1、平面向量高考試題精選（一）一.選擇題（共14小題）1. （2015?可北）設D為4ABC所在平面內一點， BC=3CD,則（）A AD二-mAB+AC B AD=AB-mACC菽奇靛亨5 D.好聲一頡2. （2015?昌建）已知 菽工菽,|薪if, |元|-t,若P點是4ABC所在平面內一點,且而hp4里，則瓦五的最大值等于（）Iab| |ac|A. 13 B. 15 C. 19 D. 213. （2015?四川）設四邊形ABCD為平行四邊形，|屈|=6,而|=4,若點M、N滿足加二3元,DN:2NC,則端皿=（）A. 20 B. 15 C. 9 D. 64. （2015?安徽）ABC是邊長為

2、2的等邊三角形，已知向量！，E滿足靛=21, AC=2 a+b, 則下列結論正確的是（）A. |b|=1 B.a，b C. a?b=1D. （4a+b） 1 '5. （2015?陜西）對任意向量 2、b,下列關系式中不恒成立的是（）A. |a*b|b| B. |1- bl|a|-|b|C. （ a+b） 2=| a+b|2 D. （ a+b） ?（； -盲=a2- b2TT Va / QT -*T6. （2015?重慶）若非零向量a, b滿足|司=|b|,且（已b） ± （3日+2b）,貝U已與b的3夾角為（A.B.4JT3兀C. - D.7147. （2015?重慶）已知非

3、零向量 , b滿足lbl=4| /，且a，（2a+b）則之與b的夾角為（）a.三 b. 2L c. 22L d. JiH32368. （2014?湖南）在平面直角坐標系中，。為原點，A （ - 1, 0）, B （0,無），C （3, 0）,動點D滿足|比|=1,則|亞+羽+而|的取值范圍是（）A. 4, 6 B.V19-1,限+1C. 22®D.聽-1,+19. （2014?桃城區校級模擬）設向量%, 3滿足I： |二花|=1,彳了二一工，<；一；，£ 一3>=60°,則a的最大值等于（）A. 2 B. VS C V2 D. 110. （2014?天

4、津）已知菱形 ABCD的邊長為2, /BAD=120°,點E、F分別在邊BC、DC .* Q上，EE=入BC, DF=（1DC,若 AE?AF=1, lE?lF=-，貝U 入 + p=（）3A. 1B. 2C.也D. -L23612 11 （2014?安徽）設E為非零向量，畝=2|嬴 兩組向量 三，三，,和五，豆，豆,耳，均由2個0和2個b排列而成，若云?五+可?豆+司?可+K?%所有可能取值中的最小值為,24，則與b的夾角為（）D. 012. (2014?四川)平面向量 =11, 2), b= (4, 2), c=m a+ b (mCR),且。與己的夾角等于C與b的夾角，則m=()

5、A. - 2 B. - 1 C. 1D. 213. (2014?新課標I)設D, E, F分別為ABC的三邊BC, CA, AB的中點，則EB+FC =( ) b -*1 *A. AD B. -AD C. BC D. -BC2214. （2014?福建）設M為平行四邊形 ABCD對角線的交點，O為平行四邊形 ABCD所在平面內任意一點，則 贏+而+沃+而等于（）A.宙B. 2而C. 3贏D. 4而二.選擇題（共8小題）15. （2013?浙江）設 刀、荒為單位向量，非零向量 b=x7y+y，x、yCR.若二 成的夾角為30。，則上1的最大值等于Ib|16. （2013?北京）已知點 A（1,-

6、1）,B（3,0）,C （2, 1）.若平面區域D由所有滿足AP= X AB+ k AC （K丑哆0加米的點P組成，則D的面積為.17. （2012?湖南）如圖，在平行四邊形ABCD中，AP ± BD ,垂足為P,且AP=3 ,則黏標=.18. （2012?北京）己知正方形 ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點.則DECB的值 為.19. （2011?天津）已知直角梯形 ABCD 中，AD/BC, Z ADC=90 °, AD=2 , BC=1 , P 是腰 DC上的動點，則|PA+3PB |的最小值為 .20. （2010?浙江）已知平面向量五，下（五金萬, a ）滿

7、足IB |=1,且口與 下-五的夾角為120°,則|五|的取值范圍是 .21. （2010?天津）如圖，在 4ABC 中，ADXAB ,前5, I AD |-1,則AC-AD=.22. (2009以津)若等邊4ABC的邊長為20，平面內一點 M滿足a=21通+2&,則63部近=.三.選擇題(共2小題)23. (2012?上海)定義向量 0M= (a, b)的相伴函數”為f (x) =asinx+bcosx ,函數f (x)=asinx+bcosx的相伴向量”為0M= (a, b)(其中O為坐標原點).記平面內所有向量的 相 伴函數”構成的集合為S.(1)設 g (x) =3s

8、in (x+ ) +4sinx ,求證：g (x) CS； 2(2)已知h (x) =cos (x+ a) +2cosx，且h (x) S,求其 相伴向量”的模；(3)已知M (a, b) (b用)為圓C: (x-2) 2+y2=l上一點，向量0M的 相伴函數”f (x)在x=x0處取得最大值.當點 M在圓C上運動時，求tan2x 0的取值范圍.24. (2007?四川)設Fi、F2分別是橢圓 f+#2=1的左、右焦點.4(I )若P是第一象限內該橢圓上的一點，且 pf : Ppp"*=-,求點P的作標； 1 1 1 1 1 24(n )設過定點 M (0, 2)的直線l與橢圓交于不

9、同的兩點 A、B,且/AOB為銳角(其中O為坐標原點)，求直線l的斜率k的取值范圍.平面向量高考試題精選（一）參考答案與試題解析.選擇題（共14小題）1. （2015?可北）設D為4ABC所在平面內一點， BC=3CD,則（）A.C.解:AD=-1aB4-|aC adab+|ac 由已知得到如圖B.D.-k 1-*4 +AD 法AB AC o ok 4-*1-*ADAB -尚AC =1J故選：A.;其則pbpc的最大值等于（由由二菽+麗二菽（正一盛）=-ab-4ac>且"，4 AC P (1, 4),，I AC |二十，若P點是ABC所在平面內一點,A. 13 B. 15 C.

10、 19 D. 21解：由題意建立如圖所示的坐標系，可得 A (0, 0) , B (-, 0) , C (0, t), t1=PB= (- - 1, 4) , PC= ( T, t 4), t* *11 PB PC= ( - 1) 4 (t 4) =17 (4+4t ),由基本不等式可得 +4t注工4t=4 1 .17(+4t)47- 4=13,當且僅當l=4t即t=。時取等號, t 2，比定的最大值為13,3. （2015?四川）設四邊形ABCD為平行四邊形，|屈|二6, |菽|=4,若點M、N滿足麗二3元,DN=2NC,則氤氤=A. 20 B. 15 C. 9D. 6解：:四邊形ABCD為

11、平行四邊形，點 M、N滿足BM=3MC, DN=2NC,根據圖形可得： 正靛+且前=贏且5, 4 飛.“1=川.：=,，33端NH= AM? ( AM 一 氤=M2-蝴,四,標2=靛2+1旋，標*標2,菽-an=-?ab2-adJab342| ”,|=6 , | 二 1|=4, 、2 ， ：,2斕皿=上業2 - AD2=12-3=9316故選：C4. （2015?安徽）4ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量！，E滿足屈=2" AC=2 a+b, 則下列結論正確的是（）A. |N=1 B. a± b c. a?b=lD. （4a+b） ±BC解：因為已知三角形 A

12、BC的等邊三角形，a, E滿足薪=2言 AC=2 a+b,又正二思+前， 所以三二戢，b=BC,所以 | b |=2 , ap b=l >2 >cos120 = - 1,4ab=4 M>2 >cos120°= 4, =4 ,所以私耳十丁=。，即（4a+b），b=0,即（4；隹）&=0，所以（盤+京，京；故選D.5. （2015?陜西）對任意向量 ：、b,下列關系式中不恒成立的是（）A. |a*b|b| B. la-bl|a|-|b|C. （ a+b） 2=| a+b|2 D. （ a + b） ? （g -盲=1- b2解：選項 A 正確，-.1 |a

13、 pb|=| a|b|cos< a, b>|, T TT T又|cosv2，b>|q，|a+b|g訓b|恒成立;選項B錯誤，由三角形的三邊關系和向量的幾何意義可得|；-力輔|-|口|；選項C正確，由向量數量積的運算可得（ a+b） 2=|a+b|2;選項D正確，由向量數量積的運算可得（ a+b） ?（g-E）=a2- b2.故選：B6. （2015?重慶）若非零向量 a, b滿足|可=上上也|,且（白-b） ± （3a+2b）,則將與b的 夾角為（）ITTCp3 兀cABC. D424解：（ a- b），（3日+2b）,(已一b) ?(3 已+2b) =0,即 3

14、a2-2 b2-a?b=0, 2即 1? ：，=3 -2'22 b =b ,3cos日，b> =,lallbl2 23 口故選：A7. （2015?重慶）已知非零向量 0 , b滿足|tJ=4|a|，且勾，（20+r）則之與6的夾角為（）A.二B.三C空D.鄴解：由已知非零向量 過，匕滿足|6|=4|a|,且皂，（2a+b），設兩個非零向量 a, b的夾角為仇所以 a ?( 2 a + b)=0，即 2 a* +| 芯 |cos 0 =0 ,所以 cos 0= - - , 0C0 ,兀,所以 故選C.8. （2014?湖南）在平面直角坐標系中，O為原點，A （ - 1, 0）,

15、B （0,加），C(3, 0),動點D滿足|五|=1,則|出+說+而|的取值范圍是（A. 4,6 B. V19- 1, V19+1 C. 2 如，2 回 D. 7r- 1, Vr+1解：二動點D滿足|五|=1, C （3, 0）,，可設D (3+cos 0, sin 0) ( 00, 2%).又 A (- 1, 0), B (0, J5),OA+OB+0D=(2+cos6 , Vs+sin 9 ).D|= ：,I ； i ：；.）=“g+Z/Y式n ( S + Q j ,(其中 sin,cos 1Win ( 0+ »<1,一 1 ) 2= S 一 況7<&+2申s

16、n (0 4) 3+2行=(-1yY+1 ) 2，I演+ 65+而|的取值范圍是 卬7-1，Vr+i.故選：D.9. （2014?桃城區校級模擬）設向量 £E，3滿足心仁尼| 二 1,。二-工<W-N, E-W>=60°，則說的最大值等于（）A. 2B. V3 C V2 D. 1解： I a 1= |b |=1, 二一1E的夾角為120°,設OA=a, OB=b，UC二c則 CA二己-仁；0B=b c如圖所示貝U/AOB=120 ° Z ACB=60 ./ AOB+ Z ACB=180° .A, O, B, C四點共圓 . 2 -*

17、 2 * - 2AB =b _ 2a,1 b + a =3AB/3由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=(2014?天津)已知菱形當OC為直徑時，模最大，最大為 故選A10.ABCD的邊長為2, /BAD=120°,點E、F分別在邊BC、DC上,BE= xBC, DF=(iDC,* *» #Q若 AE?AF=1, CE?CF=,貝U 入+ 自()3A.B -： B .一23D.12解:由題意可得若(AB+BE) ?(AD+DF) = AB * AD+AB *DF+BE - AB+BE * DF=2 >2>cos120 + AB - pt AB+XAD?AD+ 菽

18、？凝=-2+4 /4 H 入科2>2 20s120 °=4 H4 - 2 入 jt 2=1 ,4 H4 - 2 入=3 .CE? CF= - EC? (- FC) =EC*FC= (1- N BC? (1-四)DC= (1- X) AD? (1- AB =(1 A (1一四)X2>2>tos120°= (1入沖入 R ( 2) = 2,3即一入一科+入=-2.3由求得R巧三，故答案為：也.11 （2014?安徽）設W, E為非零向量，|b|=2| a|,兩組向量五,三,工,京和衛，衛,耳，均由2個W和2個E排列而成，若三?歹？石?E + E ?耳+可?&q

19、uot;所有可能取值中的一.，2r取小值為4|a| ,則為與b的夾角為（A 2兀 c 71 兀 cA. -= B.C.D.解：由題意，設與與b的夾角為分類討論可得 一?，.+ ,：?-+, ?一+、?1=? - I? ' +'- 2b? '+b?b=10| i| ,不酒足 五?五+衛?衛+三?可+三?斤 a?君+君? b+b?a+b?b=5|可2+4| 312cos ”,不滿足; 刀？亍丁¥?元+W?g+五？元=42？b=8|君|2cos a=4| a|2,滿足題意，此時，口與b的夾角為12. （2014?四川）平面向量T=*TT Ta= (1, 2), b=

20、 (4, 2), c=m + b (mCR),且。與日的夾角等于c與b的夾角，則m=()A. - 2 B. - 1 C. 1D. 2解：二.向量白二(1, 2), b= (4, 2), c=m 曰 + b= （m+4 , 2m+2 ）,又.與，的夾角等于W與g的夾角，. ca = LbI C | | a I I C |* |b |* *.與=4, lai |b|."+2（2/2）=4（M4） +2（2/2）解得m=2 ,故選：D13. （2014?新課標I）設D, E, F分別為ABC的三邊BC, CA, AB的中點，則EB+FC =（ ）A. ad B. -jAD C. BC【解答

21、】B： D, E, F分別為ABC的三邊BC, CA, AB的中點,（FE+EC） =FB+EC=- （ AB+AC） =AD,2故選：AEB+FC=（而+而）+14. (2014?福建)設M為平行四邊形 ABCD對角線的交點，O為平行四邊形 ABCD所在平面內任意一點，則贏+而+江+而等于()A,贏B. 2贏C, 3贏D. 4而解：:。為任意一點，不妨把 a點看成。點，則短+而+無+而=6+屈+7S+7S,M是平行四邊形 ABCD的對角線的交點，. . O + AB+76+75=2 AC=40M故選：D.15. (2013?浙江)設丁、丁為單位向量，非零向量 b=x+yT*, x、yCR.若

22、丁、丁的C | C 2C | C 2C J V 2夾角為30。，則上1的最大值等于2 .b|解：.三、二*為單位向量， 丁和丁的夾角等于30°, .丁 丁=1MCos30°=圭.C | C 2C | C 2C I C 22非零向量 b=x匕jy&z，|Z|=V=i/工?+2工ye. uz+y2=J、+V5xy+y"故當？= -Y5時，_4取得最大值為2, x 2|b|故答案為2.16. (2013?北京)已知點 A (1, T), B (3,0), C (2, 1).若平面區域 D由所有滿足AP=入AB+ N AC (K /2哆0加米的點P組成，則D的面積

23、為 3解：設P的坐標為(x, y),則AB= (2, 1), AC= (1,2),即=(x-1, y+1),AP二次 AB+口 AC,- - 1二2八十四jH-1= X +2 H、211人不算一力一133190 o. K 3 0仙石.點P坐標滿足不等式組14歲一當-1420 V0< -作出不等式組對應的平面區域，得到如圖的平行四邊形其中 C (4, 2), D (6, 3), E (5, 1), F (3, 0)1cF|= J (4-3) ：+ (2-0) ”向,CDEF及其內部點E (5, 1)到直線 CF: 2x - y - 6=0的距離為d=|2X5- 1 - 6| _3a/5v；

24、=，平行四邊形CDEF的面積為S=|CF|刈=加交近=3,即動點P構成的平面區域 D的面積為3故答案為：317. （2012?湖南）如圖，在平行四邊形 ABCD中，AP，BD,垂足為P,且AP=3 ,貝U APAC =18 .【解答】 解：設AC與BD交于點O,則AC=2AO,. AP ±BD, AP=3 ,在 Rt APO 中，AOcos / OAP=AP=3| AC|cos / OAP=2| A0|>tos / OAP=2| AP|=6 ,由向量的數量積的定義可知，AP*AC=| AP|AC|cosZ PAO=3 >6=18故答案為：1818. （2012?北京）己知

25、正方形 ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點.則 而的值為【解答】解：因為DECB= DEDA= |而卜屈|8£左示=位'=1.故答案為：1D19. (2011?天津)已知直角梯形 ABCD 中，AD/BC, /ADC=90°, AD=2 , BC=1 , P 是腰DC上的動點，則|PA+3PB |的最小值為 5 .解：如圖，以直線 DA, DC分別為x, y軸建立平面直角坐標系, 則 A (2, 0), B (1, a), C (0, a), D (0, 0)設 P (0, b) (04Q)則 PA= (2, - b), PB= (1, a b), PA+3P

26、B= (5, 3a-4b)|PA+3PBi =也5+ 1口-4b) ?若故答案為5.20. (2010?浙江)已知平面向量W,方(五#6，/盧F)滿足1萬1二1,且五與串-五的夾角為120°,則|五|的取值范圍是(0,_3解：令用靛=五、 於T, 如下圖所示：貝U 由 BC=JT - a,又五與下一五的夾角為120°,/ ABC=60 °又由AC= IT l=i由正弦定理得:1五1二 lEl sinC sinG00I五尸竽三inC邛.-.|*a|（0,差故II的取值范圍是（0 3故答案：（0,21. （2010?天津）如圖，在4ABC中，ADXAB,前二、年而，|

27、仁1,則正-75=在【解答】解：AC-AD=|AC HlADlcosZDAC,I ,T ' 3 I ” J 卜： I：,二二一 1 At，.1.cos / DAC=sin / BAC ,AC*AD=| AC |- I AD|cosZDAC= | AC | cs/DAC二 | AC|sinZBAC ,在 ABC中，由正弦定理得匝1=_股J變形得|AC|sin/BAC=|BC|sinB , sinB sinZBACAC -AD=lAC |-|AD|cosZDAC= | 菽 | cosZDAC= | AClsinZBAC,in 二|BC|sinB= |BC|T-=V3，DU故答案為Vs.22

28、. （2009以津）若等邊ABC的邊長為2VS,平面內一點M滿足CM=曰CB+】CA,則63MAMB= - 2 .解：以C點為原點，以AC所在直線為x軸建立直角坐標系，可得C (Q, 0) , A 國氏 0) , B (a,3),連二(V5，3)，區二(2/ 0)，而=得而+熱=(單，夕，故答案為：-2.三.選擇題(共2小題)23. (2012?上海)定義向量 OM= (a, b)的相伴函數”為f (x) =asinx+bcosx ,函數f (x)=asinx+bcosx的相伴向量”為OM= (a, b)(其中O為坐標原點).記平面內所有向量的相伴函數”構成的集合為S.(1)設 g (x) =

29、3sin (x+ ) +4sinx ,求證：g (x) CS； 2(2)已知h (x) =cos (x+ a) +2cosx，且h (x) S,求其 相伴向量”的模；(3)已知M (a, b) (b用)為圓C: (x-2) 2+y2=l上一點，向量 贏的 相伴函數”f (x)在x=x0處取得最大值.當點 M在圓C上運動時，求tan2x 0的取值范圍.【解答】 解：(1) g (x) =3sin (x+) +4sinx=4sinx+3cosx , 2其相伴向量而=(4, 3), g (x) CS.(2) h (x) =cos (x+ a) +2cosx=(cosxcos a- sinxsin a

30、) +2cosx=一sin osinx+ (cos a+2 ) cosx二.函數 h (x)的 相伴向量'0M= (- sin a, cos a+2).則 | 0M= 7 ( - sinQ )2+ (cosa+2)一屋 VSHcosCl .(3) 0M的相伴函數 f (x) =asinx+bcosx= 4/十匕 2sin (x+ 4),， a , b中 cos 6= j, sin 6= /當 x+(f)=2k 71+21, kCZ 時，f (x) 2取到最大值，故 x0=2k TV+2L- M ka.2檸衛，b2tan xntan2x 0=2Xro1-tan ) 1-目b2 br_a也為直線OM的斜率，