1、第三章多元線性回歸模型習題與答案1、極大似然估計法的基本思想2、多元線性回歸模型的基本假設是什么？試說明在證明最小二乘估計量的無偏 性和有效性的過程中，哪些基本假設起了作用？3、 以企業研發支出（R&D）占銷售額的比重為被解釋變量（丫），以企業銷售額 （XI）與利潤占銷售額的比重（X2）為解釋變量，一個有32容量的樣本企業的估計結果如下：Y 0.4720.32log（Xi）0.05X2（1.37）（0.22）（0.046）R20.099其中括號中為系數估計值的標準差。（1）解釋log（X1）的系數。如果X1增加10%，估計丫會變化多少個百分點？ 這在經濟上是一個很大的影響嗎？（2） 針

2、對R&D強度隨銷售額的增加而提高這一備擇假設，檢驗它不雖X1 而變化的假設。分別在5%和10%的顯著性水平上進行這個檢驗。（3）利潤占銷售額的比重X2對R&D強度丫是否在統計上有顯著的影響？4、1960- 1982年美國對子雞的需求。為了研究美國每人的子雞消費量，我們提 供如下的數據：表1 1960 1982年子雞的消費情況年份丫X2X3X4X5X6196027.8397.542.250.778.365.8196129.9413.338.152.079.266.9196229.8439.240.354.079.267.8196330.8459.739.555.379.269.6

3、196431.292.937.354.777.468.7196533.3528.638.163.780.273.6196635.6560.339.369.880.476.3196736.4624.637.865.983.977.2196836.7666.438.464.585.578.1196938.4717.840.170.093.784.7197040.4768.238.673.2106.193.3197140.3843.339.867.8104.889.7197241.8911.639.779.1114.0100.7197340.4931.152.185.4124.1113.519744

4、0.71021.548.994.2127.6115.3197540.11165.958.3123.5142.9136.7197642.71349.657.9129.9143.6139.2197744.11449.456.5117.6139.2132.0197846.71575.563.7130.9165.5132.1197950.61759.161.6129.8203.3154.41980350.11994.258.9128.0219.6174.91981 51.72258.166.4141.0221.6180.81982 52.92478.770.4168.2232.6189.4資料來源：Y

5、數據來自城市數據庫；X數據來自美國農業部。 注：實際價格是用食品的消費者價格指數去除名義價格得到的。其中丫二每人的子雞消費量，磅X2二每人實際可支配收入，美元X3 =子雞每磅實際零售價格，美分X4 =豬肉每磅實際零售價格，美分X5 =牛肉每磅實際零售價格，美分X6 =子雞替代品每磅綜合實際價格，美分。這是豬肉和牛肉每磅實際零售 價格的加權平均。其權數是在豬肉和牛肉的總消費量中兩者各占的相對消費量。現考慮下面的需求函數：lnYt= a 1+ a 2 lnX2t +a 3lnX3t+u tlnYt= r 1+r2 lnX2t + r3lnX3t+r4lnX4t + utInYt=入1+ 入 2 l

6、nX2t+入 3lnX3t+入 4lnX5t+ utlnYt= 91+ 9 2 lnX2t+9 3lnX3t+9 4lnX4t+ 95lnX5t+utlnYt= B1+ B 2 lnX2t+B 3lnX3t+B 4lnX6t+ ut由微觀經濟學得知，對一種商品的需求通常較依賴消費者的實際收入，該商品的實際價格，以及互替和互補商品的實際價格。按照這些思考，回答以下問題。(1) 從這里列舉的需求函數中你會選擇哪一個并且為什么？(2) 你怎么理解這些模型中的lnX2和lnX3的系數？(3) 模型的設定(2)和(4)有什么不同(4) 如果你采用設定4,你會見到什么問題：(提示：豬肉和牛肉價格都同子 雞

7、價格一道被引進)(5) 因為設定(5)中含有牛肉和豬肉的綜合價格，你會認為需求函數5優于函數4?為什么？(6) 豬肉和(或)牛肉是子雞的競爭或替代產品嗎？你怎樣知道？(7) 假定函數5是“正確的需求函數。估計此模型的參數。”算出它們的標準 誤，以及R 2 ,和修正的R 2解釋你的結果(8) 現假設你選那個了“不正確”的模型 2,通過考慮j和b值分別同2和 3的 關系，來評估這一錯誤設定的后果。5、某地區通過一個樣本容量為722的調查數據得到勞動力受教育的一個回歸方程為： Y 10.36 0.094X1 0.131X2 0.210X3R2 0.214其中，丫為勞動力受教育年數，X1為該勞動力家庭

8、中兄弟姐妹的人數，X2和X3分別為母親與父親受教育的年數，問：Xi是否具有預期的影響？為什么？X2和 X保持不變，為了使預測的受教育水平減少一年，需要增加Xi多少？（2）請對X 2的系數給予適當的解釋。 如果兩個勞動力都沒有兄弟姐妹，但其中一個的父母受教育的年數為12 年,另一個的父母受教育的年數為16年，則兩人受教育的年數預期相差多少 ？&下表列出了某地區家庭人均雞肉年消費量 丫與家庭月均收入X,雞肉價格R （元/千克），豬肉價格P2 （元/千克）與牛肉價格P3 （元/千克）的相關數據表2某地區家庭消費肉類情況表年份丫/千克X/元PP2P319802.783974.225.077.8

9、319812.994133.815.27.9219822.984394.035.47.9219833.084593.955.537.9219843.124923.735.477.7419853.335283.816.378.0219863.565603.936.988.0419873.646243.786.598.3919883.676663.846.458.5519893.847174.0179.3719904.047683.867.3210.6119914.038433.986.7810.4819924.189113.977.9111.419934.049315.219.5412.4119

10、944.0710214.899.4212.7619954.0111655.8312.3514.2919964.2713495.7912.9914.3619974.4114495.6711.7611.7619984.6715756.3713.0913.0919995.0617596.1612.9812.9820005.0119945.8912.812.820015.1722586.6414.114.120025.2924787.0416.8216.82（1）求出該地區關于家庭雞肉消費需求的如下模型:In 丫 0 r In X 21n R 21n P23 In P3（2）請分析雞肉的家庭消費需求是

11、否受豬肉及牛肉價格的影響 答案：1、在極大似然估計中，假定樣本是固定的， n 個觀測值都是獨立觀測的，這個 樣本可以有各種不同的總體生成， 而每個總體都有自己的參數。 那么在可供選擇 的總體中，哪個總體最可能生成所觀測到的 n個樣本值？為此，需要估計每個可 能總體取得這 n 個觀測值聯合概率， 選擇其參數能使觀測樣本值的聯合概率最大 的那個總體。2、多元線性回歸模型的基本假設仍然是針對隨機干擾項與針對解釋變量兩大類 的假設。針對隨機干擾項的假設有：零均值，同方差，無序列相關且服從正態分 布。針對解釋變量的假設有：解釋變量應具有非隨機性，如果是隨機的，則不能 與隨機干擾項相關，各解釋變量之間不存

12、在(完全)線性相關關系。 在證明最小二乘估計量的無偏性中， 利用了解釋變量非隨機或與隨機干擾項不相 關的假定；在有效性的證明中，利用了隨機干擾項同方差且無序列相關的假定。3、 ( 1) Iog(x1)的系數表明在其他條件不變時，Iog(x1)變化1個單位，丫變化的單位數，即 Y=0.32 log(X1) 0.32( X1/X1)=0.32 100%，換言之，當企業銷售 X1 增長 100%時，企業研發支出占銷售額的比重 丫 會增加 0.32 個百分點。由此， 如果 X1 增加 10%， 丫 會增加 0.032個百分點。 這在經濟上不是一個較大的影響。(2) 針對備擇假設 H1： 10 ，檢驗原

13、假設 H0： 1 0。易知計算的 t 統計量的值為t=0.32/0.22=1.46&在5%的顯著性水平下，自由度為 32-3=29的t分布的臨界值為1.699 (單側)，計算的t值小于該臨界值，所以不拒絕原假設。意味 著 R&D 強度不隨銷售額的增加而變化。在 10%的顯著性水平下， t 分布的臨界 值為 1.311，計算的 t 值小于該值，拒絕原假設，意味著 R&D 強度隨銷售額的 增加而增加。(3) 對X2，參數估計值的t統計值為0.05/0.46=1.087,它比在10%的顯著性水 平下的臨界值還小，因此可以認為它對 丫 在統計上沒有顯著的影響。4 、 ( 1 )

14、模型五，它包含了所有的經濟上相關的變量，而模型四中會產生多重共 線性問題，而其他的模型包含的信息不夠。(2) 前者是收入彈性系數，后者是價格彈性系數。(3) 模型( 2)僅把豬肉作為替代品，模型( 4)則把豬肉和牛肉都作為替代品。(4) 多重共線性問題。(5) 是的，多重共線性問題得到消除。(6) 作為一種食物，它們同子雞相互競爭或替代。(7)?1?2?3?4系數值2.0300.481-0.351-0.061標準差0.1190.0680.0790.130t值17.107.058-4.416-0.470r220.980R2 0.980,R2 0.977,MODIFIEDR2 0.810其中交叉價

15、格彈性相關系數統計上與零無異，P=0.6440。（8）估計值可能是有偏的。5、（1）預期X!對勞動者受教育的年數有影響。因為在收入及支出預算約束一定 的條件下，子女越多的家庭，每個孩子接受教育的時間會越短。根據多元回歸模型偏回歸系數的含義，X,前的參數估計值-0.094表明，在 其他條件不變的情況 下，每增加1個兄弟姐妹，受教育年數會減少 0.094年，因此，要減少1年受 教育的時間，兄弟姐妹需增加約11個。（2） X2的系數表示當兄弟姐妹數與父親受教育的年數保持不變時，母親每增加1年受教育的機會，其子女作為勞動者就會預期增加0.131年的受教育機會。（3）首先計算兩人受教育的年數分別為10.36+0.131x12+0.210x12=14.45210.36+0.131x16+0.210x16=15.816因此，兩人的受教育年限的差別為：15.816 14.452=1.3646 （1）用EViews軟件做回歸，有如下的回歸方程：lnY? 0.7315 0.3463X0.5021P1 0.1469P20.0872P3（-0.297）（ 4.182）（ -4.569）（ 1.483）（ 0.873）R20.9786 F=252.26 RSS=0.0135（2）豬肉的價格與牛肉的