1、實用標準文檔二次函數知識點歸納及相關典型題第一部分基礎知識1 .定義：一般地，如果 y =ax2+bx+c(a,b,c是常數，a#0),那么y叫做x的二次函數.22 . 一次函數y = ax的性質(1)拋物線y = ax2的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸.(2)函數y =ax2的圖像與a的符號關系.當a a 0時已 拋物線開口向上 u 頂點為其最低點；當a<0時u拋物線開口向下 u 頂點為其最高點.(3)頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為 y = ax2 (a # 0).3 .二次函數 y =ax2 +bx +c的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.4 .二次函數y

2、 =ax2 +bx+c用配方法可化成：y = a(x h f + k的形式，其中h =±- k = 4ac-b2a4a5 .二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：y = ax2 ；y = ax2+k ;y = a(x -h f ；y = a(x- h )2 + k ； y = ax2 bx c .6 .拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點 a的符號決定拋物線的開口方向：當 a>0時，開口向上；當 a<0時，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同 .平行于y軸(或重合)的直線記作 x = h.特別地，y軸記作直線x = 0.7 .頂點決定拋物線的位置.幾個不同的

3、二次函數，如果二次項系數a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8 .求拋物線的頂點、對稱軸的方法八.、42 ± 丁 , b '2 14ac b2 一口/ b 4ac b2、- 口+小b(1)公式法： y=ax +bx + c=a x + +,，頂點是(，)，對稱軸是直線 x =.< 2a J 4a2a 4a2a(2)配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y = a(x -h f + k的形式，得到頂點為(h , k),對稱軸是直線(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱

4、軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失9.拋物線y =ax2 +bx +c中，a,b, c的作用(1) a決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的a完全一樣.(2) b和a共同決定拋物線對稱軸的位置 .由于拋物線y = ax2 + bx + c的對稱軸是直線bbbx =，故：b=0時，對稱軸為y軸；bA0(即a、b同號)時，對稱軸在y軸左側；±<0(即a、 2aaab異號)時，對稱軸在 y軸右側.(3) c的大小決定拋物線 y = ax2 +bx+c與y軸交點的位置.當x=0時，y=c,，拋物線 y = ax2+bx+

5、c與y軸有且只有一個交點(0, c)：c = 0 ,拋物線經過原點；c > 0,與y軸交于正半軸； c < 0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在 y軸右側，則 -< 0.a10.幾種特殊的二次函數的圖像特征如下:函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標2y = ax當a > 0時開口向上當a < 0時開口向卜x = 0 ( y 軸)(0,0)y = ax2 + kx = 0 ( y 軸)(0, k)y = a(x -h :!x = h(h,0)y = a(x h ：k +kx = h(h, k)21y = ax +bx +cbx

6、 2a,2/ b 4ac - b(C，)2a 4a11 .用待定系數法求二次函數的解析式(1) 一般式：y =ax2 +bx+c.已知圖像上三點或三對 x、y的值，通常選擇一般式.(2)頂點式：y =a(x -h 2 +k.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.(3)交點式：已知圖像與 x軸的交點坐標x1、x2,通常選用交點式：y =a(xx1'(x x2 ).12 .直線與拋物線的交點(1) y軸與拋物線y =ax2+bx+c得交點為(0, c).(2)與y軸平行的直線x = h與拋物線y = ax2+bx+c有且只有一個交點(h , ah 2 +bh+c).(3)拋物線與x軸的交

7、點二次函數y = ax2 +bx + c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標 x1、x2,是對應一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的兩個實數根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點 u AaOu拋物線與x軸相交；有一個交點(頂點在 x軸上)u A = 0u 拋物線與x軸相切；沒有交點 y A <0u 拋物線與x軸相離.(4)平彳T于x軸的直線與拋物線的交點同(3) 一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為 k ,則橫 坐標是ax2 + bx + c = k的兩個實數根.(5) 一次函數y =kx+n

8、(k/0)的圖像l與二次函數y = ax2+bx + ca = 0)的圖像G的交點，由方程組y = kx n2那解的數目來確定：方程組有兩組不同的解時u l與G有兩個交點；方程組只有一組解時y 二 ax bx cw l與G只有一個交點；方程組無解時u l與G沒有交點.(6)拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y = ax2+bx+c與x軸兩交點為 A(x1,01 B(x2,0),由于x1、x2是方程ax2 + bx+c =0的兩個根，故bcx1 x2 = 一 一，x1 x2 =一 aa.2 T 2( b 2 4c Mb2-4ac 孤AB = xi -x2 = vUi x2=V(xi -x2

9、) 4x1x2 = J - =n =TT 卜 a) a|a|a|第二部分典型習題1 .拋物線y=x2+2x2的頂點坐標是(D )A. (2, 2)B. (1, 2) C. (1, 3)D. (1, 3)2 .已知二次函數y =ax2 +bx+c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是( C )A. ab>0, c>0 B. ab>0, cv 0 C. ab<0, c>0D. ab<0, c<0第4題圖3 .二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是( D )A a>0, bv 0, c>0B. a<0, b< 0,

10、 c>0C. a<0, b> 0, c<0D, a<0, b>0, c>04 .如圖，已知中，BC=& BC上的高，D為BC上一點，交AB于點E,交AC于點F (EF不過AB),設E到BC的距離為 ，則 的面積 關于 的函數的圖象大致為(D )-EF = 4-x = EF =8 _2x,. y =-x2 4x 8425 .拋物線y=x 2x3與x軸分別交于 A B兩點，則AB的長為4.6 .已知二次函數y= kx2+(2k1)x 1與x軸交點的橫坐標為x1、x2 ( x1< x2)，則對于下列結論：當x=2時，y=1;當x>x2時，

11、y>0;方程kx2+(2k1)x1=0有兩個不相等的實數根 x1、x2;x1<1, x2> 1;1 4k2x2-x1=4k ,其中所有正確的結論是 (只需填寫序號)k7.已知直線y=2x+b(b00戶f x軸交于點A,與y軸交于點B; 一拋物線的解析式為 y=x2(b+10x+c.(1)若該拋物線過點 B,且它白頂點P在直線y = -2x + b上，試確定這條拋物線的解析式；(2)過點B作直線BC±AB交x軸交于點C,若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線 y = -2x + b的解析式.解：(1) y =x2 -10或 y =x2 -4x -6.2,_ ,2,_將

12、(0, b)代入，得 c=b.頂點坐標為(H0,b16b 100),由題意得2Mb_0 + b = b16b 100 ,2424解得匕=-10,b2 = -6.文案大全(2) y = _2x _28.有一個運算裝置，當輸入值為x時，其輸出值為y,且y是x的二次函數，已知輸入值為_2。1時，相應的輸出值分別為 5, -3, _4.(1)求此二次函數的解析式;(2)在所給的坐標系中畫出這個二次函數的圖象，并根據圖象寫出當輸出值y為正數時輸入值x的取值范圍.解：(1)設所求二次函數的解析式為y=ax2 +bx+c,a(2)2 +b( +c=5% 7a =1則a 02+b 0十c =4,即J2a -b

13、=4 ,解得b = -2a b c - -4a b = -1故所求的解析式為：y = x2 -2x -3.(2)函數圖象如圖所示.由圖象可得，當輸出值 y為正數時,輸入值x的取值范圍是x < -1或x >3 .9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發現：駱駝的體溫會隨外部環境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同.他們將一頭駱駝前兩晝圖.請根據圖象回答:第一天中，在什么時間范圍內這頭駱駝從最低上升到最高需要多少時間第三天12時這頭駱駝的體溫是多少興趣小組又在研究中發現，圖中10時到夜的體溫變化情況繪制成下的體溫是上升的？它的體溫22時的曲線是拋物線，求該拋物線的解析

14、式.解:第一天中，從 4時到16時這頭駱駝的體溫是上升的它的體溫從最低上升到最高需要12小時10.第三天12時這頭駱駝的體溫是1 O y 二 一一 x2 2x 24 10 < x 1639 C,224已知拋物線y =ax +(+3a)x+4與x軸交于3兩點，與y軸交于點C.是否存在實數a,使得A、 ABC為直角三角形.若存在，請求出 a的值；若不 存在，請說明理由.解：依題意，得點 C的坐標為（0, 4）.設點A B的坐標分別為（x1 , 0）, （ x2, 0）,2 44由 ax +（一+3a）x+4 =0 ,解得 x1=4, X2 = -一 .33a4點A、B的坐標分別為（-3, 0

15、）, （ ，0）.3aAB M -+3|, AC =，AO2 +OC2 =5, 3aBC =JBO2 +OC2 =V |2 +42 .AB2 =|43a+3|2 =鳥一2M3M £ +9 =£ 8 +9 ,9a3a 9a aAC2 =25, BC2 =6+16. 9a2i當 AB2 =AC2 +BC2時，/ ACB= 90°由 AB2 = AC2 +BC2,/曰 16816得-2- +9 =25 +（2+16）.9aa9a-1斛得 a = 一一.41 16-=a=一一時，點B的坐標為（一，。）,432 65_ 2AB2 = , AC2 =25, 9BC2 _4C0

16、BC 一于是 AB2 =AC2 +BC2.-1 . 當a = 時， ABC為直角三角形. 4ii當 AC2 =AB2 +BC2時，/ ABC= 90° ._222r16816由 AC2 =AB2 +BC2 ,得 25 =（-2 十9）十（-2 +16） .9a a 9a一 4斛得 a =. 9 ,.444當a =時， =一3,點B （-3, 0）與點A重合，不合題意.93a 。43 .9iii當 BC2 = AC2 +AB2時，/ BAC= 90°7222 /口 1616 8由 BC =AC +AB ，得-2+16 = 25+(2 +9) .9a9a a4解得 a=.不合題

17、意.9，、一. 1綜口1、11、111，當 a=時， abc為直角二角形.411.已知拋物線 y=x2+ma m+ 2.(1)若拋物線與x軸的兩個交點 A B分別在原點的兩側，并且 AB= J5,試求m的值；(2)設C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關于原點對稱的兩點M N,并且 MNC勺面積等于27,試求m的彳1 .x mx+ m- 2=0 的兩根.解：(1) A(X1, 0) ,B(x 2, 0). 則 X1 , X2是方程X1 + x2 = m , x i x2 =m 2 < 0 即 m< 2 ;又 AB= I x1 x2 I = J(Xi+用)2 -4XiX2 =75

18、, m2 4m+ 3=0 .解得：m=1或m=3(舍去)，m的值為1 .(2) M(a, b),則 N(-a, b).M N是拋物線上的兩點，.1-a2+ma-m+2 =b,|產2 -ma-m+2 =-b.HI+得：-2a2-2m+ 4=0 . ，a2=m+ 2 .當m< 2時，才存在滿足條件中的兩點M N.a =2 -m .這時M N到y軸的距離均為72 - m ,又點C坐標為(0, 2成，而Sam n c = 27 ,2 X X ( 2 m) X，2 m =27 2，解得m=- 7 .A( T, 0) .12.已知：拋物線y= ax2 + 4ax+1與x軸的一個交點為(1)求拋物線與

19、x軸的另一個交點 B的坐標；且以AB為D底的梯形ABCD勺面積為9,求(2) D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，此拋物線的解析式；E在(2)中的拋物線上，且它的點，如果點(3) E是第二象限內到x軸、y軸的距離的比為 5 : 2與點A在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點巳 使 APE的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.解法一：(1)依題意，拋物線的對稱軸為x= 2.拋物線與x軸的一個交點為 A ( 1 , 0),由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個交點 B的坐標為(一3, 0).(2) 拋物線y= ax2+4ax+t與x軸的一個交點為

20、A(1, 0),a( 1)2+4a(1)+ t = 0.t =3a.y=ax2+ 4ax + 3a .D (0, 3a). . 梯形 ABCM, AB/ CD,且點 C在拋物線 y=ax2 + 4ax+3a 上,C ( 4, 3a). AB =2, CD= 4.，一 ，一，1，梯形 ABCD勺面積為 9, (AB+CD) OD = 9.211(2+4)3a=9 .所求拋物線的解析式為 y=x2 + 4x+3或y= -x2 -4ax-3.(3)設點E坐標為(x°, y°).依題意，x0<0, y0<0,且忙=5 .x02設點E在拋物線y = x2+ 4x + 3上

21、, . y0= x2+4x0+ 3 .5 -解方程組y°2x0,2)0= x0 + 4x0+ 3 x x0=,x0= -6, J2»0=15; | , 5y0 = 15點E與點A在對稱軸x= 2的同側， 點E坐標為(一，-).24設在拋物線的對稱軸x=- 2上存在一點 P,使 APE的周長最小.AE長為定值，要使 APE的周長最小，只須 PA+ PE最小.點A關于對稱軸x=2的對稱點是B(3, 0),由幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x=-2的交點.設過點E、B的直線的解析式為 y= mx+n,3m+ n=0.解得123.213. 1直線BE的解析式為y=_x+ . 把x

22、=-2代入上式，得 y= 2221 點P坐標為(一2,).2設點 E 在拋物線 y= -x2 4x3 上，y0= - x2 4x0 3.y一 5x.0 3解方程組<2消去y0,得x0 +-x0+ 3= 0 .1y0= - x0 -4x0 3.< 0 .此方程無實數根.1綜上，在拋物線的對稱軸上存在點P ( 2,),使 APE的周長最小.2解法二：(1) 拋物線y=ax2+ 4ax+t與x軸的一個交點為 A(1, 0),a(1)2 + 4a( 1)+t = 0.，t =3a.， y= ax2+ 4ax+3a .令 y =0,即 ax2+ 4ax+3a = 0 ,解得x1= 1 , x

23、2= - 3 .拋物線與x軸的另一個交點 B的坐標為(一3, 0).(2)由 y= ax2+ 4ax +3a，得 D (0, 3a). 梯形ABCM, AB/ CD且點C在拋物線y= ax2+4ax +3a 上，C ( 4, 3a).AB =2, CD= 4.1梯形 ABCD勺面積為 9,AB+CD) OD=9 .解得 OD= 3.23a =3. a ±1.所求拋物線的解析式為y=x2 + 4x+3或y=x2 4x3.(3)同解法一得，P是直線BE與對稱軸x=2的交點.如圖，過點E作EQ! x軸于點Q.設對稱軸與x軸的交點為F.由PF/ EQ可得BF PF1 PF點P坐標為以下同解法

24、一.BQ EQ-2)13.已知二次函數的圖象如圖所示.求二次函數的解析式及拋物線頂點(2)M的坐標.若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q當點N在線段BM上運動日(點 N不與點B,點M重合)，(3)存在，請說明理由;(4)將OA8卜成矩形，使 OAC勺兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標(不需要計算過解：(1)設拋物線的解析式 y =a(x+1)(x 2),m -2LQ點，第三個頂點落在矩-2=aM1M(2) . a=1. y=x2一 x 一2設NQ的長為l ,四邊形NQAC勺面積為S,求S與t之間的函數關系式及自變量 t的取值范圍;在

25、對稱軸右側的拋物線上是否存在點P,使APAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不其頂點M的坐標是1-,- l：24(2)設線段BM所在的直線的解析式為點N的坐標為(t, h),0 = 2k+b,9 1 一一=-k +b. 工42.一 3.斛得k =2線段BM所在的直線的解析式為y =3x-323. . 1h =-t -3,其中一<t <2.2231 2 (2 t -3)t =-t2341 t+1 .2s與t間的函數關系式是 S =-t241,. 、一 . 一 11+1,自變量t的取值范圍是一 <t<2.(3)存在符合條件的點巳且坐標是P1'5

26、 7口35、'I, P2 ,12 4 .J124 J設點P的坐標為P(m, n),則n = m2 -m -2222_ 222_ 2PA =(m+1) +n , PC =m +(n+2) , AC =5.分以下幾種情況討論:i）若/ PAO 90。，則 PC2 =PA2 +AC2 .In =m2 -m -2, 22, 八 22m （n 2） = （m 1） n 5.-55 71斛仔：mi = , m2 = 1 （舍去）. 點 P ,一 2心外ii ）若/ PCA= 90° ,則 PA2 =PC2 +AC2. 2cn =m -m -2,' '' J ,、2

27、22, 一 2_Jm +1） +n =m +（n+2） +5.解得：m3 =3, m4 =0 （舍去）.，點 P2 I"3, 5 1. 224iii ）由圖象觀察得，當點 P在對稱軸右側時，PAaAC,所以邊AC的對角/ APC不可能是直角.（4）以點。，點A （或點。，點C）為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊OA （或邊OC的對邊上，如圖a,此時未知頂點坐標是點 D （ 1, -2）,1 2以點A,點C為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊AC的對邊上，如圖b,此時未知頂點坐標是 E -1,- I,'、5 5；圖a圖b14 .已知二次函數y=ax2 2的圖象經過點

28、（1, 1）.求這個二次函數的解析式，并判斷該函數圖象與x軸的交點的個數.解：根據題意，得 a-2=- 1.這個二次函數解析式是y=x2-2 .實用標準文檔因為這個二次函數圖象的開口向上，頂點坐標是(0, 2),所以該函數圖象與 x軸有兩個交點.15 .盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分.在大橋截面1 ： 11000的比例圖上，跨度 AB= 5 cm,拱高OC= 0.9 cm,線段DE表示大橋拱內橋長， DE/ AB,如圖(1).在比例圖上，以直線 AB為x軸，拋物線的對稱軸為 y軸，以1 cm作為數軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖(2).(1)求出圖(2)上以這一部分拋物線為圖象的

29、函數解析式，寫出函數定義域;(2)如果DE與AB的距離。陣0. 45 cm,求盧浦大橋拱內實際橋長(備用數據：J2之1.4 ,計算結果精確到 1米).解：(1)由于頂點C在y軸上，所以設以這部分拋物線為圖象的函數解析式為2 . 9 y = ax + .10一 ,，555 29118因為點A (0)(或B ( ? , 0)在拋物線上，所以0= a ,( )2+ ，得a=.2221012518 2 955因此所求函數解析式為 y=- -18-x2+ (-5 <x <-).12510 22(2)因為點 D E的縱坐標為 9 ,所以 =-8-x2+ ,得 x=±5V2 ,2020

30、125104所以點D的坐標為(-3 J2 ,2)，點E的坐標為(勺中'2 ,).420420所以 DE= 543(5亞)=返.442jl一 .5 . 2_ _因此盧浦大橋拱內實際橋長為52x11000 m 0.01 = 275£2 *385 (米).216.已知在平面直角坐標系內，O為坐標原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側，如圖.二次函數y=ax2+ bx+ c (a0)的圖象經過點 A B,與y軸相交于點 C.(1) a、c的符號之間有何關系？(2)如果線段OC的長度是線段 OA OB長度的比例中項，試證"a、c互為倒數；(3)在(2)的條件下，如果 b=-4, AB = 4j3,求a、c的值.解:(1) a、c 同號. 或當 a>0 時，c>0;當 a<0 時，c<0.文案大全(2)證明：設點A的坐標為(xi, 0),點B的坐標為(X2, 0),則0V Xi< X2 .OA =x1, OB =x2, OC = c .據題意，x1、x2是方程ax2+ bx+c = 0(a