1)、B(2 , 4)兩點，1 = a+ b+ c4 =

10、 4a+ 2b+ c'化解得3=3a+b,b= 3 3a, - 1 = a+ 3 3a+ c,c= 2a - 2；(2)解：由(1)得 b=3 3a, c=2a-2, b 3a-3-p=_2a=_20"4a (2a 2) (3 3a) a + 10a 94a4a(3)證明：3 一分< °，3a-3 p= W3 g 32 2a< 2；(a 3)4a2-<0,a2+6a9 4a 4a+ 4a一(a 3)4a2-+K1.a>0,5.已知拋物線y1=ax2 + bx+c(aw°, awc)過點A(1 , 0),頂點為B,且拋物線不經(jīng)過第三象

11、限.(1)用含a、c的代數(shù)式表示b；(2)判斷點B所在象限，并說明理由;(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點B,且與該拋物線交于另一點C(c, b+8),求當(dāng)x>l時，y1的a取值范圍.解：(1) ,拋物線 y1= ax2+bx+c(aw°, awc)經(jīng)過點 A(1 , 0),把點A(1 , 0)代入即可得到 a+b+c= 0,即b= ac；(2)點B在第四象限.理由如下：;拋物線 y1=ax2+bx+ c(a*0, ac)過點 A(1, 0),，拋物線y1與x軸至少有1個交點，令ax2+bx+c=0,cXi . X2 = -, a1- xi = 1, X2=1.- aw c,a，

12、拋物線與x軸有兩個不同的交點，又二.拋物線不經(jīng)過第三象限，.a>0,且頂點B在第四象限；(3)點ac, b+ 8)在拋物線上，a令 b + 8=0,得 b=- 8,由(1)得 a+ c= b, a+ c= 8,把B( 一4acb )、C(c, b+8)兩點代入直線解析式得 2a4aa4ac b24a=2x (- ?) + m2ab+8=2xc+maa+ c= 8a= 2 a= 4b= 8解得 或c= 6b= - 8(ac,舍去)，c= 4m= - 6 m= - 2如解圖所示，C在A的右側(cè),當(dāng) x>l 時,第5題解圖6.在平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)yi = ax2+2ax+ 3(a

13、w0).(1)若函數(shù)yi的圖象經(jīng)過點(一1, 4),求函數(shù)yi的表達式；(2)若一次函數(shù)y2=bx+a(bw0)的圖象經(jīng)過y1圖象的頂點，探究實數(shù)a, b滿足的關(guān)系式;(3)已知點P(1 , m和Qx。，n)在函數(shù)y1的圖象上，若 m>n,求xo的取值范圍.解：(1) .二次函數(shù) y1 = ax2+2ax+ 3的圖象經(jīng)過點(一1, 4), 4= a 2a+ 3) a= 1 1,，函數(shù)y1的表達式為y1=x22x+3；(2) -. y1=ax2 + 2ax+3=a(x+1)2 + 3-a,，y1圖象的頂點坐標為(一1, 3-a).:一次函數(shù)y2=bx+ a(bw。)的圖象經(jīng)過yi圖象的頂點

14、,3 a= b+ a,實數(shù)a、b滿足的關(guān)系式為b=2a3；二次函數(shù)yi=ax2 + 2ax+ 3的圖象的對稱軸為直線2a2si= T'，當(dāng)m= n時,X0 =-3.當(dāng)a>0時，如解圖所示,第6題解圖1.- m> n, 3V xo< 1;當(dāng)a<0時，如解圖所示，m>0,xov 3 或 xo> 1.綜上所述：3vx0<1(a>0)x0的取值范圍為一.xov3或x0> 1(av 0)類型二函數(shù)類型不確定型1.已知函數(shù) y=(n+1)xm+ mx+1 - n(m n 為實數(shù)). 當(dāng)簿n取何值時，此函數(shù)是我們學(xué)過的哪一類函數(shù)？它一定與x軸有交

15、點嗎？請判斷并說明理由；(2)若它是一個二次函數(shù)，假設(shè)n> 1,那么：當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小，請判斷這個命題的真假并說明理由；它一定經(jīng)過哪個點？請說明理由.解：(1)當(dāng) mi= 1, nw2 時，函數(shù)y=(n+1)xm+ mx+ 1 n(mj n為實數(shù))是一次函數(shù)，它一定與 x軸有一個交點，.當(dāng) y=0 時，(n+1)xm+ mx+ 1 - n=0, n- 1'x=n+2，函數(shù)y=(n+1)xm+ m奸1n(mj n為實數(shù))與x軸有交點；當(dāng)mi= 2, nw1時，函數(shù)y=(n+1)xm+ m奸1 - n( m n為實數(shù))是二次函數(shù)，當(dāng) y = 0 時，(n+ 1)x

16、m+ m刈 1 n=0,即(n+1)x2+2x+1 n=0,a =22-4(n+ 1)(1 -n) = 4n2>0,，函數(shù)y=(n+1)xm+ m奸1 - n( m n為實數(shù))與x軸有交點；mn 1當(dāng)n= - 1,0時，函數(shù)y=( n+ 1)x + m奸1 -n是一次函數(shù)，當(dāng)y=0時，x=-m，函數(shù)y= ( n+1) xm+ m肝1 - n( m n為實數(shù))與x軸有交點；(2)假命題，若它是一個二次函數(shù)，則 m= 2,函數(shù) y= (n+1)x2+2x+1 n,1 .- n>- 1, n+ 1 >0,拋物線開口向上，b21對稱軸：x=泊=-2 (n+1)=一<3對稱軸在y

17、軸左側(cè)，當(dāng)x<0時，y可能隨x的增大而增大，也可能隨 x的增大而減 小，故為假命題；它一定過點(1, 4)和(一1, 0),理由如下：當(dāng) x = 1 時，y = n+1 + 2+1 n=4.當(dāng) x = 1 時，y= 0.，它一定經(jīng)過點(1, 4)和(一1, 0).2 .設(shè)函數(shù) y= kx2+(2 k+1)x+1(k 為實數(shù)).(1)寫出其中的兩個特殊函數(shù)，使它們的圖象不全是拋物線，并且在同一坐標系中，用描點法畫出它們的圖象；(2)根據(jù)所畫圖象，猜想出：對任意實數(shù)k,函數(shù)的圖象都具有的特征，并給予證明；(3)對于任意負實數(shù)k,當(dāng)xvm時，y隨x的增大而增大，試求 m的取值范圍.解：(1)令

18、k=0, k=1,則這兩個函數(shù)為 y = x+1, y = x2 + 3x+1,描點法畫函數(shù)圖象如解 圖所示；第2題解圖(2)不論k取何值，函數(shù) y=kx2+(2k+ 1)x+1的圖象必過定點(0,1), ( 2, 1), 且與x軸至少有1個交點.證明：.當(dāng) x=0 時，y=1;當(dāng) x=2 時，y=- 1.，函數(shù)圖象必過(0 , 1) , ( -2, 1);當(dāng)k=0時，函數(shù)為一次函數(shù)， y=x+1的圖象是一條直線，且與 x軸有一個交當(dāng)kwo時，函數(shù)為二次函數(shù)，y=kx2+(2k+ 1)x+1的圖象是一條拋物線.A = (2k+ 1)24x kx i = 4k2+4k+ 1 4k=4k2+1 &

19、gt;0,，拋物線y= kx2+(2 k+1)x+1與x軸有兩個交點.綜上所述，函數(shù)y=kx2+(2k+1)x+1(k為實數(shù))與x軸至少有一個交點；. k<0,，函數(shù)y= kx2+(2k+1)x+1的圖象在對稱軸直線 x= 2匕1的左側(cè)時，y隨x的增大2k而增大.2k+ 1根據(jù)題意，得忤2k而當(dāng) ko 時，22F=-1-21->-1, 2 k2 k m 1.3 .已知函數(shù) y= kx2+ (4- 3k) x-4. 3(1)求證：無論k為何值，函數(shù)圖象與 x軸總有交點；(2)當(dāng)kwo時，A( n- 3, n 7)、B( -n+ 1, n7)是拋物線上的兩個不同點.求拋物線的表達式；求

20、n的值.(1)證明：當(dāng)k=0時，函數(shù)為一次函數(shù)，即y = 4x-4,與x軸交于點(3 , 0);3當(dāng)kwo時，函數(shù)為二次函數(shù)， A =(4-3k)2-4kX(- 4) = (3k + 4)2>0, 33，函數(shù)與x軸有一個或兩個交點；綜上可知，無論k為何值，函數(shù)圖象與 x軸總有交點；(2)解：當(dāng)kwo時，函數(shù)y = kx2+(4 3k)x4為二次函數(shù)， 3- A( n 3, n 7)、B( n+ 1, n 7)是拋物線上的兩個不同點,n 3 n+ 1，拋物線的對稱軸為直線x = - 1,43-3k2k = 1，拋物線的表達式為生 2-84廠謾+15x 4,;(n3, n 7)是拋物線y=;

21、4x2+;8x4上的點,1515428-n-7=(n-3) +15(n-3)-4, 一 19斛付 ni=7, n2=.y的最大值為2,最小值為一3.5.設(shè)函數(shù)y1 = (xk)2 + k和y2= (x+ k)2k的圖象相交于點 A,函數(shù)y% y2的圖象的頂點 分別為B和C(1)畫出當(dāng)k=0, 1時，函數(shù)y1, y2在直角坐標系中的圖象；(2)觀察(1)中所畫函數(shù)圖象的頂點位置，發(fā)現(xiàn)它們均分布在某個函數(shù)的圖象上，請寫出這個函數(shù)的解析式，并說明理由；設(shè)A(x, y),求證：x是與k無關(guān)的常數(shù)，并求 y的最小值.4.已知y關(guān)于x的函數(shù)y= (k1) x22kx+k+2的圖象與x軸有交點.(1)求k的取值范圍；(2)若xi, x2是函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標，且滿足(k1)x2+2kx2+k+2= 4xix2.求k的值；當(dāng)k< x< k+ 2時，請結(jié)合函數(shù)圖象確定y的最大值和最小值.解：(1)當(dāng)k=1時，函數(shù)為一次函數(shù)y=-2x+3,其圖象與x軸有一個交點.當(dāng)kwi時，函數(shù)為二次函數(shù)，