1、一個極限定理的證明及應用燕7卷第2期川東學刊(自然科學版)EastSichuauJournal(NaturalSdenceEdition)1997年4月一一個極限定理的證明及應用袁南橋n【摘要1本文證明一個極限定理,同時介紹它在求一類特殊和武或積武中的應用.【關鍵調1等價無窮小量極限!堅敢苗6笏薯我們知道,在截積分學里曾提到等價無窮小量的概念,并指出著當z一時,有口),(z)島),且爰存在,那么愛碧一.刺用這一蛄墨,印用等價無窮小量來代替以計算輥限的方法,稱為代替法伽?基于這一思想觀念,本文指出,利用等價無窮小量,還可用來求一茭特殊和式的極限同意.同時t利用對敷函數的性質,又能夠用來解決一些積

2、式的輥限問題.于是有下面的定理.定理設,),g()>0是當z(=l,2,3.,)當n一時,一0,且F()存在t那么,()=timg()?證明Ve>0,存在a>o,使當o<ixi<對,恒有i騫一11<E,即(1一c)g()<,()<(1-+-Og(z)?又z.0.且一O(n一.,=1.2.?.n).于是存在正整數N(O.使當>N對,恒有0<ll<(=l.2,).于是一(1一e)g()一<,(<(1-4-e)g(再?)>Ntl,2.,).將此個不等式相加,得(1一)g()<f(zs)<(1-+-e)g(

3、)>)坪.?于是1一c<,(以.)g(zh)<1-+-c(n>N)._,()lim!一=Ig(zh).l由條件蚤F()存在t故故,()=一lim.I,(.)(而.);一|iA-I一llrag.g().證畢.(1)limx.=一limllimx.南+南南(1)一+l(2)!imx.=si1+si2+/-sinj(3)limx?(1一cos,_(4)毛苫(1+-1)?-.,客南jJ壹-I南寺?E(x)(.x-o)?聾南=者毒=堅.:了1lim型-_善曼苧j_.:o.D-,n(2)令,()=sinx,取()=.腳當0時.,)譬).h=llmh=一丟.(3)令,()=1一cos

4、z.那么,(z)萼(o)于毫一lira._a.(1一c.sh)吉苫()o?,(4)令,)=/幣一1,11.1f(x)號(當X-0>子是.客c?+=吉客嘉一,.側2試證明,苫t等善(一1)=一lira.In(1+爭.一.tg(?1)In(1+z).ka口?備一_倒3設,)在0,1-1上有界,可積-證明.薈J-1r-l-f(k)11f(z)dx.(北京大學1983年碩士研究生入學試題)?.證因當z一0時tIn(1+z)z,令z,(詈)寺故由定理知m-1In(+,(告)一薈J-1,(告)音一,)如證畢.倒t求以下極限(一lira(1+)(1).?(1+),(北京大學林源槊等編數學扮析習題集33

5、)Ic.,囂;(張莫宙等譯渡利亞等著分析中的問題與定理P61),一llmeo一號sHH颯H(游兆永編高等數學的解題方法和技巧(1)尸102)I+l.T(4)t曼-m寺c,?(王英新等譯大學生奧林匹克數學競賽試題解答集)P6).解(1)令=(1革器)(1+善).?(1+景).1n,y=客n(1+).由于一lira.1n(1+k)蟠嘉百1所以llm,一【即一lira(1+)(1+)(1+)=/.c.,直=量PJIn,h(1+)ll+kk于是1im+_ln(1+k嘉=吉?c-一嘉,一客c一嘉,一號所以一吉二(一號)=l,即()=c.3.旦爭n立鷲l,一1一(3)設y一聲c0s:.當n足夠大時,oc=!>0.這時.Iny=Incos下ha=一告In(1+=)注意到!jm掣=l,于是-.limln一號善c考慮d2cos一1(4)Cll2345j翱(J-i=一等口一一一土一l=+南+z+薹ci十干1十十i一1)一的洼蒯杰41+謄x一百ID一一扣llm妻嘉=一墨4.參考文獻王壽生等編艱積分解題方法與技巧,西北工太出版社tP24.林源渠等縮數學分折習題集,北京大學出版社,P33.張莫宙等譯波