1、2.1.2向量的幾何表示自主預習探新知i. 向量與數量向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.(2) 數量：只有大小，沒有方向的量稱為數量.2. 向量的幾何表示(1) 帶有方向的線段叫做有向線段.它包含三個要素：起點、方向、長度(2) 向量可以用有向線段表示.向量 AB的大小，也就是向量 AB的長度(或稱模)，記作.向量也可以用字母a, b, c,表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，例如，AB，CD.思考：(1)向量可以比較大小嗎？(2) 有向線段就是向量嗎？提示(1)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小.(2) 有向線段只是表示向量的一個圖形工具，它不是向量.3. 向量的有關

2、概念零向量長度為0的向量，記作0單位向量長度等于1個單位的向量平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，記作心小規疋：零向量與任一向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量 向量a與b相等，記作a= b基礎自測1. 思考辨析(1) 零向量沒有方向.()(2) 向量AB的長度和向量BA的模相等.()單位向量都平行.()(4)零向量與任意向量都平行.()解析錯誤.零向量的方向是任意的.正確.(3)錯誤.單位向量的方 向不一定相同或相反，所以不一定平行.(4)正確.答案X V (3)x V2. 有下列物理量：質量；溫度；角度；彈力；風速.其中可以看成是向量的有()A. 1個B . 2

3、個C. 3個D . 4個B 不是向量，是向量.3. 如圖2-1-1,四邊形ABCD是平行四邊形，則圖中相等的向量是 填序號).(1) AD與BC； (2)OB與0D ；(3) AC與BD ； (4)A0與0C.(1)由平行四邊形的性質和相等向量的定義可知:aD= BC, Obm0DACMBD, A0= OC.合作探究攻重難|AX1JJ向量的有關概念例判斷下列命題是否正確，請說明理由:(1) 若向量a與b同向，且|a|>|b|,貝U a>b；(2) 若向量|a| = |b|,則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3) 對于任意向量|a|=|b|,若a與b的方向相同，貝U a= b;(

4、4) 由于 0方向不確定，故 0 不與任意向量平行；(5) 向量a與向量b平行，貝U向量a與b方向相同或相反.思路探究 解答本題應根據向量的有關概念,注意向量的大小、方向兩個 要素解 ( 1 )不正確因為向量由兩個因素來確定，即大小和方向，所以兩個向 量不能比較大小(2) 不正確由|a|=|b|只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關系.(3) 正確因為|a|=|b|，且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得 a= b.(4) 不正確依據規定： 0與任意向量平行(5) 不正確因為向量 a 與向量 b 若有一個是零向量，貝其方向不定規律方法 1.理解零向量和單位向量應注意的問題(1) 零向量的

5、方向是任意的，所有的零向量都相等(2) 單位向量不一定相等，易忽略向量的方向 2共線向量與平行向量(1) 平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區別；(2) 共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同；(3) 平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同 提醒：解決與向量概念有關題目的關鍵是突出向量的核心 方向和長度跟蹤訓練 1 給出下列命題： 若 a / b, b/ c，貝U a / c. 若單位向量的起點相同，貝U終點相同. 起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量； 向量AdB與CD是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一直線上.其中正確命題的序號是 . 錯誤.若b= 0,則

6、不成立; 錯誤.起點相同的單位向量，終點未必相同； 正確對于一個向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的. 錯誤.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并不要求兩個向量AB, CD必須在同一直線上.一一J向量的表示及應用卜例如圖2-1-2, B, C是線段AD的三等分點,分別以圖中各點為起點和終點，可以寫出向量.圖 2-1-2(2)在如圖2-1-3所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1),用直尺和圓規畫出圖 2-1-3 0A,使|0A|= 4 .2,點A在點O北偏東45° aB,使|AB|= 4,點B在點A正東； BC,使BC匸6,點C在點B北偏東30°【導學號：8

7、4352172】(1)12 (1)可以寫出 12 個向量，分別是：AB, AC, AD, BC, BD, CD,BA, CA, DA, CB, DB, DC(2)由于點A在點O北偏東45°處，所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數與縱向小方格數相等.又|OA匸4,2，小方格邊長為1,所以點A距點O 的橫向小方格數與縱向小方格數都為 4,于是點A位置可以確定，畫出向量OA如 圖所示.由于點B在點A正東方向處，且 AB匸4,所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數為4,縱向小方格數為0,于是點B位置可以確定，畫出向量AB如 圖所示.由于點C在點B北偏東30°處，且|BC|= 6,

8、依據勾股定理可得：在坐標紙 上點C距點B的橫向小方格數為3,縱向小方格數為3.3" 5.2,于是點C位置 可以確定，畫出向量BC如圖所示.規律方法1.向量的兩種表示方法：(1) 幾何表示法：先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據向量的 長度確定向量的終點.(2) 字母表示法：為了便于運算可用字母 a, b, c表示，為了聯系平面幾何中的圖形性質，可用表示向量的有向線段的起點與終點表示向量，如AB, CD,eF等.2. 兩種向量表示方法的作用：(1) 用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運算，為用向量處理幾何冋題打下了基礎.(2) 用字母表示法表示向量，便于向量的運算.跟

9、蹤訓練2 .某人從A點出發向東走了 5米到達B點，然后改變方向按東北方向走了10 .2米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了 10米到達D點.(1)作出向量AB, BC, CD;求AD的模.解(1)作出向量AB, BC, CD,如圖所示:(2)由題意得， BCD是直角三角形，其中/ BDC = 90° BC= 12米，CD =10米，所以BD= 10米. ABD是直角三角形，其中/ABD= 90° AB= 5米， BD= 10 米，所以 AD= 52+ 102 = 5 5(米)，所以 |AD匸5 5米.尋找相等向量和共線向量探究問題1. 兩個相等的非零向量的起點與終點是否

10、都分別重合？提示：不一定.因為向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等 向量，與起點和終點位置無關.2. 若AB/CD，則從直線AB與直線CD的關系和AB與CD的方向關系兩個 方面考慮有哪些情況？提示：分四種情況直線AB和直線CD重合，AB與 CD同向;(2) 直線AB和直線CD重合，AB與CD反向;(3) 直線AB /直線CD，AB與CD同向；(4) 直線AB /直線CD，AB與CD反向.例如圖2-1-4，四邊形ABCD為邊長為3的正方形，把各邊三等分后, 共有16個交點，從中選取兩個交點作為向量的起點和終點，則與 AC平行且長度為2 2的向量有哪些？(在圖中標出相關字母，寫出這些向

11、量)【導學號：84352173】圖 2-1-4思路探究所求向量有以下兩個特征：(1)表示此向量的有向線段所在直線 與AC平行或重合.(2)長度是邊長為2的正方形的對角線.8 如圖所示，滿足與AC平行且長度為2 2的向量有AF, RA, EC, CE, (3H，HG,訂,JI共8個.A C R母題探究：1.本例中，與向量AC同向且長度為2 2的向量有幾個?解與向量AC同向且長度為2 2的向量占與向量AC平行且長度為2 2的 向量中的一半，共4個.2本例中，如圖2-1-5，與向量A0相等的向量有多少個?c70/與向量A0方圖 2-1-5解圖中每個小正方形的對角線所在的向量中, 向相同的向量與其相等

12、，共有8個.規律方法相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確 定哪些是同向共線.(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再 構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起 點，起點為終點的向量.提醒：與向量平行相關的問題中，不要忽視零向量.當堂達標固雙基1. 下列結論正確的個數是()(1) 溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；(2) 向量的模是一個正實數；(3) 向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；(4) 若 |a|>|b|,貝U a>b.B 錯誤.溫度是數量不是向量；（2

13、）錯誤.零向量的模為0.（3）正確.因 為零向量與任意向量共線；（4）錯誤.向量不能比較大小.2. 設O是正方形ABCD的中心，則向量AO, BO, OC, OD是（）A .相等的向量C.有相同起點的向量B .平行的向量D .模相等的向量D 由正方形的性質知 AO|=|BO|= |OC匸|OD|.3. 在下列判斷中，正確的是（ 長度為0的向量都是零向量; 零向量的方向都是相同的； 單位向量的長度都相等； 單位向量都是同方向； 任意向量與零向量都共線A .C.【導學號：84352174】B .D .D 由定義知正確，由于零向量的方向是任意的，故兩個零向量的方向是否相同不確定，故不正確.顯然正確，不正確，故選D.4. 在下列命題中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共線向量一定相等；相等向量一定共線；長度相等的向量是相等向量；平行于同一個非零向量的兩個向量是共線向量