1、第20講 梯形、三角形和梯形的中位線幾何學所致力的知識，是關于永恒的知識。 柏拉圖知識方法掃描一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。與梯形有關的的輔助線有兩類：一類是作與一腰或一對角線的平行線，將梯形的問題轉化成三角形及平行四邊形的問題來解決；另一類是作梯形的高，將梯形的問題轉化成直角三角形及矩形的問題來解決。三角形兩邊中點的連線叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。梯形兩腰中點的連線叫做梯形的中位線，梯形的中位線平行于上下底，且等于上下底和的一半三角形和梯形的中位線有定量和定性兩方面的功能：在數量關系上，它提供了數值計算的依據，在位置關系上，它提供了論證

2、兩條直線平行的依據。它也是一種幾何變換。在遇到與三角形一邊的中點，梯形一腰的中點的問題時，常作出三角形或梯形的中位線，這是一種重要的輔助線。經典例題解析例1（2000年河北省初中數學競賽試題）如圖，在梯形ABCD中，ADBC,AB=8,AD=3,CD=6,并且B+C=90°，則該梯形面積SABCD= .解 過D作DEAB，交BC于E，作高DH，則DE=AB=8，且。由得 。故SABCD。例2等腰梯形的中位線長為m，且對角線互相垂直，求梯形的高和面積解 如圖，等腰梯形ABCD中，ABCD，EF是中位線，ACBD于D，過點C作CGBD交AB的延長線于點G，顯然四邊形BGCD是平行四邊形，

3、BG=CD，BD=CG， BDAC于D， CGAC，即ACG =90°.又 四邊形aBCO是等腰梯形， AC=BD, 于是 AC=CG。過C作CHAG于G， 則H是AG中點。梯形的高CH= EF=m。故梯形的面積為 EF·CH=m2。例3（1990年紹興市初二數學競賽試題）連結凸四邊形一組對邊中點的線段等于另一組對邊和的一半, 問這個凸四邊形是什么四邊形?試證明你的結論.解 這個凸四邊形是平行四邊形或梯形。證明如下：如圖，在凸四邊形ABCD中，M，N分別是對邊AB，CD的中點，MN=（AD+BC）。連結BD，取BD的中點P，連結MP，NP。則MP=AD，NP=BC，MP+N

4、M=（AD+BC）=MN。 所以P點一定在線段MN上，于是ADMN，BCMN，故ADBC。 當AB=CD時，凸四邊形是平行四邊形；當ABCD時，凸四邊形是梯形。例4(第5屆“縉云杯”初中數學邀請賽試題)等腰梯形ABCD中，ABCD, ABC=60º, AC平分DAB,E,F分別是對角線AC,BD的中點，且EF=a,試求梯形ABCD 的面積。 解 連結CF，并延長交AB于G，因CDF=GBF,DF=BF,DFC=BFG于是DFCBFG, 故CF=FG,CD=GB.由三角形中位線定理得:AG=2EF=2a.又因為ABCD是等腰梯形，所以DAB=ABC=60º, 因AC平分DAB

5、, 所以DAC=DCA,于是AD=DC=BC，CGB為等邊三角形，CGB=60º,ADCG, 故CD=AG=2a,AB=2AG=4a.作CHAB，H為垂足，則CH2=CB2-HB2=(2a) 2-a2=3a2，CH=a。所以梯形ABCD 的面積=(CD+AB)CH=(2a+4a) a=3a2.例5（2007年太原市初中數學競賽試題）如圖，已知AD為ABC的角平分線，AB<AC， 在AC上截取AC=AB,M、N分別為BC、AD的中點。求證：MNAD。證明：如圖，連接BE，記BE中點為F，連接FN,FM。因為FN為EBA的中位線，所以FN=AB，且FNAB。又CE=AB，則FN=F

6、M, 于是 3=4。但4=5，則3=5。又1+4=3+5，而1=2，則2=5，故MNAD。例6（1991年泉州市初二數學雙基賽題）已知：在ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是邊BC的中點，求證：PMPN證明 取AB中點Q，AC中點R，連結PQ，PR，MQ，NR，則PQAC，PQACNR，PRAB，PRMQ，故PQMPRN（兩邊分別垂直）PQMNRP，即PMPN。例7（1986年全國部分省市初中數學通訊賽試題）（1）以ABC的邊AB，AC為邊各向外作一個正方形，中心分別為O1，O2，D為BC中點，求證：O1D與O2D垂直并相等;（2）以任意四邊形ABCD的邊AB

7、，BC，CD，DA為邊各向外作一個正方形，中心分別為O1，O2，O3，O4，求證：O1 O3與O2 O4垂直并相等；（3）在（1）中，又以BC為邊向外作一個正方形，中心為O3，請你回答：（a）線段O1 O2與哪條線段垂直并相等，并證明你的猜想；（b）你認為（3）和（2）有何聯系？解 (1)連結CG, BE, BG,CE. 易證GACBAE, 于是GC=BE, AGC=ABE.而AQG=PQB, 故QPB=QAG=90º.BEGC. 但DO1CG, DO1=CG, DO2BE, DO2=BE, 所以DO1, DO1= DO2.(2) 連結AC,取其中點M, 連結O1M,O2M,O3M,

8、O4M.由(1)的結論知O1MO2M, O3MO4M. O1M=O2M, O3M=O4M.易證O4M O2O3M O1. 于是O1 O3=O2 O4,仿(1)可證O1 O3O2 O4.(3) (a)若以BC為邊的三角形中心為O3,則O1 O2與A O3垂直并相等.證明如下:取AB中點M, 連結O1M, O2 M, O3 M.顯然O1MAM, O1M=AM, 又由(1)知 O2MO3M, O2M=O3M. 可證O1MO2AMO3, 于是O1 O2=A O3,仿(1)可證O1O2AO3. (b) (3)是(2)中A,D重合,以AD為邊的正方形退縮成一個點的特殊情況.例8（1996年山東省初中數學競

9、賽試題）如圖，分別以ABC的邊AC和BC的一邊，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，點P是EF的中點。求證：點P到邊AB的距離是AB的一半。證明 如圖，點P到邊AB的距離為PH。作AB的垂線EE，FF，CC，E'，F'，C為垂足。在RtCCB與RtBFF中，CB=BF，CBC=90º-FBF=BFF，于是RtCCBRtBFF，所以BC=FF。同理可證：AC=EE。 顯然PH是梯形EEFF的中位線， PH=（EE+FF）=（AC+BC）=AB。同步訓練一、選擇題1若四邊形一組對邊中點的連線長為d，另一組對邊的長分別為a，b，則d與的大小關系是( )。(A) (B) (

10、C) (D) 2（2004年“KLT快靈通”全國初中數學聯賽成都初賽試題）如圖，M是ABC的BC邊的中點，AN平分BAC，ANBN于N，且AB=10，BC=15，MN=3，則ABC的周長等于（）（A）38（B）39（C）40（D）413（第三屆“求是杯”初二學生數學競賽試題）已知順次連接一個四邊形的各邊的中點所得的四邊形是菱形,那么這個四邊形是( ) (A) 矩形 (B) 菱形 (C) 對角線垂直的四邊形 (D) 對角線相等的四邊形4在四邊形ABCD中，BD=AB，BDC=90º，L,M,N分別為BD,AD,BC的中點，P為MN的中點，且MP=a,LP=b。則BC的長度為（ ）.（A

11、） （B）（C）（D）5（第十屆“希望杯”全國數學邀請賽試題）如圖，四邊形ABCD中，AD>BC,E,F分別是 AB,CD的中點,AD,BC的延長線分別與EF的延長線交于H,G.則（ ）（A）AHE>BGE （B）AHE=BGE（C）AHE<BGE （D）AHE與BGE的大小關系不確定二、填空題6（第6屆“祖沖之杯” 初中數學邀請賽試題）梯形ABCD的下底AB，上底CD(AB>CD)，中位線EF把梯形分成兩個梯形，已知這兩個梯形的面積比為3：5，EF=10,則AB= .7（1998年上海市初中數學競賽試題）如圖,在等腰梯形ABCD中，上底AD=2，下底BC=8，M是腰A

12、B的中點，若MDCD，則該梯形的面積是_。8（1986年江蘇省初中數學競賽試題）若等腰梯形的大底等于對角線長，小底等于高長，那么小底與大底的比是_。9（2001年山東省初中數學競賽試題）如圖，AEAB，AE=AB，BCCD，BC=CD，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是（ ）（A）50 （B） 62 （C） 65 （D）6810（2001年重慶市初三年級數學競賽試題）如圖,已知AGBD,AFCE, BD，CE分別是ABC和ACB的角平分線.若BF=2,ED=3,GC=4,則ABC的周長為 .三 解答題11（2001年重慶市初三年級數學競賽試題）如圖，在ABC中，D，E是AC，BC的中點，BFAB，BD與FC相交于G，連結EG。（1） 求證：EGAC；（2） 求的比值。12（2001年天津市初中數學競賽試題）在任意凸五邊形ABCDE中，M，N，P，Q分別為AB，CD，BC，DE的中點，K，L分別為MN，PQ的中點。求證：KLAE，且KLAE。13（1978年八省市數學競賽試題）已知M是線段AB的中點，從AB上另一點C任意引線段CD，設CD的中點為N，BD的中點為P，MN的中點為Q，求證：直線PQ平分線段AC14（第10屆“希望杯”數學邀請賽試題）如圖，在等腰梯形ABCD中，CDAB，對角線AC，BD相交與于點O，