四川成都實驗外國語2023-2024學年高一下學期期中考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．等于（

）A．1 B． C． D．2．已知向量，則與向量同向的單位向量的坐標為（

）A． B． C． D．3．已知，則z的虛部為（

）A．-2 B．2 C．-1 D．14．已知函數，則“是偶函數”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知向量，為單位向量，且與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．函數的單調區間是（

）A． B．C． D．7．如圖，在中，為邊的中點，，則（

）A． B．C． D．8．在中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若，，且，則（

）A． B．4 C． D．5二、多選題（本大題共4小題）9．下列說法中正確的是（

）A．B．若，為單位向量，則C．若,，則D．對于兩個非零向量，，若，則10．已知曲線，，則下列結論正確的是（

）A．把上所有的點向右平移個單位長度，再把所有圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到曲線B．把上所有點向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），得到曲線C．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再把所得圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到曲線D．把上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），再把所得圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到曲線11．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列命題是真命題的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，，，則只有一解C．若，則D．若為銳角三角形，則12．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）

A．若，則M為的重心B．若M為的內心，則C．若，，M為的外心，則D．若M為的垂心，，則三、填空題（本大題共4小題）13．設i為虛數單位，計算．14．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，，，則.15．已知，，，則．16．如圖，在扇形OAB中，半徑，圓心角，F是扇形弧上的動點，矩形CDEF內接于扇形，設，則矩形CDEF的面積的最大值為．四、解答題（本大題共6小題）17．已知．(1)求的值．(2)求的值；18．已知平面向量．(1)若，求；(2)若，求向量與的夾角．19．某海域的東西方向上分別有A，B兩個觀測點（如圖），它們相距海里．現有一艘輪船在D點發出求救信號，經探測得知D點位于A點北偏東，B點北偏西，這時位于B點南偏西且與B相距80海里的C點有一救援船，其航行速度為35海里/小時．

(1)求B點到D點的距離BD；(2)若命令C處的救援船立即前往D點營救，求該救援船到達D點需要的時間．20．函數（，，）的一段圖象如圖所示．(1)求函數的解析式；(2)若不等式在上恒成立，求實數a的取值范圍．21．已知平面向量，，．(1)設函數，求的對稱軸方程；(2)設函數，求的最大值．22．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中，已知S為的面積且滿足．(1)若為銳角三角形，求的取值范圍；(2)法國著名數學家柯西在數學領域有非常高的造詣．很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式．其中柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用．若P是內一點，過P作AB，BC，AC垂線，垂足分別為D，E，F，借助于三維分式型柯西不等式：，當且僅當時等號成立．求的最小值．

參考答案1．【答案】C【詳解】.故選C.2．【答案】B【詳解】向量，，所以與向量同向的單位向量為.故選B.3．【答案】A【詳解】復數z滿足，∴，∴z的虛部為-2.故選A.4．【答案】B【詳解】是偶函數等價于，解得，在這里令，得，所以“是偶函數”是“”的必要而不充分條件.故選B.5．【答案】D【詳解】因為向量，為單位向量，且與的夾角為，所以，所以向量在向量上的投影向量為，故選D.6．【答案】A【詳解】由，解得，所以函數的單調區間是.故選A.7．【答案】D【詳解】為的中點，，．故選D.8．【答案】B【詳解】由正弦定理邊角互化，可知，，且,則，，則，則，①由余弦定理，②由①②得，，即.故選B.9．【答案】AD【詳解】對于A：根據相反向量，知，故A正確；對于B：由，為單位向量，即，而，方向不一定相同.故B錯誤；對于C：規定零向量與任意向量共線，即當時，則，且均成立，而，為任意向量，它們不一定共線，故C錯誤；對于D：由得，，則，整理得，又已知，是兩個非零向量，故.故D正確.故選AD.10．【答案】BD【詳解】先平移變換后伸縮變換：先把上所有點向左平移個單位長度得到，又因為，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），得到曲線，故B正確.先伸縮變換后平移變換：因為，所以先將上各點的橫坐標伸長為原來的3倍，得到，又因為：，則再把所得圖象上所有點向左平移個單位長度，即可得到，故D正確.【方法總結】三角函數圖象變換主要包括平移變換、周期變換、振幅變換．平移變換（左右）：將圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到（）；周期變換：若，則將上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到；若，則將上各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到；振幅變換：若，則將上各點的縱坐標縮小為原來的（橫坐標不變），得到；若，則將上各點的縱坐標伸長為原來的倍（橫坐標不變），得到.11．【答案】ACD【詳解】對于A：由正弦定理可知，，即，因為為三角形內角，則，為等腰三角形，故A正確；對于B：,而，所以有兩解，故B錯誤；對于C：根據正弦定理邊角互化，變形為，即，又，所以，，所以，，則，故C正確；對于D：若為銳角三角形，則，，則，所以，即，故D正確.故選ACD.12．【答案】ABD【詳解】對于A：因為，所以，取的中點，則，所以，故，，三點共線，且，同理，取中點，中點，可得，，三點共線，，，三點共線，所以為的重心，故A正確；

對于B：若為的內心，可設內切圓半徑為，則，，，所以，即，故B正確；對于C：若，，為的外心，則，設的外接圓半徑為，故，，，故，，，所以，故C錯誤；

對于D：若為的垂心，，則，如圖，，，，相交于點，又，，即，，即，，即，設，，，則，，，因為，，所以，即，，則，故D正確；故選ABD.

【關鍵點撥】向量與三角形四心關系應用，關鍵是利用三角形的幾何關系及向量數量積及向量線性表示逐項判斷.13．【答案】【詳解】14．【答案】5【詳解】因為，，，又由余弦定理有：，即且，解得：.15．【答案】【詳解】因為，，所以，，，則，所以，.16．【答案】【詳解】連結，設，則，，，，矩形的面積，，，.因為，則，當，即時，面積取得最大值.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）原式；（2）原式．18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，即，即，即，所以，所以；（2）由題意可得，又因，所以，解得，所以，所以，即，又因為，所以.19．【答案】(1)50海里(2)小時【詳解】（1）由題意知：，，，所以，在中，由正弦定理可得：即，所以(海里)；（2）在中，，，，由余弦定理可得：，所以海里，所以需要的時間為(小時).20．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由圖象知，，，，將圖象上的點代入中，得，結合圖象可知，，則，，又，所以，故．（2）因為，所以，所以當，即時，取最大值3．又不等式在上恒成立，.21．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意知，,由，，得，，即的對稱軸為，；（2）由題意知，,設，則，由，所以，得，又函數是一條開口向下、對稱軸為的拋物線，且在上單調遞增，在上單調遞減，所以．【方法總結】對于同時含有形如和的函數，可設，則，對函數進行化簡，進而求解.22．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，即，．，，，，，，為銳角三角形，，，，，設，則，時，.（2）．又，，，，．由三維分式型柯西不等式有．當且僅當即時等號成立．由余弦定理得，即