1、第七章 差分方程模型 差分方程是解決離散時間問題的常用的數(shù)學方法，本章介紹幾個用差分方程建立的實際問題的數(shù)學模型。7.1個人住房抵押貸款隨著經(jīng)濟的發(fā)展,金融問題正越來越多地進入普通市民的生活，貸款、保險、養(yǎng)老金和信用卡等都涉及金融問題，個人住房抵押貸款是其中最重要的一項。1998年12月,中國人民銀行公布了新的存、貸款利率水平,其中貸款利率如表7.1所列:表7.1 中國人民銀行貸款利率表貸款期限 半年 一年 三年五年五年以上利率 6.12 6.39 6.667.207.56當貸款期處于表中所列相鄰年限之間時利率為對應相鄰兩數(shù)中較大者。其后,上海商業(yè)銀行對個人住房商業(yè)性貸款利率做表7.2 上海市

2、商業(yè)銀行住房抵押貸款利率表貸款期限 一年 二年 三年四年五年利率 6.12 6.255 6.3906.5256.660表7.3 上海市商業(yè)銀行住房抵押貸款分期付款表（元）貸款期限 一年 二年三年四年五年月還款 一次還清本息總和 10612.0 444.3610664.54305.9911015.63237.2611388.71196.4111784.71我們以商業(yè)貸款10000元為例,一年期貸款的年利率為6.12,到期一次還本付息總計10612.00元,這很容易理解。然而二年期貸款的年利率為6.255,月還款數(shù)444.36元為本息和的二十四分之一,這后兩個數(shù)字究竟是怎樣產(chǎn)生的？是根據(jù)本息總額算

3、出月還款額，還是恰好相反？讓我們稍微仔細一些來進行分析。由于貸款是逐月歸還的,就有必要考察每個月欠款余額的情況。設(shè)貸款后第個月時欠款余額為元，月還款元,則由變化到,除了還款額外,還有什么因素呢？無疑就是利息。但時間僅過了一個月,當然應該是月利率,設(shè)為,從而得到或者 (7.1)初時條件 (7.2)這就是問題的數(shù)學模型。其中月利率采用將年利率平均。即=0.06255/12=0.00512125 (7.3)若是已知的,則由(7.1)式可以求出中的每一項,我們稱(7.1)式為一階差分方程。模型解法與討論（1）月還款額 二年期的貸款在24個月時還清,即=0 (7.4)為求的值,設(shè) ， =1,2, （7.

4、5)易見于是導出的表達式 (7.6)由(7.5)式與(7.6)式得 = 從而得到差分方程(7.1)的解為 (7.7)將的值和=24代入得到=444.36(元),與表7.3中的數(shù)據(jù)完全一致,這樣我們就了解了還款額的確定方法。是一年期,而在表7.1中是上一檔半年期,6.66是五年期而在表7.1中是上一檔三年期。其次再考察表7.2商業(yè)性貸款二、三、四年期的利率,我們把這三個數(shù)字是如何得到的問題留給讀者。 依據(jù)這兩個結(jié)論,請讀者自己制定出住房商業(yè)性貸款直至二十年的利率表和還款額表。(2)還款周期我們看到個人住房貸款是采用逐月歸還的方法,雖然依據(jù)的最初利率是年利率。那么如果采用逐年歸還的方法,情況又如何

5、呢？仍然以二年期貸款為例,顯然,只要對(7.7)式中的利率代之以年利率=0.06255,那么由=2, =0, =10000,則可以求出年還款額應為=5473.87(元)這樣本息和總額為2=10947.73(元)遠遠超出逐月還款的本息總額?？紤]到人們的收入一般都以月薪方式獲得,因此逐月歸還對于貸款者來說是比較合適的。讀者還可以討論縮短貸款周期對于貸款本息總額的影響。（3）平衡點回到差分方程(7.1),若令,可解出 (7.8)稱之為差分方程的平衡點或稱之為不動點。顯然,當初值時,將恒有。 在住房貸款的例子里,平衡點意味著如果貸款月利率和月還款額是固定的,則當初貸款額稍大于或小于時,從方程(7.1)

6、的解的表達式(7.7)中容易看出，欠款額隨著的增加越來越遠離,這種情況下的平衡點稱為不穩(wěn)定的,對一般的差分方程, =0,1,2， (7.9)稱滿足方程 的點為（7.9）的平衡點。若（7.9）的解 (7.10)則稱為穩(wěn)定的平衡點,否則稱為不穩(wěn)定的平衡點。判別平衡點是否穩(wěn)定的一個方法是考察導數(shù):（1）當<1時, 是穩(wěn)定的; （2）當>1時, 是不穩(wěn)定的。在金融乃至經(jīng)濟等其他領(lǐng)域中,還有許多問題的數(shù)學模型都可以用差分方程來表達。下面再介紹幾個典型例子。7.2養(yǎng)老保險養(yǎng)老保險是與人們生活密切相關(guān)的一種保險類型。通常保險公司會提供多種方式的養(yǎng)老金計劃讓投保人選擇,在計劃中詳細列出保險費和養(yǎng)老

7、金的數(shù)額。例如某保險公司的一份材料指出:在每月交費200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金的約定下,男子若25歲起投保,屆時月養(yǎng)老金2282元;若35歲起投保,月養(yǎng)老金1056元;若45歲起投保,月養(yǎng)老金420元。我們來考察三種情況下所交保險費獲得的利率。設(shè)投保人在投保后第個月所交保險費及利息累計總額為,那么很容易得到數(shù)學模型 (7.11) 其中,分別是60歲前所交的月保險費和60歲起每月領(lǐng)的養(yǎng)老金數(shù)(單位: 元),是所交保險金獲得的利率,分別是投保起至停交保險費和至停領(lǐng)養(yǎng)老金的時間(單位:月).顯然依賴于投保人的壽命,我們?nèi)≡摫ｋU公司養(yǎng)老金計劃所在地男性壽命的統(tǒng)計平均值75歲,以25歲投保為例,則有=

8、200,=2282，=420,=600而初始值=0,據(jù)此不難得到 (7.12)由此可得到關(guān)于的方程如下 (7.13)記,且將已知數(shù)據(jù)代入,則只需求解方程 (7.14)由方程(7.14)求得=1.00485, =0.00485（非線性方程求近似解）。7.3金融公司支付基金的流動金融機構(gòu)為保證現(xiàn)金充分支付,設(shè)立一筆總額5400萬的基金,分開放置在位于城和城的兩家公司,基金在平時可以使用,但每周末結(jié)算時必須確?？傤~仍然為5400萬。經(jīng)過相當長的一段時期的現(xiàn)金流動,發(fā)現(xiàn)每過一周,各公司的支付基金在流通過程中多數(shù)還留在自己的公司內(nèi),而城公司有10%支付基金流動到城公司, 城公司則有12%支付基金流動到城

9、公司。其初城公司基金為2600萬, 城公司基金為2800萬。按此規(guī)律,兩公司支付基金數(shù)額變化趨勢如何?如果金融專家認為每個公司的支付基金不能少于2200萬,那么是否需要在必要時調(diào)動基金?設(shè)第周末結(jié)算時, 城公司城公司的支付基金數(shù)分別為，(單位:萬元),那么有1.9 . (7.15)這是一個差分方程組,初始條件為=2600,=2800 (7.16)通過迭代,可以求出第周末時的和的數(shù)額,下面的表7.4列出了幾種情況下1至12周末兩公司的基金數(shù)。 表7.4（） 的兩城支付基金表 1234562676.0 2724.02735.3 2664.727815 2618.52817.6 2582.42845

10、.7 2554.32847.7 2532.37891011122884.8 2515.22898.1 2501.92908.5 2491.52916.7 2483.32923.0 2477.02927.9 2472.1 表7.4（） 的兩城支付基金表 k 1234562832.0 2568.02857.0 2543.0 2876.4 2523.62891.6 2508.42903.5 2496.52912.7 2487.37891011122919.9 2480.12925.5 2474.52929.9 2470.12933.3 2466.72936.0 2464.02938.1 2461.9

11、 表7.4（） 的兩城支付基金表 1234562988.0 24122978.6 2421.4 2971.3 2428.72965.6 2434.42961.2 2438.82957.7 2442.37891011122955.0 2445.02952.9 2447.12951.3 2448.72950.0 2450.02949.0 2451.02948.2 2451.8從表7.4（）中可以看出城公司支付基金數(shù)在逐步增加,但增幅逐步減小; 城公司的基金變化正好相反。然而, 是否有上界, 是否有下界? 是否會小于2200萬元呢？我們還是不能斷言。解決這個問題有許多方法,下面我們借助線性代數(shù)知識來

12、處理這個問題,將(7.15)式寫成矩陣形式 (7.17)那么我們就可以得到 (7.18)利用正交變換（也可以利用矩陣迭代）,便可以圓滿地回答前面的問題。對于本例，當充分大城公司的支付基金為2945.8萬元，城公司的支付基金為2454.2萬元。均滿足2200萬元的最低保證金要求（請讀者自己完成）。 類似于差分方程平衡點的討論，對于一般的一階常系數(shù)差分方程組 （7.19）稱滿足方程組 的解向量為（7.19）式的平衡點。如果 稱平衡點是穩(wěn)定的。記 可以通過分析矩陣的特征值來判斷（7.19）式平衡點的穩(wěn)定性：（1） 當任意的或者，平衡點是穩(wěn)定的；（2） 當任意且，平衡點是不穩(wěn)定的。 對于本模型，通過求

13、的特征向量，得到。也可以用迭代法求近似解。矩陣的兩個特征值分別為1，0.78，因此，該平衡點是穩(wěn)定的。7.4選舉問題西方國家的政治生活中,選舉是一件大事。隨著選民人數(shù)的變化，選舉的趨勢會是怎樣的？一直是各個政黨十分關(guān)心的問題。本節(jié)我們介紹用差分方程建立一個由三個政黨參加的選舉問題。考慮有三個政黨參加每次的選舉，每次參加投票的選民人數(shù)保持不變。通常情況下，由于社會、經(jīng)濟、各黨的政治主張等多種因素的影響，原來投某黨票的選民可能改投其他政黨。為此，我們作如下假設(shè)：(1) 每次投黨票的選民，下次投票時，分別有比例的選民投政黨的票，每次投黨票的選民，下次投票時，分別有比例的選民投各政黨的票，每次投黨票的

14、選民，下次投票時，分別有比例的選民投各政黨的票； （2）表示第次選舉時分別投各黨的選民人數(shù)。 每次投票的選民數(shù)變動情況見流程圖7.1。根據(jù)假設(shè),可以得到如下差分方程組 （7.20） 其中, 令上式可以表示為矩陣形式 （7.21）如果給出問題的初始值，就可以利用遞推方法，求出任一次選舉時的選民投票情況。通過求（7.21）式的平衡點滿足的方程組 解得，以下是幾個實例模擬，模型各參數(shù)均取相同值（初值出外），其中，。我們將結(jié)果放在表7.5中，供大家參考。（1） 表7.5（）0 1 2 3 4 5 6 7 822200 22210 22216 22219 22220 22221 22222 22222

15、222227800 7790 7784 7781 7780 7779 7778 7778 777810000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 (2) 。 表7.5（）0 1 2 3 4 5 6 7 813333 18000 20033 21045 21580 21870 22029 22116 2216413333 11333 9833 8928 8415 8129 7971 7884 783613333 10667 10133 10027 10005 10001 10000 10000 10000(3) 表7.5（）0 1 2

16、3 4 5 6 7 810000 15500 18525 20189 21104 21607 21884 22036 2212020000 14500 11475 9811 8896 8393 8116 7964 788010000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 (4) 表7.5（）0 1 2 3 4 5 6 7 820000 19000 20050 20947 21505 21825 22003 22101 2215620000 13000 10350 9133 8511 8179 7998 7899 78440 8000 9

17、600 9920 9984 9997 9999 10000 10000可以驗證，當時，四組初值條件下，三個政黨的選票數(shù)將分別穩(wěn)定在22222、7778、10000。進一步借助矩陣還可以證明，當， ，如果總選民數(shù)為40000，最終三個政黨的選票數(shù)將分別穩(wěn)定在22222、7778、10000。我們還可以借助這個模型,分析選民數(shù)有變化的情況。7.5簡單的種群增長模型 假設(shè)在一個自然生態(tài)地區(qū)生長著一群鹿,在一段時間內(nèi),鹿群的增長受資源制約的因素較小。試預測鹿群的增長趨勢如何?下面將建立一個簡單的鹿群增長模型。假設(shè):（1）公、母鹿占群體總數(shù)的比例大致相等,所以本模型僅考慮母鹿的增長情況；（2）鹿群中母鹿

18、的數(shù)量足夠大,因而可近似地用實數(shù)表示；（3）將母鹿分成兩組:一歲以下的稱為幼鹿組,其余的稱為成年組；（4）將時間離散化,每年觀察一次,分別用表示第年的幼鹿數(shù)及成年鹿數(shù)，且假設(shè)各年的環(huán)境因素都是不變的;（5）分別用表示兩個年齡組鹿的雌性生育率,用表示其死亡率。出生率、死亡率為常數(shù)，記;（6）鹿的數(shù)量不受自然資源的影響;（7）剛出生的幼鹿在哺乳期的存活率為，設(shè)。根據(jù)以上假設(shè),建立模型如下 =0,1, (7.22)或?qū)懗删仃囆问?(7.23)令=, A=則(7.23)式可表示為 (7.24)于是可得到也即 (7.25)其中分別是初始時刻的幼鹿數(shù)與成年鹿數(shù)。關(guān)于的解法假如A可以對角化,先將A對角化,如

19、不能對角化,則將其化成約當標準型。對于本例,可作如下處理,令 得到特征方程 (7.26)判別式>0特征方程(7.26)有兩個相異的實根,因此A可以對角化。對應的特征向量分別為, 。由此得到 A= (7.27)因而=代入(7.25)式得=也即 （ ） (7.28)其中 (7.29)故解為 (7.30)最后,我們利用(7.30)式對下面一組數(shù)據(jù)進行驗證，取 經(jīng)計算得 將這組數(shù)據(jù)代入（7.29）得 由（7.30）式得 =1.392, 1.829, 2.596, 3.602, 5.03, 7.011,=1.246, 1.798, 2.482, 3.471, 4.837, 6.746,模型分析該模

20、型沒有考慮資源的限制，所以當鹿群的增長接近飽和狀態(tài)時，模型需要修正。讀者可以作進一步考慮。7.6 Leslie人口模型現(xiàn)在我們來建立一個簡單的離散的人口增長模型，借用前面提出的差分方程模型，僅考慮女性人口的發(fā)展變化。如果僅把所有的女性分成為未成年的和成年的兩組，則人口的年齡結(jié)構(gòu)無法刻劃，因此必須建立一個更精確的模型。20世紀40年代提出的Leslie人口模型，就是一個預測人口按年齡組變化的離散模型。模型假設(shè)(1) 將時間離散化，假設(shè)男女人口的性別比為1:1，因此本模型僅考慮女性人口的發(fā)展變化。假設(shè)女性最大年齡為歲，將其等間隔劃分成個年齡段（不妨假設(shè)為的整數(shù)倍），每隔年觀察一次，不考慮同一時間間

21、隔內(nèi)人口數(shù)量的變化。(2) 記為第個年齡組第時段的女性總?cè)藬?shù)，。第年齡組女性生育率為（注：所謂女性生育率指生女率），女性死亡率為，假設(shè)不隨時間變化，記。 (3) 不考慮生存空間等自然資源的制約,不考慮意外災難等因素對人口變化的影響。模型建立與求解根據(jù)以上假設(shè)，可得到方程 = =1,2，,-1 寫成矩陣形式為 （7.31）其中，L= 記 （7.32）假設(shè)和矩陣L已經(jīng)由統(tǒng)計資料給出，則 =1，2，為了討論女性人口年齡結(jié)構(gòu)的長遠變化趨勢，我們先給出如下兩個條件：(i) (ii) ，且不全為零。易見，對于人口模型，這兩個條件是很容易滿足的。在條件（i）、（ii）下，下面的結(jié)果是成立的：定理7.1 L矩

22、陣的正特征根是唯一的、單重的，若記之為，則其對應的一個特征向量為 （7.33）定理7.2 若是矩陣的任意一個特征根，則必有。定理7.3 若第一行中至少有兩個順次的，則 （i）若是矩陣L 的任意一個特征根，則必有。 （ii） =， （7.34）其中是與有關(guān)的常數(shù)。充分大時，有 (7.35)定理7.4 記，）=/+/2+/m，則是的非零特征根的充分必要條件為 （7.36）所以當時間充分大時，女性人口的年齡結(jié)構(gòu)向量趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即年齡結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定形態(tài)，而各個年齡組的人口數(shù)近似地按1的比例增長。由（7.35）式可得到如下結(jié)論：(i) 當時，人口數(shù)最終是遞增的；(ii) 當時，人口數(shù)最終是遞減的；(ii

23、i) 當=1時，人口數(shù)是穩(wěn)定的。根據(jù)（7.36）式，如果=1，則有 記 （7.37）的實際含義是平均每個婦女一生中所生女孩數(shù)。當時，人口遞增；當時，人口遞減。Leslie模型有著廣泛的應用，這里我們給出幾個應用的例子，供讀者參考。動物種群管理隨著種群數(shù)量的增長,由于受食物、生存空間等自然資源的制約,種群的總量不能無限制地增長,增長比例會逐漸減小。而且讓動物群體自然地增長,而不去捕獲它,也會造成一種資源的浪費,但是過度的捕獲會導致動物種群趨于滅絕。那么我們應該采取怎樣的捕獲策略呢? 現(xiàn)在我們來考慮一個牧場或飼養(yǎng)場的一個動物種群的飼養(yǎng),從經(jīng)濟的角度出發(fā)，我們總是希望盡可能多的飼養(yǎng)動物，但是，如果飼

24、養(yǎng)的動物太多的話，牧場的條件又不許可。我們不妨假設(shè)動物的數(shù)量在牧場規(guī)模許可的范圍內(nèi)時，其食物、生存空間等自然因素對動物群體的增長不構(gòu)成較大的制約。下面我們將給出一個持續(xù)穩(wěn)定的屠宰方案,進行周期的屠宰。假設(shè)每次屠宰都在生育期和哺乳期之后進行,每次屠宰數(shù)量相同,屠宰后的動物數(shù)量與上一次屠宰后的數(shù)量相同。類似于Leslie模型,我們僅考慮雌性動物數(shù)量的變化。仍然采用前面的一些記號,且假設(shè)第個年齡組的動物按的比例屠宰,稱其為第組的屠宰率,并稱矩陣 H=diag()為屠宰矩陣。則各組的動物屠宰數(shù)量可用向量表示。根據(jù)持續(xù)屠宰策略的要求得到方程 (7.38)上式表明是矩陣L-HL的特征值為1所對應的特征向量

25、。容易算出 L-HL= (7.39)從上式可以看出,矩陣L-HL也是Leslie矩陣,因此該矩陣有正特征根1的充要條件為 (7.40)該式表明,如果滿足(7.40)式,就能保證種群數(shù)量的穩(wěn)定，此時對應的一個特征向量為 （7.41）下面考慮在任給一個初始年齡分布向量后,怎樣確定，才能獲得持續(xù)穩(wěn)定的收獲策略。根據(jù)(7.40)式，令解得 (7.42)因此 (7.43) 要使解出的滿足,根據(jù)(7.43)式,只要初始年齡分布向量滿足據(jù)此得到定理7.5 設(shè)是一個初始年齡分布向量,如果的分量滿足 (7.44)則可以唯一確定一組,其中 (7.45)滿足方程其中,是Leslie矩陣,為屠宰矩陣。最優(yōu)年齡分布向量

26、的確定從定理7.5可知,任意給定一組初始年齡分布向量,可以唯一確定一組。(7.不同的初始年齡向量分布所確定的屠宰矩陣是不一樣的。下面考慮怎樣的初始年齡分布向量,可使屠宰數(shù)量最大。也就是說,當動物總數(shù)控制在某一范圍內(nèi)時,使每年的屠宰的數(shù)量為最大。假設(shè)動物群體的規(guī)模為,即當動物總數(shù)不超過時,動物群體的增長幾乎不受環(huán)境因素的制約。設(shè)初始年齡分布向量,則在下一次屠宰前,年齡分布向量為T由于動物的總數(shù)不能超過,即 這里取,各組動物的屠宰量可以由向量唯一確定,即 屠宰總數(shù)為 （7.46） 最優(yōu)年齡分布向量問題歸結(jié)為如下線性規(guī)劃問題 (7.47)此處我們不打算介紹線性規(guī)劃問題的解法,有興趣的讀者可以參閱文獻

27、15。7.7 差分形式阻滯增長模型 我們在前面介紹的都是線性差分方程模型,對這類方程的求解與穩(wěn)定性分析是比較容易的。下面介紹的模型涉及非線性差分方程，對于一般的非線性差分方程，求解與穩(wěn)定性分析都是比較困難的，通常需要借助計算機給出數(shù)值解。本節(jié)我們通過一個例子說明，非線性差分方程具有線性差分方程所沒有的一些有趣的性質(zhì)，比如，周期分支，混沌現(xiàn)象等。在第六章中，我們曾用微分方程形式的Logistic模型來描述種群增長，即 （7.48）但是，我們在處理實際問題時，通常用離散化的時間來研究會覺得更加方便，也能更好地利用觀測資料。例如有些生物每年在固定的時間繁殖，通常人們對動物種群的觀測也是定期進行的。于

28、是需要阻滯增長的離散模型。將方程（7.48）離散化得到 （7.49）記 （7.50） 則（7.49）式可以簡化為 （7.51）上式是一階非線性差分方程。在實際應用中通常沒有必要找出該方程的一般解，因為給定初值后利用計算機就可以方便地遞推出。事實上，在應用差分形式的阻滯增長模型（7.49）或者（7.51）時，人們最關(guān)心的是時或者的收斂情況，即差分方程平衡點的穩(wěn)定性問題。方程(7.48)有兩個平衡點,。是不穩(wěn)定的平衡點，是穩(wěn)定的平衡點，即不論和取什么值都有：當時，方程的解。那么該方程的差分形式的方程（7.51）是否也有同樣的性質(zhì)呢？下面的分析將會看到，情況并不完全一樣。對于差分方程（7.51），因

29、為，所以。為了求（7.51）式的平衡點，令 容易得到其平衡點為，非零平衡點所對應的就是（7.48）式的非零平衡點。為了分析的穩(wěn)定性，我們考慮（7.51）的局部線性化方程 （7.52）關(guān)于的局部穩(wěn)定性有如下結(jié)論：定理7.6 若，是方程（7.52）的穩(wěn)定平衡點，也是方程（7.51）的穩(wěn)定平衡點；若，是方程（7.52）的不穩(wěn)定平衡點，也是方程（7.51）的不穩(wěn)定平衡點。因此在分析方程穩(wěn)定性的過程中具有重要作用。 由，容易得到。根據(jù)定理7.6，我們有：當時，（7.51）式所給出的非零平衡點與（7.48）式所給出的非零平衡點的穩(wěn)定性是相同的，即都是穩(wěn)定的，但是當時，（7.51）式給出的平衡點是不穩(wěn)定的，而（7.48）式 給出的平衡點仍然是穩(wěn)定的