1、2019年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試(大綱)文科選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的(1)設(shè)集合 M=1, 2, 4, 6, 8,N=2 , 3, 5, 6, 7,則 W N 中元素的個(gè)數(shù)為()A. 2B. 3C. 5D. 7(2)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4,3A. 45B.C.D.(3)不等式組x(x +2) >0x <1的解集為()A. x -2 < x < -1B.x -1 <x <0C.x 0 < x < 1 D.x x >1(4)已知正四面體 ABCDKE是AB的中點(diǎn)，則異面直線 CE

2、與BD所成角的余弦值為()A. 6B.C.D.(5)函數(shù) y=ln( 3/x+1)(x>-1)的反函數(shù)是A. y =(1 -ex)3(x-1)B.y = (ex -1)3(x -1)C. yu(1-ex)3(x R)D.y -(ex -1)3(x R).(6)已知a、b為單位向量,其夾角為 60 則(2ab) b =()A. 1B. 0C. 1D.2(7)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組， 則不同的選法共有A. 60 種B. 70C. 75D. 150(8)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,&=3, S4=15,則與二()A. 31B. 32

3、C. 63D. 64(9)已知橢圓B兩點(diǎn),22_ x yC： 2 +上2 =1(a >b >0)的左右焦點(diǎn)為 a bF1,F2離心率為,過(guò)F2的直線l交C與A、3若AFiB的周長(zhǎng)為4點(diǎn)，則C的方程為()2x 2/B. y =1322x y /c. =112D.22x y /=1124(10)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積是()A.81 二B. 16C. 9D.27 二(11)雙曲線2C:5a22 = 1(a>0,b>0)的離心率為b22,焦點(diǎn)到漸近線的距離為J3,則C的焦距等于()A. 2B.C.4D.4、, 2(12)奇函

4、數(shù)(x)的定義域?yàn)?R,若f(x+2)為偶函數(shù),則 f(1)=1,則 f(8)+f(9)=()A. -2B.C. 0D. 1二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每個(gè)小題5分。(13)(x-2)6的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為(用數(shù)字作答)【答案】-160(14)函數(shù)y =cos2x +2sin x的最大值為x - y - 0I )(15)設(shè)x, y滿足約束條件x+2y E3,則z=x+4y的最大值為.x-2y 工1【答案】522(16)直線11和12是圓x +y =2的兩條切線，若11與12的交點(diǎn)為(1,3 ),則11與12的交角的正切值等于.-4【答案】43三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步

5、驟。(17)(本小題滿分10分)數(shù);歹U an?兩足 31=1, a2=2, an+2=2an+1-a n+2.(1)設(shè)bn=an+1-a n,證明bn是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式.角軍：(1)由 3n+2=2an+1-a n+2 彳導(dǎo) 3n+2- 3 n+1=3n+1-a n+2,即 bn+1 = bn+2, 3 b1=32-3 1 = 1.所以bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列；nn(2) 由(1)得 bn=1+2 (n-1 ) , 即 an+1-a n=2n-1.于是 X(3卜十3卜)=工(2 k1)kWk=1于是 an-a 1=n2-2n ,即 an=n2-2n +1+a

6、1.又 a1=1)所以an的通項(xiàng)公式為 an=n2-2n +2.(18)(本小題滿分10分) ABC的內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別是 a, b, c,已知 3acosC=2ccosA,tanA=，求 B.3解：由題設(shè)和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA,所以 3tanAcosC=2sinC.因?yàn)?tanA=,所以 cosC=2sinC.3tanC=.2所以 tanB=tan180 -(A+C)=-tan(a+c)tan A tanC d=-1,1 - tan A tan C即 B=135 .(19)(本小題滿分12分)如圖，三棱柱 ABC-AB1G中，點(diǎn) A1在平面 ABC內(nèi)的

7、射影 D在AC上，/ ACB=90- BC=1, AC=CC=2.(1)證明：AGXA1B;(2)設(shè)直線AA與平面BCCB1的距離為 J3 ,求二面角 A1-AB-C的大小.解法一：(1) ,A1DL平面 ABC, A1D二平面AAGC,故平面 AACCL平面 ABC又BC±AC,所以BC1平面 AAGC, 連結(jié)AC,因?yàn)閭?cè)面 AAGC是棱形，所以 ACLA1C,由三垂線定理的 ACXA1B.(2) BC，平面 AACC, BC二平面 BCCB,故平面 AAGCL平面 BCCB1,作AEL CiC,E為垂足，則 A1EL平面BCCB1,又直線 A A1/平面BCCB1,因而 A1E為

8、直線 A A1與平面BCCB1間的距離，A1E=石，因?yàn)锳1C為/ ACC的平分線，故 AD=AE=J3,作DFAB, F為垂足，連結(jié)A1F,由三垂線定理得A1FL AB,故/ AFD為二面角 A1-AB-C的平面角，由AD=jAA12 AD2 =1,得 D為 AC的中點(diǎn)，DF=1 / AC 父 BC 二倉(cāng) /3 fd=ad = JT5 ,所以二面角 A-AB-C 2 AB 5DF的大小為 arctan ,15.解法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸的正半軸，以CB的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz ,由題設(shè)知 A1D與z軸平行，z軸在平面 AACC內(nèi).(1)設(shè) Ai (a,

9、 0, c),由題設(shè)有 a<2, A (2,0,0 ) B (0,1,0 )，則 7F = (-2 , 1, 0),AC = (2,0,0)，京=(a2,0,c),72222a -2) +c =2 ,即 a 4a +cAC?= AC + R = (a.4,0,c)嬴= (a,.1,c),由京卜 2 得(2)設(shè)平面 bccbi的法向量 m=(x,y,z),則m，cB, m_LCBc 口 X X 22"K=0,于是 ACi BAi = a 4a+c =0 ，所以 ACi _L BAi.T T T T -1,m_L BB ,即 m CB = 0,m BBi = 0,因CB(0,1,0

10、), BB1 = AA = (a 一2,0,c),故 y=0,且(a-2 ) x-cz=0 ,令 x=c,則 z=2-a , m = (c,0,2 - a),點(diǎn) A到平面BCCB的距離為CA ;cos<m,CA >2cr c = c ,又依題設(shè)，點(diǎn)A到平面BCCB的距 .好(2-a)2離為33 ,所以c= J3 .代入得a=3 (舍去)或a=1.于是AA = (1,0, V3),設(shè)平面ABA的法向量n=(p,q,r),則"AAi,nAB，即 n AA =0,n AB = 0. p + T3r = 0且-2p+q=0,令p= J3,則 q=2 73, r=1 , n =(石

11、,2 J3,1),又 p = (0,0,1)為平面 ABC 的法向量，故 cos<n,pR1所以一面角A1-AB-C的大小為arccos 420 .(本小題滿分12分)設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別是0.6, 0.5,0.5,0.4,各人是否使用設(shè)備相互獨(dú)立，(1)求同一工作日至少 3人需使用設(shè)備的概率；(2)實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購(gòu)買 k臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于0.1 ,求k的最小值.解：記A表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i人需使用設(shè)備，i=0,1,2.B表示事件：甲需使用設(shè)備.C表示事件：丁需使用設(shè)備.D表示事件

12、：同一工作日至少3人需使用設(shè)備.E表示事件：同一工作日 4人需使用設(shè)備.F表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k.(1) D=A B C+A B+A> B CP(B)=0.6 , P(C)=0.4 , P(A尸 C2 M0.W,i =0,1,2 .所以 P(D)=P(A 1 - B - C+A - B+A - B - C)= P(A 1 B C)+P(A2 B)+P(A2 - B - C) =P(A 1P) - P(B) - P(C)+P(A2) - P(B)+P(A2) - p( B ) - p(C)=0.31.(2)由(1)知，若 k=3,貝U P(F)=0.31>0.1.

13、又 E=B- C A2,P(E)=P(B - C A)= P(B) - P(C) P(A2)=0.06 ;若 k=4,貝U P(F)=0.06<0.1.所以k的最小值為3.21 .(本小題滿分 12 分)函數(shù) f(x)=ax 3+3x2+3x(a w 0).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求 a的取值范圍解：(1) f (x) =3ax2+6x+3,2f (x)=3ax +6乂 + 3 = 0的判別式 =36 (1-a)(i )若a> 1,則f (x) >0 ,且f '(x) =0當(dāng)且僅當(dāng)a=1, x=-1 ,故此時(shí)f (

14、x)在R上是增函數(shù)(ii )由于aw0,故當(dāng)a<1時(shí),f '(x) =0有兩個(gè)根:-1,1 - a -1 - . 1 - ax1 二, x2 aa若 0<a<1,則當(dāng) x C ( O0 , x2)或 x C ( Xi, +O0 )時(shí)，f '(x) > 0 ,故 f (x)在(一DO , x2), (Xi, +g )上是增函數(shù)；當(dāng) xC(X2, X1)時(shí)，f (x) <0 ,故 f (x)在(X2, X1)上是減函數(shù)；(2)當(dāng)a>0, x>0時(shí)，f'(x)A0,所以當(dāng)a>0時(shí)，f (x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù).5若a<

15、;0時(shí)，f (x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f'(1)之0且f'(2)之0 ,解得5 Wa<0.4 一一 5綜上，a的取值范圍是5,0) U(0,).422 .(本小題滿分12分)一) 5已知拋物線C: y2 =2px(p >0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q且QF = PQ4(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線 與C相交于M,N兩點(diǎn)，且A,M,B,N四點(diǎn)在同一個(gè) 圓上，求直線l的方程.2. 一 8斛：(1 )設(shè) Q (Xo, 4),代入由 y = 2px( p >0)中得 X0=,P

16、_8 - p , p,8_p,858所以 PQ =一，QF =+x0 = +一，由題設(shè)得一，解得 p= 2 (舍去)或 p=2. p 22 p2 p 4 p所以C的方程為y2 =4x.(2)依題意知直線l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線l的方程為x = my+1 ,(廿0)代入y2=4x中得2y -4my-4=0,設(shè) A(X1,y 1) ,B(x 2,y 2),則 y1+y2=4m, yy4,故 AB的中點(diǎn)為 D (2m2+1,2m), AB =Jm2+1|y1 y2 =4(m2+1),1cc有直線l的斜率為一m所以直線l的萬(wàn)程為x = y+2m2+3,將上式代入y =4x中，并整理得 m2427 八y y -4(2m3) = 0 .m2設(shè) M(x3,y 3),N(x 4,y4),則y3+y