1、第二章平行線與相交線的競賽題一、求角的度數1、已知ABCD，分別探討下列四個圖形（圖、圖、圖、圖）中APC和PAB、PCD的關系，請用等式表示出它們的關系。并證明它們。ABBA P圖FEPP DCEF DC圖 FEBA 圖圖CDBA FPEDC 解: 過P點作EFAB, 過P點作EFAB, EFAB EFABPAB+APF=180° PAB=APE 又ABCD, EFAB 又ABCD, EFAB CDEF CDEF PCD+CPF=180° PCD=EPC PAB+APF+PCD+CPF=180°+180° PAB+PCD=APE+EPC 即: PAB+

2、APC+PCD=360° 即: PAB+PCD=APC 過P點作EFAB, CDEF EFAB PCD=EPCPAB=APE PCD-PAB=EPC-APE 又ABCD, EFAB 即: PCD-PAB=APC 過P點作EFAB, CDEF EFAB PCD=EPC PAB=APE PAB-PCD=APE-EPC又ABCD, EFAB 即: PAB-PCD=APC 2、如圖，ABCD，求1-2+3+4的度數? EBA1解:過E點作GHAB, 過F點作MNCD,MF3NHG2 GHAB, ABCDCD4 GHCD MNCD, GHCDGHMN 1=BEH, HEF=EFM, MFD+4

3、=180° 1-2+3+4=1-BEH+HEF+(EFM+MFD)+4 =BEH-BEH+HEF+HEF+MFD+D =MFD+D=180°C3、如圖所示AEBD，1=32，2=25°，求C?解: 1=32，2=25°DE12F 1=75°B AEBDGA 1+DFA=180° DFA=180°-75°=105° DFA與BCF是對頂角, BCF=DFA=105° 過F點作GFCB, 2=BFG=25° ,BFG+BFG+C=180° 即: 25°+105°

4、;+C=180°,解得: C=50°4、如圖所示CD是ACB的平分線，ACB=40°，B=70°，DEBC求EDC和BDC的度數?解: CD是ACB的平分線，ACB=40°ADCB=12ACB=20°DE又DEBCCBEDC=DCB=20°DEBCCDE+BDC+B=180° 又B=70°BDC=180°-CDE-BDC=180°-70°-20°=90°5、如圖所示已知ABCD，B=100°，EF平分BEC，EGEF求BEG和DEG?解: ABC

5、D100°BAGB+BEC=180°FCDE 又B=100°100°+BEC=180° BEC=80°EF平分BEC BEF=12BEF=40° 又EGEF GEF=90°BEG=90°-BEF=90°-40°=50°ABCD BED=B=100° DEG=100°-BEG=100°-50°=50°6、如圖，直線DEFG，直線 AB交DE與FD于 A，B，CA平分1，CB平分 2，求C的度數?EDA解: 過C點作MNDE 又D

6、EFGMMNNC1FGFG2又CA平分1，CB平分 2BEAC=ACM=121 BCM=GBC=122 又DEFG 1+2=180°ACB =EAC+BCM=121+122=121+2=12×180°=90°7、如圖，已知：CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA,1+2=90°，試說明：DAAB DA解: CE平分BCD，DE平分CDA1ADC=21 , DCB=222E又1+2=90°CBADC+DCB=21+22=21+2=180°CBAB B=90°又ADBCA+B=180°即：90°+

7、A=180° A=90°DAAB8、如圖是一個3×3的正方形，求圖中123.9的和？解:由于沿AB作對折時，圖形能夠重合，恰有1+9=2+6=4+8=90 °1+2+.+9 =（1+9+2+6）+（4+8）（3+5+ 7） =3×90°+3×45°=405°.毛二、角的關系1、如圖所示1=2，D=90°，EFCD請說明3和B的關系。DA解: 1=2FADBC31EBC2EFCD EFC=90°，又D=90°ADEFEFBC3=B2、如圖所示已知CD平分ACB，且DEAC，EF

8、CD請說明EF平分DEBA解: DEAC，EFCDF ACD=DCDE=DEFB DCE=FEBCE又CD平分ACBACD=DCEDEF=FEB EF平分DEB3、如圖，ABBD，CDBD，E為AB上的一點，F為CD上的一點，EF、BD交于點O。寫出圖中所有互補的角?解: ABBD，CDBDOAEBABD=CDB=90° ABDC B+D=90°+90°=180°DFC AEF+EFD=180°；BEF+EFC=180°又EF、BD交于點OBOE+EOD=180° ； BOE+BOF=180° DOF+EOD=18

9、0° ； DOF+BOF=180°除此之外，BEO+AEO=180° ； DFO+CFO=180°綜上所述，圖中所有互補的角有：B與D，AEF與EFD，BEF與EFC，BOE與EOD，BOE與BOF ，DOF與EOD，DOF與BOF，BEO與AEO，DFO與CFO共九對。4、試說明在同一平面內，過點P的四條相交線AB、CD、EF、GH把平面所分成八個角中，至少有一個角小于46°.解:設過點P的四條相交線AB、CD、EF、GH 把平面所分成八個角中，沒有小于或等于46°的角.如圖所示,則有: CEGAPE+EPG+GPC+CPB+BPF

10、BAP+FPH+HPD+DPA8×46°F即:APE+EPG+GPC+CPB+BPFDH+FPH+HPD+DPA368° 所以,這與平角等于360°矛盾,因此至少有一個角小于46°.l1l15、兩直線相交，有多少對不同對頂角？三條直線相交于同一點呢？如果是n條直線相交于同一點呢？你能說清楚嗎？不妨試試看。l2l3l2解: 如上圖,二條直線相交共有2組對頂角;如上圖,三條直線相交共有6對對頂角;n條直線相交于一點，共有2n條射線,能組成2n2n-12個小于或等于平角的角,其中n條直線共有n個平角.因此，小于平角的角的個數應為2n(2n-1)-2n

11、2個,即所有對頂角的個數為: 2n2n-1-n2÷2=2nn-1÷2= n(n-1)組.AC6、如圖，直線CD和AOB兩邊相交于點M、N，已知12180°N1（1）試找出圖中所有與1、2相等的角；（2）寫出圖中所有互補的角。MO2B解: (1）與1相等的角有3個，即AND，BMC，DOMD；與2相等的角也有3個，即BMD，OND，MNC.（2）圖中共有16對角互補：與互補的鐵有：1與2，BMD，OND，CNA分別互補；AND與2，BMD，OND，ANC分別互補；BMC與2，BMD，OND，ANC分別互補；OMD與2，BMD，OND，ANC分別互補.7、關于多邊形的

12、內角和A說明三角形的內和等于180° 3E解:如圖,過三角形的頂點C作CEAB,延長BC至DDB421 CEABC 1=4 , 2=34+3+ACB=2+1+ACB =180° 三角形的內和等于180° 說明四邊形內角和等于360°解:連結AC,AD 在三角形ACD中,有:CB D+DAC+ACD=180°在三角形ABC中,有: B+BAC+ACB=180°D+DAC+ACD+B+BAC+ACB=360°即: 四邊形內角和等于360°三、關于平行線ABC1、如圖所示直線l的同側有三點A，B，C，且ABl，BCl試說明 A，B，C三點在同一條直線上.12解: 設A，B，C三點在同一條直線上,lDABl，BCl過 l外一點B有AB和 BC二條直線同時垂直于l這與“過直線外一點有且只有一條直線與己知直線垂直”矛盾 A，B，C三點在同一條直線上.B2、如圖所示ABCD，BAE=30°，DCE=60°，EF，EG三等分AEC問：EF與EG中有沒有與AB平行的直線，為什么？ANF解:有.EFABDGME過點E作直線MNABC 又ABCDMN