1、 面積計算（一）專題簡析：計算平面圖形的面積時，有些問題乍一看，在已知條件與所求問題之間找不到任何聯系，會使你感到無從下手。這時，如果我們能認真觀察圖形，分析、研究已知條件，并加以深化，再運用我們已有的基本幾何知識，適當添加輔助線，搭一座連通已知條件與所求問題的小“橋”，就會使你順利達到目的。有些平面圖形的面積計算必須借助于圖形本身的特征，添加一些輔助線，運用平移旋轉、剪拼組合等方法，對圖形進行恰當合理的變形，再經過分析推導，方能尋求出解題的途徑。例題1：181ABCFEDABCFED已知圖181中，三角形ABC的面積為8平方厘米，AEED，BD=BC，求陰影部分的面積。181【思路導航】陰影

2、部分為兩個三角形，但三角形AEF的面積無法直接計算。由于AE=ED,連接DF，可知SAEF=SEDF（等底等高），采用移補的方法，將所求陰影部分轉化為求三角形BDF的面積。 因為BD=BC，所以SBDF2SDCF。又因為AEED，所以SABFSBDF2SDCF。 因此，SABC5 SDCF。由于SABC8平方厘米，所以SDCF8÷51.6（平方厘米），則陰影部分的面積為1.6×23.2（平方厘米）。練習11、 如圖182所示，AEED，BC=3BD，SABC30平方厘米。求陰影部分的面積。2、 如圖183所示，AE=ED，DCBD，SABC21平方厘米。求陰影部分的面積。A

3、BCFEDAA3、 如圖184所示，DEAE，BD2DC，SEBD5平方厘米。求三角形ABC的面積。FFEEDBCCDB184183182例題2：兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形，如圖185所示，已知兩個三角形的面積，求另兩個三角形的面積各是多少？BCDAO612185【思路導航】已知SBOC是SDOC的2倍，且高相等，可知：BO2DO；從SABD與SACD相等（等底等高）可知：SABO等于6，而ABO與AOD的高相等，底是AOD的2倍。所以AOD的面積為6÷23。因為SABD與SACD等底等高 所以SABO6因為SBOC是SDOC的2倍 所以ABO是AOD的2倍所以AOD6

4、÷23。 答：AOD的面積是3。練習21、 兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形，（如圖186所示），已知兩個三角形的面積，求另兩個三角形的面積是多少？2、 已知AOOC，求梯形ABCD的面積（如圖187所示）。BCDAO3、 已知三角形AOB的面積為15平方厘米，線段OB的長度為OD的3倍。求梯形ABCD的面積。（如圖188所示）。BCDAO4BCDAO848188187186例題3：D四邊形ABCD的對角線BD被E、F兩點三等分，且四邊形AECF的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖189所示）。FAE189CB【思路導航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、

5、AEF、AFD是等底等高的三角形，它們的面積相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面積也相等。由此可知，三角形ABD的面積是三角形AEF面積的3倍，三角形BCD的面積是三角形CEF面積的3倍，從而得出四邊形ABCD的面積是四邊形AECF面積的3倍。 15×345（平方厘米） 答：四邊形ABCD的面積為45平方厘米。練習31、 四邊形ABCD的對角線BD被E、F、G三點四等分，且四邊形AECG的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖1810）。2、 已知四邊形ABCD的對角線被E、F、G三點四等分，且陰影部分面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖1811所示）。

6、3、 如圖1812所示，求陰影部分的面積（ABCD為正方形）。6EADADDEGA4F·FGCBCBECB181218111810例題4：BADCO如圖1813所示，BO2DO，陰影部分的面積是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面積是多少平方厘米？E1813【思路導航】因為BO2DO，取BO中點E，連接AE。根據三角形等底等高面積相等的性質，可知SDBCSCDA；SCOBSDOA4，類推可得每個三角形的面積。所以， SCDO4÷22（平方厘米） SDAB4×312平方厘米 S梯形ABCD12+4+218（平方厘米） 答：梯形ABCD的面積是18平方厘米。練習41、

7、如圖1814所示，陰影部分面積是4平方厘米，OC2AO。求梯形面積。2、 已知OC2AO，SBOC14平方厘米。求梯形的面積（如圖1815所示）。D3、 已知SAOB6平方厘米。OC3AO，求梯形的面積（如圖1816所示）。OADABADCOO1816CB18151814CB例5：如圖1817所示，長方形ADEF的面積是16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，求三角形ABC的面積。AFFACCEDEDB1817【思路導航】連接AE。仔細觀察添加輔助線AE后，使問題可有如下解法。 由圖上看出：三角形ADE的面積等于長方形面積的一半（16÷2）8。用8減去3得到三角形ABE

8、的面積為5。同理，用8減去4得到三角形AEC的面積也為4。因此可知三角形AEC與三角形ACF等底等高，C為EF的中點，而三角形ABE與三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面積為5÷22.5，所以，三角形ABC的面積為16342.56.5。練習51、 如圖1818所示，長方形ABCD的面積是20平方厘米，三角形ADF的面積為5平方厘米，三角形ABE的面積為7平方厘米，求三角形AEF的面積。2、 如圖1819所示，長方形ABCD的面積為20平方厘米，SABE4平方厘米，SAFD6平方厘米，求三角形AEF的面積。3、 如圖1820所示，長方形ABCD的面積為24平方厘米

9、，三角形ABE、AFD的面積均為4平方厘米，求三角形AEF的面積。ADDCBAFDAFFCCEBE1819BE1820181818答案：練11、 30÷5×212平方厘米2、 21÷7×39平方厘米3、 5×3÷22平方厘米練21、 4÷22 8÷242、 8×216 16+8×2+4363、 15×345 15+5+15+4580練31、 15×230平方厘米2、 15×460平方厘米3、 6×6÷26×4÷26平方厘米 6

10、×2÷43平方厘米（6+3）×6÷227平方厘米練41、 4×28平方厘米 8×216平方厘米 16+8+8+436平方厘米2、 14÷27平方厘米 7÷23.5平方厘米 14+7+7+3.531.5平方厘米3、 6×（3+1）24 6÷32 24+6+232練51、 20÷273 3×1.5 20751.56.52、 20÷210 （104）×2 2064273、 24÷212平方厘米 （124）×（1）5平方厘米 2444510平方

11、厘米面積計算（二）專題簡析：在進行組合圖形的面積計算時，要仔細觀察，認真思考，看清組合圖形是由幾個基本單位組成的，還要找出圖中的隱蔽條件與已知條件和要求的問題間的關系。例題1：求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）。666666191【思路導航】如圖191所示的特點，陰影部分的面積可以拼成圓的面積。 62×3.14×28.26（平方厘米） 答：陰影部分的面積是28.26平方厘米。練習1求下面各個圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）。619219310194例題2：求圖195中陰影部分的面積（單位：厘米）。4196195【思路導航】陰影部分通過翻折移動位置后，構成了一個新的圖形（如

12、圖196所示），從圖中可以看出陰影部分的面積等于大扇形的面積減去大三角形面積的一半。 3.14×42×4×4÷2÷28.56（平方厘米） 答：陰影部分的面積是8.56平方厘米。練習2計算下面圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）。198199197例題3：如圖1910所示，兩圓半徑都是1厘米，且圖中兩個陰影部分的面積相等。長方形ABO1O的面積。BAOO11910【思路導航】因為兩圓的半徑相等，所以兩個扇形中的空白部分相等。又因為圖中兩個陰影部分的面積相等，所以扇形的面積等于長方形面積的一半（如圖1910右圖所示）。所以 3.14×12&

13、#215;×21.57（平方厘米） 答：長方形長方形ABO1O的面積是1.57平方厘米。練習3CACBD81、 如圖1911所示，圓的周長為12.56厘米，AC兩點把圓分成相等的兩段弧，陰影部分（1）的面積與陰影部分（2）的面積相等，求平行四邊形ABCD的面積。DACB12BAO1913191219112、 如圖1912所示，直徑BC8厘米，ABAC，D為AC的重點，求陰影部分的面積。3、 如圖1913所示，ABBC8厘米，求陰影部分的面積。例題4：如圖1914所示，求陰影部分的面積（單位：厘米）。CII6BDIEBBA4B1914【思路導航】我們可以把三角形ABC看成是長方形的一部

14、分，把它還原成長方形后（如右圖所示），因為原大三角形的面積與后加上的三角形面積相等，并且空白部分的兩組三角形面積分別相等，所以I和II的面積相等。 6×424（平方厘米） 答：陰影部分的面積是24平方厘米。練習41、 如圖1915所示，求四邊形ABCD的面積。2、 如圖1916所示，BE長5厘米，長方形AEFD面積是38平方厘米。求CD的長度。C3、 圖1917是兩個完全一樣的直角三角形重疊在一起，按照圖中的已知條件求陰影部分的面積（單位：厘米）。C3BA457FDD38B40305EA120191619151917例題5：如圖1918所示，圖中圓的直徑AB是4厘米，平行四邊形ABC

15、D的面積是7平方厘米，ABC30度，求陰影部分的面積（得數保留兩位小數）。COBADDCOBA1918【思路導航】陰影部分的面積等于平行四邊形的面積減去扇形AOC的面積，再減去三角形BOC的面積。 半徑：4÷22（厘米） 扇形的圓心角：180（18030×2）60（度） 扇形的面積：2×2×3.14×2.09（平方厘米） 三角形BOC的面積：7÷2÷21.75（平方厘米） 7（2.09+1.75）3.16（平方厘米） 答：陰影部分的面積是3.16平方厘米。練習51、 如圖1919所示，115度，圓的周長位62.8厘米，平行四

16、邊形的面積為100平方厘米。求陰影部分的面積（得數保留兩位小數）。2、 如圖1920所示，三角形ABC的面積是31.2平方厘米，圓的直徑AC6厘米，BD：DC3：1。求陰影部分的面積。19203、 如圖1921所示，求陰影部分的面積（單位：厘米。得數保留兩位小數）。 19答案：練11、 圖答191陰影部分的面積為：6×6×18平方厘米2、 圖答192陰影部分的面積為：6×636平方厘米3、 圖答193陰影部分的面積為：10×（10÷2）××250平方厘米練21、 圖答194中陰影部分的面積為：（2+2）×28平方厘

17、米2、 圖答5陰影部分的面積為：4×4×8平方厘米3、 圖答196陰影部分的面積為：42×3.14×4×4×4.56平方厘米練31、 圖答197中，陰影部分（1）的面積與陰影部分（2）的面積相等。所以，平行四邊形的面積和圓的面積相等。因此，平行四邊形ABCD的面積是：（12.56÷3.14÷2）2×3.1412.56平方厘米2、 （8÷2）2×3.14×12.56平方厘米3、 （8÷2）2×3.14×+（8÷2）×20.56平

18、方厘米 第二題和第三題，陰影部分的面積通過等積變形后可知。如圖答197和圖答198所示。練41、 如圖答199所示：延長BC和AD相距與E，四邊形ABCD的面積是：7×7×3×3×20平方厘米2、 如圖答1910所示，因為S1S2，所以CD38÷57.6厘米3、 如圖答1911所示：陰影部分面積等于梯形的面積，其面積為：（120+12040）×30÷23000平方厘米練51、 如圖答1912所示圓心角AOB的度數為180（18015×2）30度平行四邊形內一個小弓形的面積為（62.8÷3.14÷

19、2）2×3.14×100÷41.17平方厘米 陰影部分的面積為100÷21.1748.83平方厘米2、 如圖答1913所示：圓心角AOD的度數為180（18060×2）120度扇形AOD的面積為（6÷2）2×3.14×9.42平方厘米陰影部分的面積為9.4231.2××5.52平方厘米3、 如圖答1914（1）所示：圓心角AOC的度數為18030×2120度扇形AOC的面積（12÷2）2×3.14×37.68平方厘米三角形AOC的面積為（12÷2

20、）×5.2×15.6平方厘米陰影部分的面積37.6815.622.08平方厘米如圖答1914（2）所示圓心角BOC的讀書180（18030×2）60度扇形ABD的面積602×3.14×942平方厘米三角形AOC的面積（60÷2）×26×390平方厘米扇形BOC的面積（60÷2）×3.14×471平方厘米陰影部分的面積94239047181平方厘米面積計算（三）專題簡析：對于一些比較復雜的組合圖形，有時直接分解有一定的困難，這時，可以通過把其中的部分圖形進行平移、翻折或旋轉，化難為易。有

21、些圖形可以根據“容斥問題“的原理來解答。在圓的半徑r用小學知識無法求出時，可以把“r2”整體地代入面積公式求面積。例題1。如圖201所示，求圖中陰影部分的面積。45104510202201【思路導航】解法一：陰影部分的一半，可以看做是扇形中減去一個等腰直角三角形（如圖202），等腰直角三角形的斜邊等于圓的半徑，斜邊上的高等于斜邊的一半，圓的半徑為20÷210厘米 【3.14×102×10×（10÷2）】×2107（平方厘米） 答：陰影部分的面積是107平方厘米。解法二：以等腰三角形底的中點為中心點。把圖的右半部分向下旋轉90度后，陰影

22、部分的面積就變為從半徑為10厘米的半圓面積中，減去兩直角邊為10厘米的等腰直角三角形的面積所得的差。45203 （20÷2）2×（20÷2）2×107（平方厘米） 答：陰影部分的面積是107平方厘米。練習11、 如圖204所示，求陰影部分的面積（單位：厘米） 2、 如圖205所示，用一張斜邊為29厘米的紅色直角三角形紙片，一張斜邊為49厘米的藍色直角三角形紙片，一張黃色的正方形紙片，拼成一個直角三角形。求紅藍兩張三角形紙片面積之和是多少？例題2：如圖206所示，求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）。4 6 206【思路導航】解法一：先用長方形的面積減去小扇

23、形的面積，得空白部分（a）的面積，再用大扇形的面積減去空白部分（a）的面積。如圖207所示。 3.14×62×（6×43.14×42×）16.82（平方厘米）減去a207解法二：把陰影部分看作（1）和（2）兩部分如圖208所示。把大、小兩個扇形面積相加，剛好多計算了空白部分和陰影（1）的面積，即長方形的面積。減加（2）（1）208 3.14×42×+3.14×62×4×616.28（平方厘米） 答：陰影部分的面積是16.82平方厘米。1、 如圖209所示，ABC是等腰直角三角形，求陰影部分的面積

24、（單位：厘米）。 2、 如圖2010所示，三角形ABC是直角三角形，AC長4厘米，BC長2厘米。以AC、BC為直徑畫半圓，兩個半圓的交點在AB邊上。求圖中陰影部分的面積。3、 如圖2011所示，圖中平行四邊形的一個角為600，兩條邊的長分別為6厘米和8厘米，高為5.2厘米。求圖中陰影部分的面積例題3。在圖2012中，正方形的邊長是10厘米，求圖中陰影部分的面積。201420132012【思路導航】解法一：先用正方形的面積減去一個整圓的面積，得空部分的一半（如圖2013所示），再用正方形的面積減去全部空白部分。 空白部分的一半：10×10（10÷2）2×3.1421

25、.5（平方厘米） 陰影部分的面積：10×1021.5×257（平方厘米）解法二：把圖中8個扇形的面積加在一起，正好多算了一個正方形（如圖2014所示），而8個扇形的面積又正好等于兩個整圓的面積。 （10÷2）2×3.14×210×1057（平方厘米） 答：陰影部分的面積是57平方厘米。練習3求下面各圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）。3410105201720162015例題4。在正方形ABCD中，AC6厘米。求陰影部分的面積。DCBADCBA2018【思路導航】這道題的難點在于正方形的邊長未知，這樣扇形的半徑也就不知道。但我們可以看

26、出，AC是等腰直角三角形ACD的斜邊。根據等腰直角三角形的對稱性可知，斜邊上的高等于斜邊的一半（如圖2018所示），我們可以求出等腰直角三角形ACD的面積，進而求出正方形ABCD的面積，即扇形半徑的平方。這樣雖然半徑未求出，但可以求出半徑的平方，也可以把半徑的平方直接代入圓面積公式計算。既是正方形的面積，又是半徑的平方為：6×（6÷2）×218（平方厘米）陰影部分的面積為：1818×3.14÷43.87（平方厘米） 答：陰影部分的面積是3.87平方厘米。練習41、 如圖2019、2020所示，圖形中正方形的面積都是50平方厘米，分別求出每個圖形

27、中陰影部分的面積。2、 如圖2021所示，正方形中對角線長10厘米，過正方形兩個相對的頂點以其邊長為半徑分別做弧。求圖形中陰影部分的面積（試一試，你能想出幾種辦法）。202120202019例題5。在圖2022的扇形中，正方形的面積是30平方厘米。求陰影部分的面積。ABAB2022【思路導航】陰影部分的面積等于扇形的面積減去正方形的面積。可是扇形的半徑未知，又無法求出，所以我們尋求正方形的面積與扇形面積的半徑之間的關系。我們以扇形的半徑為邊長做一個新的正方形（如圖2023所示），從圖中可以看出，新正方形的面積是30×260平方厘米，即扇形半徑的平方等于60。這樣雖然半徑未求出，但能求

28、出半徑的平方，再把半徑的平等直接代入公式計算。 3.14×（30×2）×3017.1（平方厘米） 答：陰影部分的面積是17.1平方厘米。練習51、 如圖2024所示，平行四邊形的面積是100平方厘米，求陰影部分的面積。2、 如圖2025所示，O是小圓的圓心，CO垂直于AB,三角形ABC的面積是45平方厘米，求陰影部分的面積。AAD3、 如圖2026所示，半圓的面積是62.8平方厘米，求陰影部分的面積。OCCBO45B202620252024答案：練11、 如圖答201所示，因三角形BCD中BC邊上高等于BC的一半，所以陰影部分的面積是：62×3.14&#

29、215;6×（6÷2）×5.13平方厘米2、 如圖答202所示，將紅色直角三角形紙片旋轉900，紅色和藍色的兩個直角三角形就拼成了一個直角邊分別是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面積為： 49×29×710.5平方厘米練21、 如圖答203所示，可以看做兩個半圓重疊在一起，從中減去一個三角形的面積就得到陰影部分的面積。 （2÷2）2×3.14××22×2×1.14平方厘米2、 思路與第一題相同 （4÷2）2×3.14×+（2÷2）2×3.14×4×2×3.85平方厘米3、 如圖答204所示，用大小兩個扇形面積和減去一個平行四邊形的面積，即得到陰影部分的一半，因此陰影部分的面積是： 【（82+62）×3.14×8×5.2】×221平方厘米練31、 如圖答205所示，陰影部分的面積等于四個半圓的面積減去一個正方形的面積，即： （10÷2）2×3.14×