1、題21 若，且，則的最小值是 .（第一屆高二第一試第20題）解法1 比較：當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.可見，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.解法2 .令且，即，即.可證函數(shù)在上單調(diào)遞減，時，.即當(dāng) 時，.解法3 令，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.又.由，易得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.于是 （時取等號）.故當(dāng)，即時，.評析 解法1的依據(jù)就是課本上一道習(xí)題的結(jié)論.本賽題就是這道課本習(xí)題的變題.利用現(xiàn)成的一些重要結(jié)論可以簡化解題過程，尤其是解選擇題、填空題時更可直接利用.由于、時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以解法2將展開成后，只能對使用上述公式（因為，所以必須使時取等號）.若也對使用上述公式就錯了，因為由，得，此時與并不相等.這是同

2、一式子中幾處同時使用基本不等式時必須注意的，是一個常見的易錯點.與不可能相等時，通常運用函數(shù)的單調(diào)性求的最小值（易證函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增）.解法3運用三角代換法，雖然較繁，但仍可起到開闊視野，活躍思維的作用.拓展 命題“若且，則”可作如下推廣：推廣1 若且則.證明 ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.又在及上都是減函數(shù)， 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.推廣2 若，則.推廣3 若，則.推廣2、3的證明，敘述較繁，此處從略.題22 已知，且，則的最小值是 . (第八屆高二培訓(xùn)填空題第6題)解法1 .當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.解法2 =9，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號. .解法3 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號. .評析

3、求條件最值離不開利用條件.如何利用條件？解法1把展開后將用1代，解法2與3將與中的1用代，其目的都是為了能利用均值不等式或基本不等式求最值.拓展 此題可作如下推廣：推廣1 若，且，則的最小值是.證明，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值是.推廣2 若，且，則的最小值是.證明 ，.同理.故 ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號. 的最小值是.推廣3 若，且，則的最小值是.證明 由均值不等式得，,從而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故的最小值是.推廣4 若，且，則的最小值為.推廣4的證明與推廣3類似，留給讀者.運用這些推廣，讀者可做練習(xí)：1、 已知，且，求：（1）的最小值；（2）的最小值；（3）的最小值.2、已知，且，求的最小值.

4、3、已知，且，求的最小值.4、求的最小值.(提示：，原式.)5、已知，且，求的最小值.答案：1、（1）18 （2） （3）9 2、64 3、 4、9 5、題23 設(shè)，且，則的最大值是 ，最小值是 （第六屆高二培訓(xùn)解答題第2題、第八屆高二第一試第23題）解法1 ，由，有，記，立得和故當(dāng)或時，當(dāng)時，解法2 由題意，設(shè)則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號又令，則易知當(dāng)時，此時，即或時，關(guān)于的最大值，還有下列解法解法3 ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號解法4 ，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號故.評析 解法2由考慮到三角換元，這是很自然的事解法3運用基本不等式及，再由，分別求出與的最大值（注意：必須是與取相同值時與同時取得最大值），從而

5、得到的最大值解法4與解法3路子不同，實質(zhì)一樣但解法3、4都只能解決題中的最大值問題，如何求最小值是本題的難點解法1中將變形為，并由已知得出，是突破這一難點的關(guān)鍵第九屆高二第一試第15題：“實數(shù)適合條件，則函數(shù)的值域是 ”其形式與實質(zhì)都與本題一樣以三角代換法求解最為簡捷（答案為）拓展 由題引伸，可以得到：定理1 設(shè)，則（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，證明 設(shè)，則又設(shè)， ，則1、當(dāng)，即時，（1），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號（2），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號2、當(dāng)，即時（1）當(dāng)時，（2）當(dāng)時，又函數(shù)，當(dāng)時是減函數(shù)，故綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，進(jìn)一步引伸，可得定理2 ，若，則（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，簡證 令，再由定理1即可得證

6、再引伸，還可得到定理3 設(shè)，且，則有 證明 及平均值不等式題24 若，則的最大值是（第十三屆高二培訓(xùn)題第68題）解法1 引入?yún)?shù)t,，又，考慮到待求最值的二元式是，故令，解得或（舍去），故只需令，即可得因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.解法2 已知條件式即.令即代入待求式,并化簡,得.故當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值160解法3 令.從而有即代入已知等式,得,即解法4 ,而即解法5 設(shè)代入條件得令,則 解法6 設(shè)則即.由題設(shè)x,y不同時為0,故不妨設(shè),則將式兩邊同除以,得當(dāng)時,由解得;當(dāng)時,綜上, .故解法7 .故當(dāng)時, 評析 破解此題的關(guān)鍵是消去條件式中的xy項.命題組給出的解法1,通過引入?yún)?shù)t,將xy變

7、形為,再運用基本不等式,從而得到.而要求的是的最大值,故令,從而使問題獲解,極其巧妙.此法還具有普遍性,是解決此類問題的通法解法2將變?yōu)椋瑥亩鵀槿谴鷵Q創(chuàng)造了條件，進(jìn)而運用三角函數(shù)的有界性求得最值.此法也具一般性,且對于求式中含xy項時同樣適用解法5通過對稱換元消去了已知式中的乘積項.當(dāng)式中項與項系數(shù)相等時這也是一種通法解法4的技巧性特強.要知道,若,由,得,即,則仍然不能解決問題解法6運用整體思想及方程思想,由二次方程有實根的條件使問題獲解,這也是一種常用的方法解法7巧用配方法,使得問題的解決極其簡潔.可能有人要說這是不是碰巧了,換個題目此法就不靈了,其實不然,請看下面的問題:例1 若x,y

8、, 則的最小值是_ （第十屆高二培訓(xùn)題第66題）解 ，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故所求最小值為再看一例：例2 實數(shù)x,y適合,則函數(shù)的值域是 (第九屆高二第一試第15題)解 （1）（2）故所求值域為到底如何配方，讀者可從上面的例子中體會.配方法是高考明確要求學(xué)生掌握的一種數(shù)學(xué)方法,在解決一些競賽問題時也有較廣泛的應(yīng)用.我們必須切實掌握好請用配方法解決下列問題:1.實數(shù)x,y滿足,則的值域是 （答：） (第六屆高二第二試第17題) 2.若,且,則的取值范圍是 （答：）3.已知x,y滿足,求的取值范圍（答：）4.已知,求表達(dá)式的最大值與最小值（答：）題25 函數(shù)的最大值是（第九屆高二培訓(xùn)題第43題）解

9、法1 由，得，即，.，解得.故.解法2 令，則，化為，即，解得.故.解法3 由，得（時取等號），故.解法4 .，.當(dāng)時，.解法5 由，得，解得.解法6 .令，它表示動點與定點的連線的斜率，即表示單位圓上的點與點的連線的斜率，由圖易知，.解法7 顯然，.由得，又.由、可知點是坐標(biāo)系中的直線與圓的公共點，圓心到直線的距離不大于圓的半徑1，即，解之得，. 評析 類似本題分子、分母中含有、的一次式的函數(shù)的最值問題，總可以通過去分母、移項變?yōu)榈男问剑M(jìn)而變?yōu)椋ㄆ渲校┑男问剑儆汕蟮米钪担夥?正是這樣做的，也是解決這類問題的通法. 萬能公式可將角的各種三角函數(shù)表示成的正切，這在實質(zhì)上起到了消元的作用.故

10、解法2令后，便將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成的二次分式函數(shù)，進(jìn)而運用判別式法解決了問題.解法3直接利用分子不大于分母，從而分式之值不大于1，簡捷之至.解法4則是將已知函數(shù)變?yōu)楹螅謩e求出分子、分母的范圍，進(jìn)而確定y的范圍.解法5將已知函數(shù)式變?yōu)椋紤]到左邊的形式，聯(lián)想到柯西不等式，巧妙地利用而建立了關(guān)于的不等式，進(jìn)而求出最大值，可說是匠心獨具.解法7將已知函數(shù)式變?yōu)楹螅瑢⒖醋髯鴺?biāo)系中直線上的點，而點又在單位圓上，故直線與圓應(yīng)有公共點，從而圓心到直線的距離不大于圓的半徑，由此求出了的最大值.綜合運用了方程思想，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，充分揭示了數(shù)學(xué)不同內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系.解法6則是把已知函數(shù)式變形為后，將看作單

11、位圓上的點與定點的連線的斜率，故將求的最大值問題轉(zhuǎn)化為求此斜率的最大值問題，本題中此斜率的最大值可由圖象直觀地得到，若不能直觀地看出，則可設(shè)斜率為，寫出過點且斜率為的直線方程.由圓心到直線的距離不大于圓的半徑便可求出的最大值.解法6也是求函數(shù)或的最值的通法.例 求函數(shù)的最值解 .令，則是單位圓上的點與點的連線的斜率.設(shè)此斜率為，則連線的方程為，即.由單位圓圓心到直線的距離應(yīng)當(dāng)不大于單位圓半徑1，即，解得，即的最小值與最大值分別為，從而的最大值與最小值分別為、,即，.題26 函數(shù)的值域是.（第十一屆高二培訓(xùn)題第46題）解法1 由均值定理，知兩式相加，得.當(dāng)時以上不等式同時取等號.故.又.故所求值

12、域為.解法2 由柯西不等式，知.又由，知.故所求值域為.解法3 ，又解法4 ，且可設(shè)，由所設(shè)，故當(dāng)時，；當(dāng)時，所求值域為.評析 因為，所以 ，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，易知，故求得了y的最大值1.如何求y的最小值是本題的難點，破解的關(guān)鍵在于如何將降次，最好直接與建立聯(lián)系.解法1運用均值定理，解法2運用柯西不等式，都達(dá)到了目的，解法3與解法1為同一解法，但顯得格外簡捷，運用均值定理一步到位地解決了問題.解法4通過對稱換元將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為整式函數(shù)的值域問題加以解決，起到了化難為易的作用.解法3顯得特別優(yōu)美，但運用均值定理，必須注意配湊技巧的運用.為什么將配湊成呢？這里有兩個問題：一是為什么各湊成

13、6項的和？二是為什么都加5個？原因就在于只有湊成6項的和，運用均值定理時才會出現(xiàn)六次根號內(nèi)與5個數(shù)的積，從而才會出現(xiàn)（常數(shù)）.至于為什么各加5個，是因為運用均值定理時要使兩處的“”中都取等號，必須，而只有時才會有.拓展 仿照解法3，我們可以證明下面的定理 函數(shù)的值域是.證明 .又，即.故函數(shù)的值域為. 據(jù)此定理，我們易知函數(shù)的值域為.題27 設(shè)，則的最小值是 （第九屆高二培訓(xùn)題第53題）BA解 可從絕對值的幾何意義上去想，以為例，如圖： 1 2 3 4所給的式子的幾何意義是數(shù)軸上坐標(biāo)為的點N與坐標(biāo)為1、2、3、4的4個點的距離的和顯然，當(dāng)N在線段AB之外時，和大于N在線段AB上時的和；當(dāng)N在線

14、段AB上時，N接近AB的中點，和就逐漸變小，N重合于AB的中點時，和達(dá)到最小因為，所以當(dāng)取2或3時，最小對于和式S=，設(shè)數(shù)軸上的點A、B分別表示1949、2001，則線段AB的中點的坐標(biāo)是評析 本題運用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，根據(jù)兩數(shù)差的絕對值的幾何意義，很直觀地解決了問題拓展 運用同樣的思想方法，可以得到下面的定理1 對于函數(shù)，若是奇數(shù)，則當(dāng)時，取得最小值；若是偶數(shù)，則當(dāng)時，取得最小值例1 求函數(shù)的最小值解 為偶數(shù)，-4<3<7<10,當(dāng)時，取得最小值（7+10）-（-4+3）=18.例2 求函數(shù)的最小值解 為奇數(shù)，-10<-5<3<6<7,當(dāng)時，取得

15、最小值（6+7）-（-10-5）=28.例3 已知且求函數(shù)的最小值解 ， =，故當(dāng)且僅當(dāng)x=-3且y=2時，取得最小值16若定理1中的“”中有一組或幾組相同的值，則定理仍然成立但當(dāng)為偶數(shù)且時，定理中的“”應(yīng)該改為“”例4 求函數(shù)的最小值解 已知函數(shù)就是，=5為奇數(shù)，取得最小值.例5 求函數(shù)的最小值解 =10為偶數(shù)，故當(dāng)時，取得最小值更一般地，還有下面的定理2 設(shè)函數(shù)，則（1） 當(dāng)時，有最小值min,但無最大值（2） 當(dāng)時，有最大值max,最小值min（3） 當(dāng)時，有最大值max,但無最小值證明 不失一般性，設(shè)，則 -, = , ,由此可見，函數(shù)的圖象是左右兩側(cè)兩射線和中間的（n-1）條線段依次

16、連結(jié)而成的“折線形”(1)若，則函數(shù)的圖象中的左右兩射線分別由點（）和點（）向上無限延伸，中間是（n-1）條線段依次連結(jié)的折線，因此有最小值min,但無最大值（2）若，則函數(shù)的圖象中的左右兩射線分別由點（）和點（）向左右沿平行于x 軸方向無限延伸，中間是（n-1）條線段依次連結(jié)的折線，因此 有最大值max,最小值min（3）若，則函數(shù)的圖象中的左右兩射線分別由點和點向下無限延伸，中間是（n-1）條線段依次連結(jié)的折線，因此有最大值,但無最小值根據(jù)定理1，不難知道本賽題所求最小值為（1976+1977+2001）-（1949+1950+1974）=702（當(dāng)n=1975時取得）想一想下面的問題：假

17、設(shè)有一座大樓，從第1949層到第2001層，每層指定1人集中到該樓第k層（）的會議室開會，為使參會人員上、下樓梯所走的路程總和最小，求k及最短路程（假定每相鄰兩層樓之間的樓梯長均為1）這一問題與本賽題實質(zhì)是否是同一問題？下面的問題供讀者練習(xí)：1、 求的最小值2、 求的最大值3、 求的最小值答案：1、-3 2、5 3、999 題28 ，則s的整數(shù)部分是 （）A、C、D、（第八屆高二第二試第題）解 若是等差數(shù)列, >0,則(是公差).由此，得.又知=.，選B.評析 顯然是數(shù)列的前項的和，直接求和，無法可依.能否用裂項相消法將每一項拆成異號的兩項之和呢？考慮到，于是將變?yōu)椋俜糯鬄椋蚩s小為，

18、便使問題獲解.這是一道用“放縮法”求解不等式問題的好題目。但用“放縮法”解題，必須把握好放縮的“度”.就以此題為例，若將，就得，這樣就沒法確定到底是1998還是1999了.若做到這里，我們便應(yīng)考慮到題中的1不作變形，問題就會得到解決.此題來源于高中代數(shù)下冊（必修）P132第33題：用數(shù)學(xué)歸納法證明，.1992年全國高考“三南”試題：證明不等式：.這兩個結(jié)論合起來就有.此結(jié)論就是.當(dāng)時，A、B、C三個選擇支都合適，要正確選擇答案，必須對的上、下界作更精確的估計.事實上，由，得.按常規(guī)，令，得個式子，再相加，得.取，得=1998或1999，沒法確定選B還是選C.故令，得個式子，再相加，得.取，得.

19、由于，1998，即.,故選B.運用這種放縮思想，同樣可以解決第十三屆高二培訓(xùn)題第26題：的整數(shù)部分是 .解 ，即.取，得49個式子，并相加，得.顯然在8與9之間，故.拓展 將題中改為，得推廣1 當(dāng)為大于1的自然數(shù)時，的整數(shù)部分是.推廣2 當(dāng)為大于1的自然數(shù)時，的整數(shù)部分是.證明 ，令相加得,即,的整數(shù)部分是. 由于.同理, ,故又得推廣3 當(dāng)、為大于1的自然數(shù)時，的整數(shù)部分是.題 29 求函數(shù)的最小值和取最小值時的值 （第十三屆高二培訓(xùn)題第81題）y= -1xODM12NPyAx2=4y解法1 改寫為,改寫為，則 .因而等于動點到兩個定點和的距離之和的倍.動點的軌跡是拋物線，恰好是它的焦點，準(zhǔn)線是.因此（到準(zhǔn)線的距離）. .所以.此時.即時, 取得最小值12.解法2 由已知函數(shù)式，得，兩邊平方并整理，得，看作關(guān)于的方程，由，知，即，得或，因為，即，故舍去，只取：，將代入已知函數(shù)式，得，即當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值.解法3 因為故當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值.解法4 因為，所以設(shè)，則，故當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值.評析 高中數(shù)學(xué)課本中并未討論過求題中函數(shù)最值的通法，因此，