1、一 本章習題P272習題1.試證理想六方密堆結構中c/a=1.633.一 說明： C是上下底面距離，a是六邊形邊長。二 分析：首先看是怎樣密堆的。如圖(書圖1.10(a)，P8)，六方密堆結構每個格點有12個近鄰。（同一面上有6個，上下各有3個）上下底面中間各有一個球，共有六個球與之相切，每個球直徑為a。中間層的三個球相切，又分別與上下底面的各七個球相切。球心之間距離為a。所以球心之間即格點之間距離均為a（不管是同層還是上下層之間）。三 證明：如圖OA=a，OO=C/2（中間層是上下面層的一半），AB=aO是ABC的三垂線交點（由余弦定理2若晶胞基矢互相垂直，試求晶面族（hkl）的面間距。一、

2、分析：我們想到倒格矢與面間距的關系。倒格矢與晶面族 （hkl）的關系寫出與正格子基矢 的關系。即可得與晶面族（hkl） 垂直的倒格矢。進而求得此面間距d。二、解：互相垂直，可令晶胞體積倒格子基矢： 而與 （hkl）晶面族垂直的倒格矢 故（hkl） 晶面族的面間距3若在體心立方晶胞的每個面中心處加一個同類原子，試說明這種晶體的原胞應如何選擇？每個原胞含有幾個原子？ 1 分析：考慮選取原胞的條件：（即布拉菲晶格的最小單元）（1） 體積最小的重復結構單元（2） 只包含一個格點（3） 能反映晶格的周期性應將幾個原子組合成一個格點，然后構成原胞。原胞反映周期性，在空間無空隙無交疊排列成晶格。我們不容易看

3、出哪幾個原子組合成一個格點。我們可先分析晶胞是否組成復式格子？何種格子組成的復式格子？是由幾層套構而成的？我們知道如果是體心立方，將是兩個簡立方套構而成的二重復式格子。如果是面心立方，將有對面面心處的原子構成三重簡立方格子；加上頂點處是四重簡立方格子。這樣，我們的題中是體心加面心，面心的四重格子加上體心處的原子構成的一重格子，故應是五重簡立方的復式格子。所以布拉菲晶格是簡單立方格子。這樣可將體心，八個頂點中取一個，對面面心各取一個原子（即三個）作為一個組合形成一個格點，即由5個原子形成一個格點，亦即基元是選這樣的原子組合。最后格點的原胞是簡立方，每個原胞含一個格點，每個格點含五個原子。故每個原

4、胞含有5個原子。2 答：通過分析我們知道，原胞可選為簡單立方，每個原胞中含有5個原子。體心，八個頂點中取一個，對面面心各取一個原子（即三個）作為基元。布拉菲晶格是簡單立方格子。4試求面心立方結構的（111）和（110）面的原子面密度。一（111）面（1） 分析：先分析有幾個原子？如圖（書圖1.12，P10）。（111）面由3頂點連線組成的面。3個頂點原子，每個貢獻1/6，3個面心原子，每個貢獻1/2，共6原子，每個（111）面有個原子。求出（111）面面積可得原子面密度。（2） 解：平均每個（111）面有個原子。（111）面面積所以原子面密度二（110）面（1） 分析：如圖（書圖1.12，P1

5、0）。（110）面是四頂點組成的面。分析有幾個原子？4個頂點原子，每個貢獻1/4（上下兩層，每層兩個單胞中的（110）共用一個頂點）；2個面心原子，每個貢獻1/2。共6個原子，平均每個（110）面有原子。再求出（110）面積即可。（2） 解：平均每個（110）面有個原子。（110）面面積所以（110）面原子面密度5設二維矩形格子的基矢為，試畫出第一、二、三、布里淵區。解：倒格子基矢：所以倒格子也是二維矩形格子。方向短一半。最近鄰次近鄰再次近鄰再再次近鄰做所有這些點與原點間連線的垂直平分線，圍成布里淵區。再按各布里淵區的判斷原則進行判斷，得：第一布里淵區是一個扁長方形；第二布里淵區是2塊梯形和2

6、塊三角形組成；第三布里淵區是2對對角三角和4個小三角以及2個等腰梯形組成。6六方密堆結構的原胞基矢為： 試求倒格子基矢并畫出第一布里淵區。1 分析：從前面的學習我們已經知道，六方密堆結構是兩個簡單六方格子復合成的二重復式格子。所以原胞為簡單六方結構。1 解：原胞為簡單六方結構。原胞體積：倒格子基矢：由此看到，倒格子同原胞一樣，只是長度不同，因此倒格子仍是簡單六方結構。（注意：倒格子是簡單六方，而不是六方密堆）選六邊形面心處格點為原點，則最近鄰為六個角頂點，各自倒格矢的垂直平分面構成一個六面柱體。次近鄰為上下底面中心，其垂直平分面為上下平行平面。再次近鄰是上下面六個頂角，其垂直平分面不截上面由最

7、近鄰和次近鄰垂直平分面構成的六角柱體。所以第一布里淵區是一個六角柱體。比倒格子六方要小。7試求金剛石的結構因子并討論X射線衍射消失的條件。解：圖見書P7圖1.9(a)金剛石結構的布拉菲晶格是面心立方格子，基元中有兩個原子。將頂角處選為原點，另一原子位置進而，將面心再看成是四套簡立方的復式格子。簡立方每個格點有四個面心立方的格點，而面心立方的格點有2個原子。所以簡立方的每個格點就相當于有個原子。也就是考慮一個金剛石結構單胞中，頂點中的一個原子和6個面心中的3個原子（每對對面中取一個）及4個對角原子作為一個基元。最后可構成簡單立方晶格。這時基矢：一個單胞中各原子位矢：頂點：面心：對角：因為都是同一

8、原子，故原子散射因子都為f，簡立方布拉菲晶格的倒格矢則結構因子故當（1）時，S=0，消光；或當（2）時，也有S=0，也消光。為使得（2）成立,需（奇數）（n為整數）即即：（b）密勒指數之和為奇數的2倍時，消光。為使得（1）成立，需（a）h1、h2、h3不全為奇或不全為偶。（奇數+奇數=偶數，偶數+偶數=偶數，偶數+奇數=奇數）（1）中左端的3項有2個是-1，能保證（1）式成立）所以當：(a)3個密勒指數不全為奇或不全為偶時，消光；或(b)3個密勒指數之和為奇數的2倍時，消光。若（） 密勒指數為全奇，并且三者之和為即3者之和可被4整除時，能看到衍射線。但因為全奇時，三者之和必為奇數，故肯定不能被

9、4整除，所以此條件不存在。故只有在下面的條件，能看到衍射線。即僅當（）密勒指數為全偶并且三者之和可被4整除時，方有，才能看到衍射線。8、證明一維NaCl晶體的馬德隆常數為證明：由馬德隆常數的定義有其中異號離子取“+”，同號離子取“-”一維NaCl晶體的結構如圖，正負離子相間排列。最近鄰離子的距離為a。選O點處離子為參考點，其它離子與它的相對距離為由泰勒公式展開（高數第一冊P161例2）當x=1時，有上面的N很大，n大，余項Rn(1)很小，舍去。故有問題得證。9、若離子間的排斥勢用來表示，只考慮最近鄰離子間的排斥作用，試導出離子晶體結合能的表達式，并討論參數和應如何決定。解：（1） 一般情況：第

10、j個與第i個離子間的庫侖勢為(同號取“+”，異號取“-”)排斥勢為第j個與第i個的相互作用勢為所有離子對 第i個離子的總相互作用為因為表面離子數相對總數少，忽略晶體表面離子與內部的差異。設最近鄰離子間距為r，則rij=raj故有晶體內離子間總的相互作用為：（此時，中的 “+” 表示異號離子之間， “-”表示 同號離子之間）如果只考慮最近鄰的排斥，且設有Z個最近鄰離子則是馬德隆常數。結合能（2） 平衡時結合能的表達式：設r=r0是平衡時的最近鄰距離。則U（r0）取得極小值。即則有解得平衡時，晶體相互作用能 平衡時結合能的表達式（3） 確定參數和為了能求出和，可建立與宏觀測量量間的關系，如體彈模量或壓縮系數。按定義：壓縮系數表示溫度一定時，加單位壓強時，晶體體積的相對改變量。體彈模量（此由得出。V0是平衡時晶體體積）以類似于NaCl晶體結構為例： 類似于NaCl結構（ ）的晶體都有將代入