1、 第一部分 知 識 梳 理一、因數和倍數1、如果a×bc（a、b、c都是不為0的整數），那么我們就說a和b是c的因數，c是a和b的倍數。因數和倍數是相互依存的。例如：3×824，3和8是24的因數，24是3和8的倍數。2、一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身。3、一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。4、一個非零的自然數，既是它本身的倍數，又是它本身的因數。5、找因數的方法：（1）列乘法算式：例如：要寫出18的所有因數，方法如下：1×18182× 9183× 618所以，18的因數有：

2、1、2、3、6、9、18共6個。（2）列除法算式：例如：要寫出24的所有因數，方法如下：24÷12424÷21224÷3 824÷4 624÷54.8（因為4.8不是整數，所以5和4.8不是24的因數）所以，24的因數有：1、2、3、4、6、8、12、24共8個。6、找倍數的方法：用這個數分別乘1、2、3、4、5直到所乘的積接近所規定的限制范圍為止，所乘得的積就是這個數的倍數。例如：寫出30以內4的倍數。4×1 44×2 84×3124×4164×5204×6244×728

3、所以，30以內4的倍數有：4、8、12、16、20、24、28。二、2、5、3的倍數的特征1、個位上是0、2、4、6、8的數都是2的倍數。2、個位上是0或5的數都是5的倍數。3、一個數各個數位上的數相加的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。4、 同時是2、5的倍數的數末尾必須是0。最小的兩位數是10，最大的兩位數是90。同時是2、5、3的倍數的數末尾必須是0，而且各個數位上的數相加的和是3的倍數。最小的兩位數是30，最大的兩位數是90。三、奇數和偶數1、自然數中，是2的倍數的數叫做偶數，偶數也叫雙數。如：0、2、4、6、8、10、12、14、16都是偶數。2、自然數中，不是2的倍數的數叫做奇數，

4、奇數也叫單數。如：1、3、5、7、9、11、13、15都是奇數。第三部分知 識 梳 理一、質數和合數1、一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數。質數也叫素數。例如：2，3，5，7，11都是質數。最小的質數是2。2、一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。例如：4，6，8，9，10，12都是合數。最小的合數是4。3、1既不是質數，也不是合數。4、按因數個數的多少給自然數（0除外）分類，可以分三類：質數、合數和1。5、100以內的質數有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，

5、89，97。6、質數中只有2是偶數，其它質數都是奇數。但奇數不完全是質數。如：9和15是奇數，卻是合數。7、除2外，所有的偶數都是合數，但合數不完全是偶數。如：45和51是合數，但不是偶數。二、分解質因數1、每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，其中每個質數都是這個合數的質因數。 例如：302×3×5，其中2，3，5本身是質數，又是30的因數，所以都是30的質因數。2、把一個合數用質數相乘的形式表示出來，就是分解質因數。例如：242×2×2×3叫做把24分解質因數。3、只有合數才能分解質因數。分解質因數常用短除法。三、互質數1、只有公因數1的兩

6、個數叫做互質數。如：3和7的公因數只有1，3和7是互質數；6和13的公因數只有1，6和13是互質數。2、兩個數互質的幾種情況：（1）兩個不同的質數互質。如：11和19互質。（2）相鄰的兩個自然數互質。如：8和9互質。（3）1和任何一個自然數互質。如：1和18互質。（4）相鄰的兩個奇數互質。如：13和15互質。（5）一個質數和一個合數（但倍數關系除外）互質。如：11和15互質。（6）兩個合數也可以互質。如：14和15互質。第四部分知 識 梳 理一、公因數和最大公因數1、幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數；其中最大的一個因數叫做它們的最大公因數。例如：12的因數有：1，2，3，4，6，12。

7、30的因數有：1，2，3，5，6，10，15，30。 12和30的公因數有：1，2，3，6，其中6是12和30的最大公因數。2、求最大公因數的一般方法：（1）分解質因數：把各個數分別分解質因數，公有質因數的乘積，就是這幾個數的最大公因數。例如：求18和24的最大公因數。182×3×3 242×2×2×318和24都含有質因數2和3，所以它們的最大公因數是2×36。（2）短除法：把各個數公有的質因數從小到大依次作為除數，連續去除這幾個數，一直除到各個商是互質數為止，然后把所有除數相乘，所得的積就是這幾個數的最大公因數。例如：求36，24

8、，42的最大公因數。 2 36 24 42 3 18 12 21 6 4 7此時4與7互質，這三個數的公因數只有1，停止短除。36，24，42的最大公因數是2×36。3、求兩個數最大公因數的特殊情況：（1）當兩個數成倍數關系時，較小數就是這兩個數的最大公因數。（2）互質的兩個數最大公因數是1。第五部分知 識 梳 理一、公倍數和最小公倍數1、幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個叫做它們的最小公倍數。例如：8的倍數有：8，16，24，32，40，48，56，64，72， 12的倍數有：12、24、36、48、60、72， 8和12的公倍數有：24，48，72， 其中24

9、是8和12的最小公倍數。2、求最小公倍數的一般方法：（1）分解質因數：先把每個數分解質因數，再把它們公有的質因數和獨有的質因數連乘起來，積就是它們的最小公倍數。例如：求12和30的最小公倍數。122×2×3302×3×512和30公有的質因數有2和3，獨有的質因數有2和5。所以12和30的最小公倍數是2×3×2×560。（2）短除法：用這幾個數公有的質因數作除數，連續去除這幾個數，直到得出的商兩兩互質為止，然后把所有的除數和商邊乘起來，所得的積就是這幾個數的最小公倍數。例如：求8，12，18的最小公倍數。 2 8 12 18

10、 2 4 6 9 3 2 3 9 2 1 3此時，2，1，3這三個數兩兩互質了，除到此為止。8，12，18的最小公倍數是：2×2×3×2×1×372，也可以寫為8，12，18723、求兩個數最小公倍數的特殊情況：（1）當兩個數成倍數關系時，較大數就是這兩個數的最小公倍數。（2）當兩個數是互質數時，這兩個數的積就是它們的最小公倍數。第六部分知 識 梳 理一、分數的意義1、把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫做分數。例如： 的意義表示把單位“1”平均分成4份，表示這樣的一份，叫做 。 千克的意義表示把1千克平均分成10份，表示這

11、樣的3份，或把3千克平均分成10份，表示這樣的1份是 千克。2、分數是由分子、分數線、分母三部分組成的。分數線表示平均分，分母表示把單位“1”平均分成多少份，分子表示有這樣的幾份。3、把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數叫做分數單位。一個分數的分母是幾，它的分數單位就是幾分之一。例如： 的分數單位是 ； 的分數單位是 。4、一個分數的分母越小，分數單位越大；分母越大，分數單位越小。 讀作：七分之三；是把單位“1”平均分成7份，表示其中3份的數；分數單位是 ， 含有3個 。二、分數與除法1、分數可以看作兩個數相除，分數的分子相當于被除數，分母相當于除數，分數線相當于除號，分數值相當于商。

12、被除數÷除數 ，用字母表示：a÷b （b0）除法算式中除數不能是0，在分數中分母也不能為0。例如： 可以理解為把單位“1”平均分成8份，表示其中3份的數；也可以理解為把3平均分成8份，表示這樣的一份的數。2、一個分數的分子除以分母所得的商是這個分數的分數值。 例如： 3÷40.75，0.75就是分數 的分數值。3、求一個數是另一個數的幾分之幾的解題方法：一個數÷另一個數 ，得到的商表示的是兩個數的關系，沒有單位名稱。三、分數的分類1、真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于1。如： ， ， 。2、假分數：分子比分母大或分子和分母相等的分數叫做假分

13、數。假分數大于或等于1。如： ， ， 。3、帶分數：由整數（不包括0）和真分數合成的分數叫做帶分數。如： 可以寫成 3 。四、分數的轉化方法1、整數化成假分數：用指定的分母做分母，用整數與分母的積做分子。2、假分數化成整數或帶分數的方法：（1）用分子除以分母，當分子是分母的倍數時，能化成整數，商就是這個整數。 如： 16÷44（2）用分子除以分母，分子不是分母的倍數時，能化成帶分數，商是帶分數的整數部分，余數是分數部分的分子，分母不變。 如： 13÷52 3、帶分數化成假分數：用原分母做分母，用分母與整數的乘積再加是原來的分子做分子。例如：8 第七部分知 識 梳 理一、分數

14、的基本性質1、分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變，這就是分數的基本性質。例如： 2、利用分數的基本性質應明確以下要點：（1）分數的大小不變。（2）分子、分母進行同一種運算，只能是乘或除。（3）分子、分母乘或除以的是相同的數，而且必須是同時運算。（4）分子、分母乘或除以的數不能是0。3、利用分數的基本性質，可以把不同分母的分數化成同分母分數，也可以把一個分數化為指定分母的分數。例如：把 和 化成分母是12而大小不變的分數。 二、約分1、分子和分母只有公因數1的分數叫做最簡分數。例如： ， 是最簡分數。2、把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。

15、3、約分的方法：用分子和分母的公因數（1除外）去除分子、分母。通常要除到得出最簡分數為止。 例如： 4、約分的技巧：（1）當分數的分母是分子的倍數時，約分時分母和分子同時除以分子，約分后分子是1。（2）當分數的分母和分子都是整十、整百數時，約分時可以先劃去分子、分母末尾同樣多的0后再約分。（3）當分數的分子和分母都是偶數時，可以先用2去除。（4）互質的兩個數所組成的分數一定是最簡分數。（5）如果遇到帶分數約分時，只把它的分數部分約分，但約分后千萬別丟掉它的整數部分。5、特殊分數的約分：（1）分母是分子的整數倍，約分后是幾分之一。（2）分子、分母末尾有0的，先劃去同樣多的0，再約分。（3）對于假

16、分數，可以把假分數約分后，再化成帶分數；也可以先把假分數化成帶分數，再約分。但注意不要漏寫整數部分的數。第八部分知 識 梳 理一、通分1、公分母：把異分母分數化成同分母分數，這個相同的分母叫做它們的公分母，最小的一個叫做最小公分母。2、通分的意義：把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。3、通分的方法：先求出幾個分數分母的最小公倍數，用它作為這幾個分數的公分母，然后依據分數的基本性質，把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。例如：把 ， 和 通分。先求出3，5，10的最小公倍數是30。 4、通分時的幾種情況：（1）幾個分數的分母互質時，分母的乘積就是公分母。 例如：把 和

17、通分，3與4互質，因此公分母是3×412。（2）幾個分數的分母間成倍數關系時，其中較大的分母就是公分母。 例如：把 ， 和 通分，6是2，3的倍數，因此公分母就是6。（3）幾個分數的分母間沒有倍數關系，除了公因數1外，還有其他公因數，此時，分母的最小公倍數就是公分母。例如：把 和 通分，24和18的最小公倍數是72，因此72就是公分母。5、約分與通分的相同點和不同點：相同點：都是依據分數的基本性質，都要保持分數的大小不變。不同點：（1）約分只對一個分數進行，而通分至少對兩個分數進行。（2）約分是分子和分母同時除以一個相同的非零的數，而通分是分子和分母同時乘一個相同的非零的數。（3）約

18、分的結果是最簡分數，通分的結果是同分母分數。二、分數大小的比較1、分母相同的兩個分數，分子大的分數比較大。2、分子相同的兩個分數，分母小的分數比較大。3、分子、分母都不相同的分數，可以先把這幾個分數通分，化成分母相同的分數，再進行比較；也可以把這幾個分數轉化成同分子的分數，再比較大小。三、分數和小數的互化1、小數化分數：原來有幾位小數，就在1后面寫幾個0作分母，把原來的小數去掉小數點作分子，化成分數后，能約分的要約分。例如：0.9 0.03 0.425 1.211 2、分數化小數：（1）分母是10，100，1000，的分數化成小數，可以直接去掉分母，看分母1后面有幾個零，就在分子中從最后一位起

19、向左數出幾位，點上小數點。例如： 0.3 0.67 2 2.049（2）分母不是10，100，1000，的分數化成小數，用分子除以分母，除不盡時，按“四舍五入”法保留幾位小數。例如： 3÷40.75 7÷250.28 2÷90.22第九部分知 識 梳 理一、同分母分數加、減法1、分數加法的意義：和整數加法的意義相同，都是把兩個數合并成一個數的運算。2、分數減法的意義：和整數減法的意義相同，已知兩個數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。3、同分母分數加、減法的計算方法：分母不變，分子相加、減。二、異分母分數加、減法1、異分母分數加、減法的計算方法：先通分，化成

20、同分母分數，然后按照同分母分數加、減法的法則計算。2、在分數計算中，計算結果如果是假分數要化成帶分數或整數，如果結果不是最簡分數要化成最簡分數。3、分子是1的兩個異分母分數相加，可以用分母的積作新分母，分母的和作新分子，即： 4、分子是1的兩個異分母分數相減，可以用分母的積作新分母，分母的差作新分子，即： 5、在計算時，有時會出現分數和小數的混合運算。如果分數能化成有限小數，把分數化成小數計算較簡單；如果分數不能化成有限小數，應把小數化成分數再計算。例如： 1.02 0.25 1.02 1.27 0.5 三、分數加減混合運算1、分數加減混合運算的順序與整數加減混合運算的順序相同。沒有括號的，按

21、照從左到右的順序進行計算；有括號的，先算括號里面的，然后算括號外面的。第十部分知 識 梳 理一、長方體的認識1、長方體的特征：長方體是由6個長方形（特殊情況下有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形，相對的面完全相同；有12條棱，相對的4條棱長度相等；有8個頂點。2、相交于同一頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。二、正方體的認識1、正方體的特征：正方體的6個面完全相同，12條棱的長度完全相等，有8個頂點。2、正方體可以說是長、寬、高都相等的特殊的長方體。三、長方體和正方體的異同1、相同點：都有6個面、12條棱、8個頂點。 不同點：（1）長方體6個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形

22、，另外4個面完全相同），相對的2個面完全相同。正方體6個面都是正方形，6個面完全相同。（2）長方體相對的4條棱長度相等。正方體12條棱長度都相等。四、長方體和正方體的棱長總和1、長方體棱長總和（長寬高）×4 2、正方體棱長總和棱長×12 （abh）×4 12a 五、長方體和正方體的表面積1、表面積：長方體或正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。2、長方體的表面積：（1）上、下面：長×寬×2 （2）前、后面：長×高×2 （3）左、右面：寬×高×2長方體的表面積（長×寬長×高寬×高）×2 長×寬×2長×高×2寬×高×2 S （abahbh）×23、正方體的表面積棱長×棱長×