1、線線垂直、線面垂直、面面垂直部分習及答案1在四面體ABCD中，ABC與DBC都是邊長為4的正三角形(第1題)(1)求證：BCAD； 2如圖，在三棱錐SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC（1）求證：ABBC； 3.如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為a的正方形，PA底面ABCD，E為AB的中點，且PA=AB（1）求證：平面PCE平面PCD；（2）求點A到平面PCE的距離4. 如圖2-4-2所示，三棱錐SABC中，SB=AB，SC=AC，作ADBC于D，SHAD于H， 求證：SH平面ABC.5. 如圖所示，已知RtABC所在平面外一點S，且SA=SB=SC，點D為斜邊AC的中點.(1)

2、求證：SD平面ABC；(2)若AB=BC，求證：BD平面SAC.6. 證明：在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 7. 如圖所示，直三棱柱中，ACB=90°，AC=1，側棱，側面的兩條對角線交點為D，的中點為M.求證：CD平面BDM. 8.在三棱錐BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，為垂足，作AHBE于求證：AH平面BCD9. 如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60°，BSC=90°，求證：平面ABC平面BSC10.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E為D1C1的中點，連

3、結ED，EC，EB和DB(1)求證：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值.11：已知直線PA垂直于圓O所在的平面，A為垂足，AB為圓O的直徑，C是圓周上異于A、B的一點。求證：平面PAC平面PBC。 12. 如圖1-10-3所示，過點S引三條不共面的直線，使BSC=90°，ASB=ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求證：平面ABC平面BSC13. 如圖1-10-5所示，在四面體ABCD中，BD= a, AB=AD=BC=CD=AC=a.求證：平面ABD平面BCD. 14.如圖所示，ABC為正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CE=AC=2BD，M是A

4、E的中點，求證：(1)DE=DA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA15.如圖所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(1)求證：MN平面PAD；(2)求證：MNCD；(3)若PDA=45°，求證：MN平面PCD 16. 如圖1，在正方體中，為 的中點，AC交BD于點O，求證：平面MBD答案與提示：1. 證明：(1)取BC中點O，連結AO，DOABC，BCD都是邊長為4的正三角形， AOBC，DOBC，且AODOO，BC平面AOD又AD平面AOD，BCAD 2. 【證明】作AHSB于H，平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB，AH平

5、面SBC，又SA平面ABC，SABC，而SA在平面SBC上的射影為SB，BCSB，又SASB=S，BC平面SABBCAB3. 【證明】PA平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又四邊形ABCD為矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面PAD，PDA為二面角PCDB的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=45°，取RtPAD斜邊PD的中點F，則AFPD，AF 面PAD CDAF，又PDCD=DAF平面PCD，取PC的中點G，連GF、AG、EG，則GF CD又AE CD，GF AE四邊形AGEF為平行四邊形AFEG，EG平面PDC又EG 平面PEC，平面PEC平面PCD（2）【

6、解】由（1）知AF平面PEC，平面PCD平面PEC，過F作FHPC于H，則FH平面PECFH為F到平面PEC的距離，即為A到平面PEC的距離在PFH與 PCD中，P為公共角，而FHP=CDP=90°，PFHPCD，設AD=2，PF=，PC=，FH=A到平面PEC的距離為4. 【證明】取SA的中點E， 連接EC，EB.SB=AB,SC=AC,SABE,SACE.又CEBE=E,SA平面BCE.BC平面BCE5. 證明：(1)因為SA=SC，D為AC的中點， 所以SDAC. 連接BD. 在RtABC中，有AD=DC=DB， 所以SDBSDA， 所以SDB=SDA， 所以SDBD. 又AC

7、BD=D， 所以SD平面ABC.(2)因為AB=BC，D是AC的中點， 所以BDAC. 又由(1)知SDBD， 所以BD垂直于平面SAC內的兩條相交直線， 所以BD平面SAC.6.證明：連結AC AC為A1C在平面AC上的射影 7. 證明：如右圖，連接、，則. ，為等腰三角形.又知D為其底邊的中點， . ， .又， . 為直角三角形，D為的中點， ，.又， .即CDDM. 、為平面BDM內兩條相交直線， CD平面BDM. 8.證明：取AB的中點，連結CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面BCD9.證明：如圖，已知PA=PB=PC=a，由APB=APC=6

8、0°，PAC，PAB為正三角形，則有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中點為E直角BPC中， ，由AB=AC，AEBC，直角ABE中，在PEA中， ，平面ABC平面BPC.10. 證明：(1)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E為D1C1的中點DD1E為等腰直角三角形，D1ED45°同理C1EC45°，即DEEC在長方體ABCD中，BC平面，又DE平面，BCDE又，DE平面EBC平面DEB過DE，平面DEB平面EBC (2)解：如圖，過E在平面中作EODC于O在長方體ABCD中，面ABCD面，EO面ABCD過O在平面DBC中作OFD

9、B于F，連結EF，EFBDEFO為二面角EDBC的平面角利用平面幾何知識可得OF， (第10題)又OE1，所以，tanEFO 11.（1）【證明】C是AB為直徑的圓O的圓周上一點，AB是圓O的直徑BCAC；又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，從而BC平面PACBC 平面PBC，平面PAC平面PBC . 12. 證明：如圖1-10-4所示,取BC的中點D，連接AD，SD.由題意知ASB與ASC是等邊三角形，則AB=AC，ADBC,SDBC.令SA=a,在SBC中，SD= a,又AD= = a,AD2+SD2=SA2,即ADSD.又ADBC，AD平面SBC.AD平面ABC，平面ABC平面S

10、BC.13. 證明：取BD的中點E，連接AE，CE.則AEBD,BDCE.在ABD中，AB=a,BE= BD= ,AE= ,同理,CE= .在AEC中，AE=EC= ,AC=a, AC2=AE2+EC2，即AEEC.BDEC=E,AE平面BCD.又AE平面ABD，平面ABD平面BCD14. 證明： (1)取EC的中點F，連接DF CE平面ABC， CEBC易知DFBC，CEDF BDCE， BD平面ABC在RtEFD和RtDBA中， ， RtEFDRtDBA故DE=AD (2)取AC的中點N，連接MN、BN，MNCF BDCF， MNBDN平面BDM EC平面ABC， ECBN又 ACBN， BN平面ECA又 BN平面MNBD， 平面BDM平面ECA (3) DMBN，BN平面ECA， DM平面ECA又 DM平面DEA， 平面DEA平面ECA15. 證明：(1)取PD的中點E，連接AE、EN，則，故AMNE為平行四邊形， MNAE AE平面PAD，MN平面PAD， MN平面PAD (2)要證MNCD，可證MNAB由(1)知，需證AEAB PA平面ABCD， PAAB又ADAB， AB平面PAD ABAE