1、1、1.2.3.4.5.6.7.2、1.2 012年線性代數必考的知識點行列式n行列式共有n2個元素，展開后有n !項，可分解為2n行列式; 代數余子式的性質：、Aij和aij的大小無關； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數余子式為 、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數余子式為代數余子式和余子式的關系：M j =（ _1）i j Aj設n行列式D :將D上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為n ( n 丄)D1，則 D1 =(_1) D ;將D順時針或逆時針旋轉 90 ，所得行列式為將D主對角線翻轉后（轉置），所得行列式為將D主副角線翻轉后，所得行列式為D 2，貝U D 2 =(1

2、)D 3，貝y D 3 = D ；n ( n 1)2-D ；D 4，則D 4 =D ；1#行列式的重要公式：主對角行列式：主對角元素的乘積;副對角行列式：畐U對角元素的乘積n (nT)2 上、下三角行列式（、二i ）（-1）:主對角元素的乘積;#n （n衛、廠和丄：副對角元素的乘積 （一1） 2=(_1)m -AB拉普拉斯展開式:范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積; 特征值；#對于n階行列式An ，恒有：.E _A = n 、 k -X（-1）S-，其中Sk為k階主子式;#證明A =0的方法:、矩陣一一反證法；構造齊次方程組 Ax =0，證明其有非零解; 利用秩，證明r （A） :：: n

3、；證明0是其特征值；A是n階可逆矩陣：A -0 （是非奇異矩陣）；=r （ A） = n （是滿秩矩陣）二A的行（列）向量組線性無關；二齊次方程組Ax =0有非零解；二b Rn , Ax =b總有唯一解；=A與E等價；=A可表示成若干個初等矩陣的乘積；二A的特征值全不為 0 ；=AT A是正定矩陣；二A的行（列）向量組是 Rn的一組基;-A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；2. 對于n階矩陣A : AA 二A * A = A E無條件恒 成立；3. (A 丄)*=( A *) 1( A 丄)T=( AT )丄(A *)T=( AT )*TT T*111(AB)-BA( AB)-B A(AB )-B

4、A4. 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數值，可求代數和;5. 關于分塊矩陣的重要結論，其中均 A、B可逆：么1:A若A =2，則:As s /I、 A| 卜 A?，|As ；A11n、1As、OB(主對角分塊)A f o b 。卜X O J；(副對角分塊、i _ i 、 -A PB -iB -;(拉普拉斯)1.、AIC；(拉普拉斯)矩陣的初等變換與線性方程組Er 0F 二2 0總 等價類：所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣； 對于同型矩陣 A、B，若r( A)= r (B廠二 A _ B ；一個m n矩陣A ,總可經過初等變換化為標準形，

5、其標準形是唯一確定的:2. 行最簡形矩陣： 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個非0元素必須為1 ； 、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；3. 初等行變換的應用：(初等列變換類似，或轉置后采用初等行變換)r 若(A , E )( E , X )，則A可逆，且X =A丄；c 、對矩陣(A, B)做初等行變化，當 A變為E時，B就變成A丄B，即：(A, B )、( E , AB )；r、求解線形方程組：對于n個未知數n個方程Ax =b，如果(A, b) _一( E , x)，則A可逆，且x=A b ；4. 初等矩陣和對角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等

6、行矩陣、右乘為初等列矩陣；、人=+.，左乘矩陣A，人乘A的各行元素；右乘， 人乘A的各列元素;4 、對調兩行或兩列，符號 、倍乘某行或某列，符號E (i, j)，且 E (i, j)丄=E (i, j)，例如:5.、倍加某行或某列，符號矩陣秩的基本性質:E (ij (k ),且 E (ij (k )丄=E (ij ( _k )，如:k、11_k =1=1(k 0)；11IJ(16.、 乞 r (Am n) min( m , n )；、r ( At ) =.r (A)；、若 A B，貝U r ( A) =r (B)；、若P、Q可逆，則r(A)= r (PA ) =r( AQ )二r (PAQ )

7、;(可逆矩陣不影響矩陣的秩)、max( r ( A), r (B ) r (A, B ) r ( A) - r (B )；(探)、r ( A B) r (A) - r ( B)；(探) 、r ( AB ) min( r ( A), r (B )；(探) 、如果A是m n矩陣，B是n s矩陣，且AB -，U：(I、B的列向量全部是齊次方程組 AX =解(轉置運算后的結論)；n、 r (A) - r ( B ) n、若A、B均為n階方陣，則r (AB )(A) r (B ) _n ;三種特殊矩陣的方幕： 、秩為1的矩陣：一定可以分解為 列矩陣(向量)行矩陣(向量)的形式，再采用結合律;、型如c I

8、b的矩陣：利用二項展開式;1二項展開式:(a +b)n =C： an +C： an 七1m n _m m 亠 亠c n a - bnn _1 1 n 1n nmm.n m“亠Cn -a b - Cnb 二為 Cna b 一 ;m注：I、( a-b)n展開后有n 1項;n、c；n (n1)(n m -.-1)m !( n -m)!C =Cn川、組合的性質：Cn=CnnA 5 = 2r -0rr _LrC n 二 nC n _1 ； 、利用特征值和相似對角化:7.伴隨矩陣:、伴隨矩陣的秩:* Jnr( A) = 1r ( A) r ( A) r ( A)、伴隨矩陣的特征值:(AXAX )；、.1-

9、.1關于、A矩陣秩的描述： r ( A)二 n , A 中有n階子式不為0 , n 1階子式全部為；(兩句話)、r ( A) : n , A 中有n階子式全部為；E (i (k)，且 E (i (k )丄=E (i (_)，例如: k8.59.10.11.4、1.2.3.4.5.6.7.、r （ A） _n , A中有n階子式不為0；線性方程組：Ax二b，其中A為m n矩陣，則： 、m與方程的個數相同，即方程組Ax =b有m個方程； 、n與方程組得未知數個數相同，方程組Ax =b為n元方程;線性方程組Ax =b的求解： 、對增廣矩陣B進行初等行變換 、齊次解為對應齊次方程組的解； 、特解：自由

10、變量賦初值后求得；只能使用初等行變換）；由n個未知數m個方程的方程組構成 n元線性方程:、amx 2nxn 二 6x 2 亠 7 2 nxn = b2a h a ta a ta a u a ta a a ta a g,X 亠亠ax b22nm nn&1a 12、a 22b2 Ax b（向量方程,A為m n矩陣,m個方程,n個未知數）、a 21a m 2bmm丿（全部按列分塊，其中b2、a 1 x 1 a2x2亠亠anxn =- （線性表出） 、有解的充要條件：r （ A） = r （ A, J 1, 2,，s丄必線性無關；（向量的個數加加減減，二者為對偶）若r維向量組A的每個向量上添上n -r

11、個分量，構成n維向量組B :若A線性無關，則B也線性無關；反之若 B線性相關，則A也線性相關；（向量組的維數加加減減） 簡言之：無關組延長后仍無關，反之，不確定；向量組A （個數為r ）能由向量組B （個數為s ）線性表示，且 A線性無關，則r乞s ；向量組A能由向量組B線性表示，則r（ A） r（B ）；向量組A能由向量組B線性表示8.9.10.11.12.13.14.15.16.5、1.2.3.4.二AX =B有解；r (A) =r (A, B) 向量組A能由向量組B等價:二r( A) =r( B)= r( A, B) 方陣A可逆=存在有限個初等矩陣 片，P 2,，Pi，使A二片P2Pi

12、； r 、矩陣行等價： AB=PA=B (左乘，P可逆)u Ax =0與Bx =0同解c 、矩陣列等價： AB = AQ =B (右乘，Q可逆)； 、矩陣等價： AB = PAQ =B ( P、Q可逆)； 對于矩陣Amn與Bl n : 、若A與B行等價，則A與B的行秩相等； 、若A與B行等價，則Ax 0與Bx 0同解，且A與B的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣A的行秩等于列秩；右 Am sBs n =C m n，則： 、c的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數矩陣； 、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，At為系數矩陣；(轉置)齊次方程

13、組Bx =0的解一定是ABx =0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明； 、ABx =0只有零解二Bx =0只有零解； 、Bx =0 有非零解= ABx =0 一定存在非零解；設向量組 Bn r : b1, b2,，br可由向量組 An s : a1 ,a2,，as線性表示為：(4 , b2,，br ) = (a1, a 2,，a s) K ( B = AK )其中K為s r，且A線性無關，則B組線性無關r (K ) = r ； ( B與K的列向量組具有相同線性相關性)(必要性： ；r =r (B )= r (AK ) r ( K ), r (K ) r, r (K )= r ；充分性

14、：反證法) 注：當r二s時，K為方陣，可當作定理使用； 、對矩陣Am n，存在Qnm，AQ = E mr (A)=m、Q的列向量線性無關； 、對矩陣Am n，存在Pn m, PA = E nr (A )=n、P的行向量線性無關；：-1,，：*線性相關二存在一組不全為0的數k 1, k2,，ks，使得k1 k22亠亠kss = 0成立；(定義)；1二(口心心)x2 =0有非零解，即Ax =0有非零解；=r( ：1,2,，s) :：: s，系數矩陣的秩小于未知數的個數；設m n的矩陣A的秩為r，則n元齊次線性方程組 Ax = 0的解集S的秩為：r(S) = n _r ；若*為Ax =b的一個解，1

15、,；,，；丄為Ax =0的一個基礎解系，則*, 1, 2,，“線性無關;相似矩陣和二次型 正交矩陣A = E或A - =At (定義)，性質：一 j (i, j= 1,2, n)-j、T 斤 、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即ai aj 、若A為正交矩陣，則 A丄=At也為正交陣，且 A二1 ； 、若A、B正交陣，則AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記 施密特正交化 和單位化； 施密特正交化：(a1, a 2,ar)b1 =a1 ；b1, a2b1d，b1 br= a_4仝上 2- - b1 b 1 b b ,2br_br1_，1對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關; 對于實對稱陣，不同特征值對應的特征向量正交； 、A與B等價A經過初等變換得到 B ；二 P AQ 二B , P、Q 可逆；r (A) =r (B )， A、B 同型；、A與B合