1、第四章習題解答4.1.求在動量表象中角動量的矩陣元和的矩陣元。 解： #4.2 求能量表象中，一維無限深勢阱的坐標與動量的矩陣元。解：基矢： 能量： 對角元： 當時， #4.3 求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數。 解：定態薛定諤方程為 即 兩邊乘以，得 令 跟課本P.39(2.7-4)式比較可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數為 式中為歸一化因子，即 #4.4.求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。 解： #4.5 設已知在的共同表象中，算符的矩陣分別為 求它們的本征值和歸一化的本征函數。最后將矩陣對角化。 解：的久期方程為 的本征值為 的本征方程 其中設為的本征函數共同表象中的矩

2、陣 當時，有 由歸一化條件 取 對應于的本征值0 。 當時，有 由歸一化條件 取 歸一化的對應于的本征值 當時，有 由歸一化條件 取 歸一化的對應于的本征值 由以上結果可知，從的共同表象變到表象的變換矩陣為 對角化的矩陣為 按照與上同樣的方法可得 的本征值為 的歸一化的本征函數為 從的共同表象變到表象的變換矩陣為 利用S可使對角化 #4.6. 求連續性方程的矩陣表示 解：連續性方程為 而 寫成矩陣形式為 # 量子力學考試大綱 一緒論（3）1了解光的波粒二象性的主要實驗事實；2掌握德布羅意關于微觀粒子的波粒二象性的假設。 二波函數和薛定諤方程（12） (1)理解量子力學與經典力學在關于描寫微觀粒

3、子運動狀態及其運動規律時的不同觀念 。 (2)掌握波函數的標準化條件：有限性、連續性、單值性 (3)理解態疊加原理以及任何波函數(x，t)按不同動量的平面波展開的方法及其物理意義 (4)了解薛定諤方程的建立過程以及它在量子力學中的地位；薛定諤方程和定態薛定諤方程的關系；波函數和定態波函數的關系 (5)對于求解一維薛定諤方程，應掌握邊界條件的確定和處理方法 (6)關于一維定態問題要求如下： a掌握一維無限阱的求解方法及其物理討論； b掌握一維諧振子的能譜及其定態波函數的一般特點： c了解勢壘貫穿的討論方法及其對隧道效應的解釋 三力學量用算符表達（17）(1) 掌握算符的本征值和本征方程的基本概念

4、；厄米算符的本征值必為實數；坐標算符和動量算符以及量子力學中一切可觀察的力學量所對應的算符均為厄米算符(2) 掌握有關動量算符和角動量算符的本征值和本征函數，它們的歸一性和正交性的表達形式，以及與這些算符有關的算符運算的對易關系式 (3)電子在正點電荷庫侖場中的運動提供了三維中心力場下薛定諤方程求解的范例，學生應由此了解一般三維中心力場下求解薛定諤方程的基本步驟和方法，特別是分離變量法 (4)掌握力學量平均值的計算方法將體系的狀態波函數(x)按算符的本征函數展開是這些方法中常用的方法之一，學生應掌握這一方法計算力學量的可能值、概率和平均值理解在什么狀態下力學量具有確定值以及在什么條件下，兩個力

5、學量同時具有確定值 (5)掌握不確定關系并應用這一關系來估算一些體系的基態能量 (6)掌握如何根據體系的哈密頓算符來判斷該體系中可能存在的守恒量如：能量、動量、角動量、宇稱等 四態和力學量的表象（10） (1)理解力學量所對應的算符在具體的表象下可以用矩陣來表示；厄米算符與厄米矩陣相對應；力學量算符在自身表象下為一對角矩陣；(2)掌握量子力學公式的矩陣形式及求解本征值、本征矢的矩陣方法(3)理解狄拉克符號及占有數表象 五微擾理論（16） (1)了解定態微擾論的適用范圍和條件： (2)對于非簡并的定態微擾論要求掌握波函數一級修正和能級一級、二級修正的計算(3)對于簡并的微擾論，應能掌握零級波函數

6、的確定和一級能量修正的計算 (4)掌握變分法的基本應用； (5)關于與時間有關的微擾論要求如下： a了解由初態 躍遷到末態的概率表達式，特別是常微擾和周期性微擾下的表達式； b理解由微擾矩陣元Hfi0可以確定選擇定則； c理解能量與時間之間的不確定關系：Et d理解光的發射與吸收的愛因斯坦系數以及原子內電子由態躍遷到態的輻射強度均與矩陣元 的模平方2 成正比，由此可以確定偶極躍遷中角量子數和磁量子數的選擇定則 (5)了解氫原子一級斯塔克效應及其解釋 *六、散射問題（8） 七自旋和全同粒子（15） (1)了解斯特恩格拉赫實驗電子自旋回轉磁比率與軌道回轉磁比率 (2)掌握自旋算符的對易關系和自旋算符的矩陣形式(泡利矩陣)與自旋相聯系的測量值、概率、平均值等的計算以及本征值方程和本征函數的求解方法 (3)了解簡單塞曼效應的物理機制 (4)了解L-S藕合的概念及堿金屬原子光譜雙線結構和物理解釋 (5)根據量子力學的全同性原理、多體全同粒子波函數有對稱和反對稱之分掌握玻色子體系多體波函數取交換對稱形式，費米子體系取交換反對稱形式，以及費米子服從泡利不相容原理 (6)理解在自旋與軌道相互作用可以忽略時，體系波函數可寫為空間部分和自旋部分乘積形