1、 (微 lily2064)高中數學三角形形狀的判定判斷三角形的形狀的特征，必須深入地研究邊、角間的關系，解決這類問題：1、 基本知識點：（1）等腰三角形a=b或A=B （2）直角三角形或A= （3）鈍角三角形或A （4）銳角三角形若a為最大邊且或A為最大角且A2、基本思想方法：從條件出發，利用正弦定理（或余弦定理）進行代換、轉化。逐步化為純粹的邊與邊或角與角的關系，即通過考慮如下兩條途徑：（1） 統一成角進行判斷，常用正弦定理及三角恒等變換；（2） 統一成邊進行判斷，常用余弦定理、面積公式等；常見的題型有：一、 利用三角形三邊的代數關系直接判斷1、 在三角形ABC中，三邊a、b、c滿足，試判斷

2、三角形的形狀。解析： 則c邊最大，且， ，則最大角C為銳角，所以三角形為銳角三角形。二、運用三角函數的關系直接判斷2、（05北京）在中已知那么一定是（ ）A、直角三角形 B、等腰三角形C、等腰直角三角形三角形 D、正三角形解析： 3、在ABC中，已知cos2，試判斷此三角形的類型.解析： cos2 21將代入上式得 cos（BC）1又0B，C，BCBC0 BC故此三角形是等腰三角形.評述： (1)此題在證明過程中，要用到余弦二倍角公式cosA2cos21的逆用.(2)由于已知條件就是三角函數關系式，故無需向邊的關系轉化，而是進行三角函數式的恒等變形三、運用向量進行判斷4、(06陜西卷) 已知非

3、零向量與滿足(+)·=0且·= , 則ABC為( )A、三邊均不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等邊三角形 D、等邊三角形解析：非零向量與滿足()·=0，即角A的平分線垂直于BC， AB=AC，又= ，A=，所以ABC為等邊三角形，選D5、在中，設若判斷的形狀。 解析：，同理，兩式相減，得，=，同理，故是等邊三角形。四、運用正（余）弦定理判斷6、在ABC中，試判斷三角形的形狀分析：三角形形狀的判斷，可以根據角的關系，也可根據邊的關系，所以在已知條件的運用上，可以考慮兩種途徑：將邊轉化為角，將角轉化為邊，下面，我們從這兩個角度進行分析.解法一：利用余弦定理將

4、角化為邊. b·b2c2a2a2c2b2 a2b2ab故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理將邊轉化為角. 又 sin（AB）00A，B，ABAB0 即AB故此三角形是等腰三角形.評述： (1)在判定三角形形狀時，一般考慮兩個方向進行變形，一個方向是邊，走代數變形之路，通常是正、余弦定理結合使用；另一個方向是角，走三角變形之路.通常是運用正弦定理.要求學生要注重邊角轉化的橋梁正、余弦定理；(2)解法二中用到了三角函數中兩角差的正弦公式，但應注意在根據三角函數值求角時，一定要先確定角的范圍.另外，也可運用同角三角函數的商數關系，在等式端同除以得，再由0A，B，而得AB.7、在中，

5、如果=，且角為銳角，判斷此三角形的形狀。解析：由=，得，又是銳角，又，即由正弦定理，得：，故此三角形是等腰直角三角形。鞏固練習：在中，若試判斷的形狀。解一：由已知條件及正弦定理可得，為三角形的內角，或，或，所以為等腰三角形或直角三角形。解二：由已知條件及正弦定理可得，即，由正弦定理和余弦定理可得=，整理，得，即，為等腰三角形或直角三角形。小結：已知三角形中的邊角關系式，判斷三角形的形狀，有兩條思路：其一化邊為角，再進行三角恒等變換求出三個角之間的關系式；其二化角為邊，再進行代數恒等變換求出三條邊之間的關系式。兩種轉化主要應用正弦定理和余弦定理。本題的兩種解法，就是通過兩種不同的轉化來實現的。 求解有關三