1、第一章 勾股定理1.1探索勾股定理專題一 有關勾股定理的折疊問題1. 如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為MN，則線段CN長是（）A3cmB4cmC5cmD6cm2. 如圖，EF是正方形兩對邊中點的連線段，將A沿DK折疊，使它的頂點A落在EF上的G點，求DKG的度數(shù)3 已知RtABC中，ACB=90°，CA=CB，有一個圓心角為45°，半徑長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉，直線CE、CF分別與直線AB交于點M、N（1）如圖，當AM=BN時，將ACM沿CM折疊，點A落在弧EF的中點P處，再將BCN沿CN折疊，點B也恰好落在

2、點P處，此時，PM=AM，PN=BN，PMN的形狀是_等腰直角三角形線段AM、BN、MN之間的數(shù)量關系是_MN）；（2）如圖，當扇形CEF繞點C在ACB內部旋轉時，線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關系是_AM2+BN2=MN2試證明你的猜想；（3）當扇形CEF繞點C旋轉至圖的位置時，線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關系是_AM2+BN2=MN2（不要求證明） 專題二 勾股定理的證明4在教材中，我們通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關系，利用四個完全相同的直角三角形拼圖的方式驗證了勾股定理的正確性問題1：以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，探究S+ S與S的關系（如圖1）問題2：以直角三角形

3、的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，探究S+S與S的關系（如圖2）問題3：以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓，探究S+ S與S的關系（如圖3）5. 如圖，是用硬紙板做成的兩種直角三角形各有若干個，圖 中兩直角邊長分別為a和b，斜邊長為c；圖中兩直角邊長為c請你動腦，將它們拼成能夠證明勾股定理的圖形（1）請你畫出一種圖形，并驗證勾股定理（2）你非常聰明，能再拼出另外一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的圖形（無需證明）答案：1A 【解析】設CN=x cm，則DN=（8-x）cm. 由折疊的性質知EN=DN=（8-x）cm，而EC=BC=4 cm，在RtECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN

4、2，即（8-x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3故選A2解：DF=CD=DG，DGF=30°EKG+KGE=90°，KGE+DGF=90°，EKG=DGF=30°2DKG+GKE=180°，DKG=75°3解：（1）根據(jù)折疊的性質知：CAMCPM，CNBCNPAM=PM，A=CPM，PN=NB，B=CPN. MPN=A+B=90°，PM=PN=AM=BN.故PMN是等腰直角三角形，AM2+BN2=MN2（或AM=BN=MN）（2）AM2+BN2=MN2.證明:如圖,將ACM沿CM折疊，得DCM，連DN，則ACM

5、DCM，CD=CA，DM=AM，DCM=ACM.同理可知DCN=BCN，DCNBCN，DN=BN，而MDC=A=45°，CDN=B=45°，MDN=90°，DM2+DN2=MN2，故AM2+BN2=MN2（3）AM2+BN2=MN2；解法同（2）4解：探究1：由等邊三角形的性質知：S=a2，S=b2，S=c2，則S+ S=（a2+b2）.因為a2+b2=c2，所以S+ S=S探究2：由等腰直角三角形的性質知：S=a2，S=b2，S=c2則S+S=（a2+b2）.因為a2+b2=c2，所以S+S=S探究3：由圓的面積計算公式知：S=a2，S=b2，S=c2則S+ S

6、=（a2+b2），因為a2+b2=c2，所以S+ S=S5解：（1）如圖所示，根據(jù)正方形的面積可得（a+b）2=4×ab+c2，即a2+b2=c2（2）如圖所示1.2一定是直角三角形嗎專題 判斷三角形形狀1. 已知a，b，c為ABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，則它的形狀為（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形2. 在ABC中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=2mn，且mn0，（1）你能判斷ABC的最長邊嗎？請說明理由；（2）ABC是什么三角形，請通過計算的方法說明3. 張老師在一次“探究性學習”課中，設計了如下數(shù)表：n2345a22

7、-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+1（1） 請你分別觀察a、b、c與n之間的關系，并用含自然數(shù)n （n1）的代數(shù)式表示a，b，c（2）猜想：以a、b、c為邊的三角形是否為直角三角形？請證明你的猜想答案：1D 【解析】 a2c2-b2c2=a4-b4，（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，a+b0，a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，即它是等腰三角形或直角三角形故選D2解：（1）a是最長邊，其理由是：a-

8、b=（m2+n2）-（m2-n2）=2n20，a-c=（m2+n2）-2mn=（m-n）20，ab，ac，a是最長邊.（2）ABC是直角三角形，其理由是：b2+c2=（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2=a2，ABC是直角三角形3解：（1）由圖表可以得出：n=2時，a=22-1，b=2×2，c=22+1；n=3時，a=32-1，b=2×3，c=32+1；n=4時，a=42-1，b=2×4，c=42+1.a=n2-1，b=2n，c=n2+1（2）以a、b、c為邊的三角形是直角三角形.a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）

9、2=n4+2n2+1，a2+b2=c2，以a、b、c為邊的三角形是直角三角形1.3勾股定理的應用專題 最短路徑的探究1. 編制一個底面周長為a、高為b的圓柱形花柱架，需用沿圓柱表面繞織一周的竹條若干根，如圖中的A1C1B1，A2C2B2，則每一根這樣的竹條的長度最少是_.2. 請閱讀下列材料：問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑和高均為5dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線.小明設計了兩條路線：路線1：側面展開圖中的線段AC.如下圖（2）所示：設路線1的長度為，則；比較兩個正數(shù)的大小，有時用它們的平方來比較更方便哦！路線2：高線AB + 底面直徑BC，如上圖（

10、1）所示，設路線2的長度為，則. 所以要選擇路線2較短。（1）小明對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1dm，高AB為5dm”繼續(xù)按前面的方式進行計算.請你幫小明完成下面的計算：路線1：_；路線2：_ , ( 填>或<).所以應選擇路線_(填1或2)較短.(2)請你幫小明繼續(xù)研究:在一般情況下,當圓柱的底面半徑為r,高為h時，應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的路線最短.3. 探究活動:有一圓柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直徑為cm，螞蟻爬行的速度為2cm/s.（1）如果在盒內下底面的A處有一只螞蟻，它想吃到盒內對面中部點B處的

11、食物，那么它至少需要多少時間？（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計，結果可含根號）（2）如果在盒外下底面的A處有一只螞蟻，它想吃到盒內對面中部點B處的食物，那么它至少需要多少時間？（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計）答案：1. 【解析】 底面周長為a、高為b的圓柱的側面展開圖為矩形,它的邊長分別為a,b，所以對角線長為，所以每一根這樣的竹條的長度最少是.2.解：（1）25+2 49 1（2）l12=AC2=AB2+BC2=h2+（r）2，l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，l12-l22=h2+（r）2-（h+2r）2=r（2r-4r-4h）=r（2-4）r-4h.r恒大于0，只需看后面的式子即可當r=時，l12=l22；當r時，l12l22；當r時，l12l223.解：（1）如圖，A