1、第二章復(fù)習(xí)與思考題1.什么是拉格朗日插值基函數(shù)？它們是如何構(gòu)造的？有何重要性質(zhì)？答：若次多項式在個節(jié)點(diǎn)上滿足條件 則稱這個次多項式為節(jié)點(diǎn)上的次拉格朗日插值基函數(shù).以為例，由所滿足的條件以及為次多項式，可設(shè)，其中為常數(shù)，利用得，故，即.對于，有，特別當(dāng)時，有.2.什么是牛頓基函數(shù)？它與單項式基有何不同？答：稱為節(jié)點(diǎn)上的牛頓基函數(shù)，利用牛頓基函數(shù)，節(jié)點(diǎn)上的次牛頓插值多項式可以表示為其中.與拉格朗日插值多項式不同，牛頓插值基函數(shù)在增加節(jié)點(diǎn)時可以通過遞推逐步得到高次的插值多項式，例如,其中是節(jié)點(diǎn)上的階差商，這一點(diǎn)要比使用單項式基方便得多.3.什么是函數(shù)的階均差？它有何重要性質(zhì)？答：稱為函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的一階

2、均差，為的二階均差. 一般地，稱為的階均差.均差具有如下基本性質(zhì)：(1) 階均差可以表示為函數(shù)值的線性組合，即 ,該性質(zhì)說明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)，即均差具有對稱性.(2) .(3) 若在上存在階導(dǎo)數(shù)，且節(jié)點(diǎn)，則階均差與階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為，.4.寫出 個點(diǎn)的拉格朗日插值多項式與牛頓均差插值多項式，它們有何異同？答：給定區(qū)間上個點(diǎn)上的函數(shù)值，則這 個節(jié)點(diǎn)上的拉格朗日插值多項式為,其中.這個節(jié)點(diǎn)上的牛頓插值多項式為,其中為在點(diǎn)上的階均差.由插值多項式的唯一性，與是相同的多項式，其差別只是使用的基底不同，牛頓插值多項式具有承襲性，當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)時只需增加一項，前面的工作依然有效，因而牛頓插值比較方便，而拉

3、格朗日插值沒有這個優(yōu)點(diǎn).5.插值多項式的確定相當(dāng)于求解線性方程組，其中系數(shù)矩陣與使用的基函數(shù)有關(guān).包含的是要滿足的函數(shù)值. 用下列基底作多項式插值時，試描述矩陣中非零元素的分布.(1) 單項式基底；(2) 拉格朗日基底；(3) 牛頓基底.答：(1) 若使用單項式基底，則設(shè)，其中為待定系數(shù)，利用插值條件，有，因此，求解的系數(shù)矩陣為為范德蒙德矩陣.(2) 若使用拉格朗日基底，則設(shè)，其中為拉格朗日插值基函數(shù)，利用插值條件，有，由拉格朗日插值基函數(shù)性質(zhì)，求解的系數(shù)矩陣為為單位矩陣.(3) 若使用牛頓基底，則設(shè)，由插值條件，有即故求解的系數(shù)矩陣為 為下三角矩陣.6.用上題給出的三種不同基底構(gòu)造插值多項式

4、的方法確定基函數(shù)系數(shù)，試按工作量由低到高給出排序.答：若用上述三種構(gòu)造插值多項式的方法確定基函數(shù)系數(shù)，則工作量由低到高分別為拉格朗日基底，牛頓基底，單項式基底.7.給出插值多項式的余項表達(dá)式，如何用它估計截斷誤差？答：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)存在，節(jié)點(diǎn)，是滿足條件的插值多項式，則對任何，插值余項，這里且與有關(guān)，.若有，則逼近的截斷誤差.8.埃爾米特插值與一般函數(shù)插值區(qū)別是什么？什么是泰勒多項式？它是什么條件下的插值多項式？答：一般函數(shù)插值要求插值多項式與被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而埃爾米特插值除此之外還要求在節(jié)點(diǎn)上的一階導(dǎo)數(shù)值甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等.稱為在點(diǎn)的泰勒插值多項式，泰勒插值是一個埃爾米特

5、插值，插值條件為，泰勒插值實(shí)際上是牛頓插值的極限形式，是只在一點(diǎn)處給出個插值條件得到的次埃爾米特插值多項式.9.為什么高次多項式插值不能令人滿意？分段低次插值與單個高次多項式插值相比有何優(yōu)點(diǎn)？答：對于任意的插值結(jié)點(diǎn)，當(dāng)時，不一定收斂于，如對龍格函數(shù)做高次插值時就會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，因而插值多項式的次數(shù)升高后，插值效果并不一定能令人滿意.分段低次插值是將插值區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上進(jìn)行低次插值，這樣在整個插值區(qū)間，插值多項式為分段低次多項式，可以避免單個高次插值的振蕩現(xiàn)象.10.三次樣條插值與三次分段埃爾米特插值有何區(qū)別？哪一個更優(yōu)越？請說明理由.答：三次樣條插值要求插值函數(shù)，且在每個小

6、區(qū)間上是三次多項式，插值條件為.三次分段埃爾米特插值多項式是插值區(qū)間上的分段三次多項式，且滿足，插值條件為，.分段三次埃爾米特插值多項式不僅要使用被插函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，而且還需要節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，且插值多項式在插值區(qū)間是一次連續(xù)可微的.三次樣條函數(shù)只需給出節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，但插值多項式的光滑性較高，在插值區(qū)間上二次連續(xù)可微，所以相比之下，三次樣條插值更優(yōu)越一些.11.確定個節(jié)點(diǎn)的三次樣條插值函數(shù)需要多少個參數(shù)？為確定這些參數(shù)，需加上什么條件？答：由于三次樣條函數(shù)在每個小區(qū)間上是三次多項式，所以在每個小區(qū)間上要確定4個待定參數(shù)，個節(jié)點(diǎn)共有個小區(qū)間，故應(yīng)確定個參數(shù)，而根據(jù)插值條件，只有個條件，因此

7、還需要加上2個條件，通常可在區(qū)間的端點(diǎn)，上各加一個邊界條件，常用的邊界條件有3種：(1) 已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即，.(2) 已知兩端的二階導(dǎo)數(shù)值，即，,特殊情況為自然邊界條件，.(3) 當(dāng)是以為周期的周期函數(shù)時，要求也是周期函數(shù)，這時邊界條件就滿足， 這時稱為周期樣條函數(shù).12.判斷下列命題是否正確？(1) 對給定的數(shù)據(jù)作插值，插值函數(shù)個數(shù)可以任意多.(2) 如果給定點(diǎn)集的多項式插值是唯一的，則其多項式表達(dá)式也是唯一的.(3) 是關(guān)于節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù)，則對任何次數(shù)不大于的多項式都有(4) 當(dāng)為連續(xù)函數(shù)，節(jié)點(diǎn)為等距節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造拉格朗日插值多項式，則越大越接近.(5) 同上題，若構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)，則越大得到的三次樣條函數(shù)越接近.(6) 高次拉格朗日插值是很常用的.(7) 函數(shù)的牛頓插值多項式, 如果的各階導(dǎo)數(shù)均存在，則當(dāng)時，就是在點(diǎn)的泰勒多