1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 最優(yōu)控制問(wèn)題最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中最早發(fā)展起來(lái)的分支之一. 所謂控制就是人們用某種方法和手段去影響事件及其運(yùn)動(dòng)的進(jìn)程和軌道，使之朝著有利于控制主體的方向發(fā)展. 對(duì)于一個(gè)給定的受控系統(tǒng)，常常要求找到這樣的控制函數(shù)，使得在它的作用下，系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到為設(shè)計(jì)者希望的另一個(gè)狀態(tài)，且使得系統(tǒng)的某種性能盡可能好. 通常稱(chēng)這種控制問(wèn)題為最優(yōu)控制問(wèn)題. 最優(yōu)控制理論主要討論求解最優(yōu)控制問(wèn)題的方法和理論，包括最優(yōu)控制的存在性和唯一性和最優(yōu)控制應(yīng)滿(mǎn)足的必要條件等. 最優(yōu)控制理論始于20世紀(jì)50年代末，其主要標(biāo)志是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家龐特里亞金（L.C.Pontryagin）等人

2、提出的“最大值原理”. 最優(yōu)控制理論在工礦企業(yè)、交通運(yùn)輸、電力工業(yè)、國(guó)防工業(yè)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)管理等部門(mén)有著廣泛的應(yīng)用.本章我們通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例介紹最優(yōu)控制的基本問(wèn)題和基本概念及其最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述.第一節(jié) 最優(yōu)控制實(shí)例 下面列舉幾個(gè)簡(jiǎn)單但具有實(shí)際應(yīng)用的例子，他們雖然來(lái)自完全不同的領(lǐng)域，但卻反映了一個(gè)共同的問(wèn)題-最優(yōu)控制問(wèn)題例1 快速到達(dá)問(wèn)題考慮一個(gè)機(jī)構(gòu)（如車(chē)皮）W，其質(zhì)量為m，沿著水平的軌道運(yùn)動(dòng)，不考慮空氣的阻力和地面對(duì)車(chē)皮的摩擦力，把車(chē)皮看成一個(gè)沿著直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，x(t)表示車(chē)皮在t時(shí)刻的位置，u(t)是施加在車(chē)皮上的外部控制力，假定車(chē)皮的初始位置和速度分別為,我們希望選擇一個(gè)控制函數(shù)u(t

3、)使車(chē)皮在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)并靜止在坐標(biāo)原點(diǎn)，即到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)速度為零.根據(jù)牛頓第二定律， (1.1)令，則（1.1）化為 (1.2)其中分別表示車(chē)皮在t時(shí)刻的位置和速度，寫(xiě)成向量形式 (1.3)其中. 由于技術(shù)上的原因，外部推力不可能要多大有多大，它在數(shù)量上是有界的，即， （1.4）其中是正常數(shù). （1.5）問(wèn)題是尋找一個(gè)滿(mǎn)足條件（1.4）的控制函數(shù)，把W由初態(tài) 轉(zhuǎn)移到終態(tài)，且使性能指標(biāo)（1.5）達(dá)到最小.任何能達(dá)到上述要求的控制函數(shù)，都稱(chēng)為最優(yōu)控制.電梯的快速升降、軋鋼機(jī)的快速控制和機(jī)械振動(dòng)的快速消振問(wèn)題都可以用上述問(wèn)題闡述.例2 國(guó)民收入的增長(zhǎng)問(wèn)題國(guó)民經(jīng)濟(jì)收入主要用于兩個(gè)方面：擴(kuò)大再生產(chǎn)的積

4、累資金和滿(mǎn)足人民生活需要的消費(fèi)基金. 我們的問(wèn)題是如何安排積累和消費(fèi)資金的比例使國(guó)民收入得到最快的增長(zhǎng).我們用x(t)表示t時(shí)刻的國(guó)民收入，y(t)表示用于積累基金的部分，稱(chēng)為積累率. 我們的目的是尋求最優(yōu)積累率u(t)，使國(guó)民收入x(t)增長(zhǎng)最快. 國(guó)民收入的增長(zhǎng)率取決于當(dāng)時(shí)的收入總值x(t)和積累率u(t),即有. （1.6）根據(jù)u(t)的實(shí)際含義，應(yīng)滿(mǎn)足 .考慮一段時(shí)間T（5年或10年），使x(t)從初值達(dá)到盡可能大的x(T), 即， （1.7）. （1.8）問(wèn)題歸結(jié)為在（1.6）、（1.7）下求u(t)滿(mǎn)足（1.8）。這等價(jià)于它的對(duì)偶問(wèn)題：在固定端點(diǎn)條件下使T最小。記 ， （1.9）.

5、 （1.10）國(guó)民收入的增長(zhǎng)問(wèn)題的一般提法是在條件（1.6）、（1.9）下求u(t)使性能指標(biāo)（1.10）達(dá)到最小. 例3 登月艇的軟著陸推力控制問(wèn)題 登月艇以最小能耗在月球表面進(jìn)行軟著陸的推力控制問(wèn)題，可以用下列經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的問(wèn)題表示. 將登月艇視為一質(zhì)點(diǎn)，用代表艇距月球表面的距離，以遠(yuǎn)離月表面的方向?yàn)檎较颍硎就У乃俣龋硎就匣鸺耐屏Γ硎驹虑蛏系闹亓铀俣龋瑸橐唤o定常數(shù)，為艇的質(zhì)量，和分別表示艇在初始時(shí)刻的高度和速度，表示艇在不裝燃料時(shí)的質(zhì)量，代表燃料的初始質(zhì)量. 登月艇的運(yùn)動(dòng)方程為 （1.11）初始條件. （1.12）終端條件， （1.13）這是安全著陸所要求.作為控制函數(shù)的推力滿(mǎn)足

6、約束， （1.14）其中為艇的火箭所能達(dá)到的最大推力.要求燃料最少就是使 （1.15）取最小，其中終止時(shí)刻是待定的.（15）等價(jià)于泛函. （1.16）登月艇的軟著陸推力控制問(wèn)題可以表述為：求滿(mǎn)足（1.11）-（1.14）的使得性能指標(biāo)泛函（1.16）取最小值. 例4 基金的最優(yōu)管理問(wèn)題某基金會(huì)得到一筆60萬(wàn)元的基金，現(xiàn)將這筆款存入銀行，年利率為10%，該基金計(jì)劃用80年，80年后要求只剩0.5萬(wàn)元用作處理該基金會(huì)的結(jié)束事宜. 根據(jù)基金會(huì)的需要，每年至少支取5萬(wàn)元至多支取10萬(wàn)元作為某種獎(jiǎng)金. 我們的問(wèn)題是制定該基金的最優(yōu)管理策略，即每年支取多少元才能使基金會(huì)在80年中從銀行取出的總金額最大。令

7、x(t)表示第t年存入銀行的總錢(qián)數(shù)，u(t)表示第t年支取的錢(qián)數(shù).則 （1.17）x(0)=60， （1.18）x(80)=0.5， （1.19）根據(jù)基金會(huì)的需要，每年至少支取5萬(wàn)元至多支取10萬(wàn)元，因此 （1.20）基金會(huì)在80年中從銀行取出的總金額為 （1.21）基金的最優(yōu)管理問(wèn)題是求滿(mǎn)足（1.17）-（1.20）的u(t)使（1.21）中的J(u)取最大值. 例5 化學(xué)工程問(wèn)題設(shè)表示反應(yīng)器中種物質(zhì)在時(shí)刻的數(shù)量（濃度），這種物質(zhì)在反應(yīng)器中同時(shí)發(fā)生化學(xué)反應(yīng). 設(shè)反應(yīng)速率由微分方程組 （1.22）來(lái)決定，其中分別表示時(shí)刻反應(yīng)器內(nèi)的溫度和壓力，我們能夠在每個(gè)時(shí)刻控制溫度和壓力，而溫度和壓力滿(mǎn)足約

8、束條件 （1.23）其中都是常數(shù)，分別表示溫度和壓力可以達(dá)到的最小值和最大值. 假設(shè)反應(yīng)已持續(xù)進(jìn)行了一段時(shí)間，時(shí)刻的數(shù)量（濃度）為.每種物質(zhì)的價(jià)格為 因此，最終產(chǎn)品的價(jià)值是 （1.24）問(wèn)題是尋求區(qū)間上的滿(mǎn)足（1.22）和（23）的分段連續(xù)函數(shù)，使得（1.24）中的取最大值. 例6 生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題 設(shè)有若干臺(tái)同樣的機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器可以做兩種工作，如果用于做第一種工作，每臺(tái)每年可獲利3萬(wàn)元，機(jī)器的損壞率為2/3；如果用于做第二種工作，每臺(tái)每年可獲利2.5萬(wàn)元，機(jī)器的損壞率為1/3。現(xiàn)考慮3年的生產(chǎn)周期，試確定如何安排生產(chǎn)計(jì)劃可獲得最大利潤(rùn)。設(shè)第年可用機(jī)器的臺(tái)數(shù)為，第年分配做第一種工作的機(jī)器臺(tái)數(shù)為，顯

9、然，第年可用機(jī)器的臺(tái)數(shù)滿(mǎn)足狀態(tài)方程 （1.25）滿(mǎn)足約束條件 （1.26）第年獲得的利潤(rùn)為 3年一共獲得的利潤(rùn)為 ， （1.27）生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題是尋求滿(mǎn)足狀態(tài)方程（1.25）和約束條件（1.26）的，使（1.27）中的目標(biāo)達(dá)到最大.第二節(jié) 最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述 前面所舉的例子，雖然它們來(lái)自不同的領(lǐng)域，但是在數(shù)學(xué)上它們都有共同的表述。我們將這些最優(yōu)控制問(wèn)題作如下數(shù)學(xué)描述.2.1控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量是指對(duì)事件及其運(yùn)動(dòng)起決定作用的量. 控制系統(tǒng)的控制變量是指對(duì)事件及其運(yùn)動(dòng)起控制作用的量. 控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程是指描述系統(tǒng)及其運(yùn)動(dòng)的方程，其中包含控制變量和狀態(tài)變量.令表示控制系統(tǒng)的狀態(tài)變

10、量，表示控制系統(tǒng)的控制變量，通常表示時(shí)間，是上有定義的n維向量函數(shù). 則控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常用一階常微分方程組 （2.1）來(lái)描述.當(dāng)f不顯含t時(shí)，稱(chēng)（1）為定常系統(tǒng)（或稱(chēng)為時(shí)不變系統(tǒng)）. 當(dāng)f關(guān)于x和u為線(xiàn)性時(shí)，稱(chēng)（1）為線(xiàn)性系統(tǒng). 這時(shí)方程可以寫(xiě)成， （2.2）其中為n階方陣，為n行m列矩陣。當(dāng)A和B與時(shí)間t無(wú)關(guān)時(shí)，稱(chēng)（2.2）為線(xiàn)性定常系統(tǒng)或稱(chēng)為線(xiàn)性自治系統(tǒng)。2.2終止?fàn)顟B(tài)的目標(biāo)集一般來(lái)說(shuō)控制系統(tǒng)的初始時(shí)刻和初始狀態(tài)是給定的. 但對(duì)控制系統(tǒng)的終止時(shí)刻和終端狀態(tài)來(lái)說(shuō)，卻因問(wèn)題不同而有不同的要求，通常要求達(dá)到一個(gè)確定的目標(biāo)集.2.3容許控制函數(shù)集 在實(shí)際問(wèn)題中，控制變量通常是某種物理量，需要

11、滿(mǎn)足有界性等條件，滿(mǎn)足這些條件的控制函數(shù)，稱(chēng)為容許控制函數(shù)，他們?nèi)w構(gòu)成一個(gè)集合，稱(chēng)為容許控制函數(shù)集，記為，書(shū)中，我們通常要求控制函數(shù)是分段連續(xù)的.2.4性能指標(biāo) 性能指標(biāo)是指人們對(duì)某個(gè)控制過(guò)程及其結(jié)果作出評(píng)價(jià)的衡量尺度或標(biāo)準(zhǔn). 在數(shù)學(xué)上用泛函表示，主要有下面三種形式1）終端型性能指標(biāo)也稱(chēng)麥耶（Mayer）型性能指標(biāo)，2）積分型性能指標(biāo)還稱(chēng)拉格郎日（Lagrange）型性能指標(biāo)，3）混合型性能指標(biāo)也叫包爾查（Bolza）型性能指標(biāo).2.5 最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述所謂最優(yōu)控制問(wèn)題就是尋求一容許控制，使系統(tǒng)的狀態(tài)從給定的初值在終止時(shí)刻轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集A，并使性能指標(biāo)取最大值（或最小值）.若上述最優(yōu)控制問(wèn)題有解，則稱(chēng)為最優(yōu)控制函數(shù)，相應(yīng)的軌線(xiàn)叫做最優(yōu)軌線(xiàn)，而這時(shí)的性能指標(biāo)叫做最優(yōu)性能指標(biāo).2.6 離散系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)表述在一些實(shí)際問(wèn)題中，系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制變量關(guān)于時(shí)間變量是離散的，這樣的控制系統(tǒng)稱(chēng)為離散控制系統(tǒng).令表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量，表