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1、§6-3 閉區間上連續函數可積性的證明· · · · · · bax圖6-3函數在區間上的一致連續性，使得對于任意給定的正數，都有僅與有關的正數，當把區間劃分為有限個長度都不超過的小區間時(圖6-3)，在每一個小區間上，函數的最大值減去最小值的差(稱為振幅)不會超過，即。令， 則有即 (6-1)正是有這個結論，我們才證明了閉區間上連續函數的可積性。圖6-4OaABxbyByAxO ab證 設是閉區間上的連續函數。對于區間的任何兩個劃分方法和，總有。為了說明這個結論,不妨認為。如圖6-4，對于任意劃分，小和對應的那些內接小矩形

2、合起來含在曲邊梯形內。如圖6-4，對于任意劃分，大和對應的那些外接小矩形合起來能夠覆蓋住曲邊梯形。因此，總有。其次，因為所有可能的小和構成的集合有上界，所以有最小上界,于是；而因為對于所有可能的大和構成的集合有下界，所以有最大下界，于是。 因此，有。 特別，對于區間的任意劃分，就有 或 根據條件(6-1)，所以(公共值)。又因為， 所以有即這樣，就證明了函數在區間上的可積性。【注】函數在閉區間上連續是函數可積的充分條件,而不是必要條件。在下一章中將證明,在有限區間上只有有限個間斷點的有界函數也是可積的，甚至有的可積函數會有無限多個間斷點。習題和選解1.設函數和在閉區間上連續。用任意方法把區間劃

3、分成小區間：證明其中。注意，左端的和數不是積分和！而稱它為“擬積分和”。2.設函數和在閉區間上有連續的導數。用任意方法把區間劃分成小區間：。證明其中。左端的和數也不是積分和，也稱它為“擬積分和”。3.黎曼引理（*）習慣上稱這個結論為黎曼引理, 因為在證明其他許多有關結論時都要引用這個結論。 若函數在閉區間上連續，則有 和 【注】當函數在區間上為可積的情形時, 結論仍然成立（證明在下一章中）。證 設函數在閉區間上連續。為簡單起見，只證明其中一個等式就行了。設(常數)。對于區間的任意劃分：則有從而有 其中為函數在區間上的最大值, 為最小值; 而。 因此，設為任意給定的正數, 根據函數在區間上的一致連續性(康托爾定理), 先把區間劃分成個小區間, 使在每一個小區間上, 都有; 再取正數，則當時，根據極限定義的“”說法，所以有。4.證明。證 由恒等式 得另一方面， ()其中函數在點有極限【用洛必達法則求極限】。補充函

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