1、復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）第第 四四 章章 級級 數數4.4 羅朗羅朗(Laurent)級數級數復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）思考思考：函數：函數f (z)在在z0不不解析，能否在解析，能否在z z0 0的某的某鄰域內展開成（鄰域內展開成（z-z0）的冪級數？）的冪級數？zzzzzf111)1 (1)(例：例：在在10 z內內nzzzzzf211)(復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）Cauchy 積分公式的推廣到復連通域積分公式的推廣到復連通域，：、且且作作圓圓周周：解解析析內內在在設設RzzrDDkkRrRzzkrzzkRzzRDzf 0121020

2、1201,:,:.:)(Dz0R1R2rRk1k2D1z有，有，對對1Dz dzfidzfizfkk 12)(21)(21)(1. 1. 預備知識預備知識復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）2. 2. 雙邊冪級數雙邊冪級數-含有正負冪項的級數含有正負冪項的級數定義定義 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-雙邊冪級數雙邊冪級數正冪項正冪項(包括常數項包括常數項)部分部分：)2()()()(001000 nnnnnzzczzcczzc都是常數都是常數及及其中其中), 2, 1, 0(0 nczn負冪項部分負冪項部分：)3()

3、()()(010110 nnnnnzzczzczzc復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）級數級數(2)是一冪級數，設收斂半徑為是一冪級數，設收斂半徑為R2 ， 則級數則級數在在 z - z0 = =R2 內收斂，且和為內收斂，且和為s(z)+; 在在z - z0=R 2外發散。外發散。 則則若若令令對對于于級級數數,1),3(0zz 級級數數發發散散。級級數數收收斂斂則則當當設設其其收收斂斂半半徑徑為為為為冪冪級級數數級級數數對對變變數數RRR ,)4() 4()(221110 nnnnnnnncccczzc )4(,11,1100則則級級數數代代回回得得將將令令RRzzzz .;)(

4、,1010發發散散當當且且和和為為收收斂斂當當RzzzsRzz 復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）z0R1R2有有公公共共收收斂斂域域21RR z0R2R1無無公公共共收收斂斂域域21RR 。且和且和收斂收斂稱稱，此時，此時，區域即圓環域：區域即圓環域：有公共收斂有公共收斂及及時，級數時，級數當且僅當當且僅當 )()()(,)()3()2(020121zszszszzcRzzRRRnnn復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）.)()4(2010以逐項求積和逐項求導以逐項求積和逐項求導和函數是解析的而且可和函數是解析的而且可內的內的在在級數級數RzzRzzcnnn A 02100

5、)3(zzRR：，收斂域為收斂域為此時此時可以可以可以可以。，發散發散處處處處稱稱時時當當 nnnzzcRR)()1 (021(2)(2)在圓環域的邊界在圓環域的邊界z - z0=R1, z - z0=R2上上, , nnnzzc。點點收斂，有些點發散收斂，有些點發散可能有些可能有些)(0復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）3. 3. 函數展開成雙邊冪級數函數展開成雙邊冪級數定理定理.) 5(), 2, 1, 0()()(21:)5()()(,:)(0100201的任何一條簡單閉曲線的任何一條簡單閉曲線內繞內繞是是其中其中則則內解析內解析在在設設zDcndzzzzficzzczfRzz

6、RDzfcnnnnn 級級數數內內的的在在稱稱為為LaurentRzzRDzf201:)( 展展開開式式內內的的在在稱稱為為LaurentRzzRDzf201:)( 復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）證明證明 由復連通域上的由復連通域上的Cauchy 積分公式：積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*)(21)(21)(12 dzfidzfizfkk 記為記為I1記為記為I2，時時，當當1002 zzzk ，時時，當當記記為為1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012 nnnnknnzzczzdzfiI 的的推推導導得得：重重復復 3復變函數復變函數工

7、程數學（二）工程數學（二）系數系數cn的積分分別是在的積分分別是在k2， k1上進行的，在上進行的，在D內取繞內取繞z0的的簡單閉曲線簡單閉曲線c，由復合閉路定理可將，由復合閉路定理可將cn寫成統一式子：寫成統一式子：), 2, 1, 0()()(2110ndzficcnn nnnzzczf)()(0Dz0R1R2rRk1k2D1z復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）A .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的內不是處處內不是處處在在相同相同形式上與高階導數公式形式上與高階導數公式系數系數時時當當czfnzfccnnnn 但但 (2) (2)在許多實際應用中，經常遇到在許多實際應用中

8、，經常遇到f (z)在奇點在奇點 z0的鄰域內解析，需要把的鄰域內解析，需要把f (z)展成級數，那么展成級數，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（ Laurent ）級數來展開。）級數來展開。級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數的解析部分和主要部分。洛朗級數的解析部分和主要部分。復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）4. 4. 展開式的唯一性展開式的唯一性結論結論 一個在某一一個在某一圓環域內解析圓環域內解析的函數展開為含的函數展開為含有正、負冪項的級數是唯一的，這個級數就是有正、負冪項的級數是唯一的，這個級數就是f (z)的洛朗級數。的洛

9、朗級數。事實上事實上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示為為內內解解析析，在在設設 nnnzaf)()(0 Dz0R1R2czDc 的的簡簡單單閉閉曲曲線線，內內任任何何一一條條繞繞為為設設0復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）的的正正向向積積分分得得：并并沿沿為為任任一一整整數數將將上上式式兩兩邊邊乘乘以以cPzP),()(110 dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,級級數數就就是是展展開開成成級級數數在在圓圓環環域域內內解解析析的的函函數數由由此此可可知知Laurent nnn

10、zaf)()(0 Dz0R1R2復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）A 由唯一性，將函數展開成由唯一性，將函數展開成Laurent級數，可用間級數，可用間接法。在大都數情況，均采用這一簡便的方法求函數接法。在大都數情況，均采用這一簡便的方法求函數在指定圓環域內的在指定圓環域內的Laurent展開式，只有在個別情況展開式，只有在個別情況下，才直接采用公式下，才直接采用公式求求Laurent系數的方法。系數的方法。例例1解解展開成洛朗級數。展開成洛朗級數。在在求求 zzz0sin 012)!12()1(1sinnnnnzzzz z0 !5!31!5!314253zzzzzz復變函數復變函數

11、工程數學（二）工程數學（二）.03級數級數內展開成內展開成在在將將Laurentzzez )! 21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例2解解例例3解解.01級級數數內內展展成成在在將將Laurentzez nttntte!1! 2112在在復復平平面面上上， nznzzeztz!1!2111,121令令)0( z ! 4! 31! 211123nzzzzzn復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）例例4級數。級數。的的內展開成內展開成（在以下圓環域在以下圓環域將將Laurentzziiiziizizzzf02)(; 21)(; 10)2)(1(1)(0 xyo1221)(

12、 ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）解解:zzzf 2111)(2112111)(zzzf 故故12110)( zzzi 012)211 (874321nnnzzz)421 (21)1 (22 zzzzzn沒沒有有奇奇點點復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）2112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又11121 )( zzzii 0112122218421111)421(21)111(1nnnnnnnzzzzzzzzzzzz復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）1222)( zzziiizzzz

13、zzzf211111112111)( 2100122111nnnnnnnzzzzz 4322273142111111zzzzzzzzz注意首項注意首項復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）次積分等計算來獲得。次積分等計算來獲得。、逐次求導、逐、逐次求導、逐泰勒展開式，經過代換泰勒展開式，經過代換基本初等函數的基本初等函數的展開式，可以利用已知展開式，可以利用已知等函數的洛朗等函數的洛朗對于無理函數及其他初對于無理函數及其他初)1(2)(2)對于對于有理函數有理函數的的洛朗展開式，首先把有理洛朗展開式，首先把有理 函數分解成多項式與若干個最簡分式之和，函數分解成多項式與若干個最簡分式之和，

14、然后利用已知的幾何級數，經計算展成需要的然后利用已知的幾何級數，經計算展成需要的形式。形式。小結：把小結：把f (z)展成洛朗展成洛朗( Laurent )級數的方法：級數的方法：復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）級數。級數。域內展開成域內展開成的去心鄰的去心鄰在以點在以點將將Laurentzzzzzf2, 1)2)(1(1)( 解解 (1) 在在(最大的最大的)去心鄰域去心鄰域例例5yxo12) 1(11112111)( zzzzzf 20)2()1(111)1(11zzzzznn110 z復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二） (2) 在在(最大的最大的)去心鄰域去心鄰域1

15、20 zxo12) 2(11212111)( zzzzzf 20)2()2(121)2()1(21zzzzznnn內內展展開開成成冪冪級級數數。在在區區域域將將 10)2(, 1)1(11)(zzezzfz練習：練習：復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）A 這與唯一性并不矛盾。這與唯一性并不矛盾。不同的區域上的展式，不同的區域上的展式，級數展式，這是因為在級數展式，這是因為在數由許多種不同的數由許多種不同的由此可以看出同一個函由此可以看出同一個函)1(2)(2)根據區域判別級數方式：根據區域判別級數方式：在圓域內需要把在圓域內需要把 f (z) 展成泰勒展成泰勒(Taylor)級數，級數，在環域內需要把在環域內需要把f (z)展成洛朗展成洛朗( Laurent )級數。級數。復變函數復變函數工程數學（二）工程數學（二）A (3) Laurent級數與級數與Taylor 級數的不同點：級數的不同點： Taylor級數先展開求級數先展開求R, 找出收斂域。找出收斂域。 Laurent級數先求