1、中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)考點(diǎn)大通關(guān)二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考必考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一.下面就這部分內(nèi)容的主要考點(diǎn)分類解析，希望能對(duì)讀者有所幫助.通關(guān)一：求二次函數(shù)的解析式(一)利用定義求解2例1 若函數(shù)y =(m -m)xm m 是二次函數(shù)，則此二次函數(shù)的解析式是.2解析:根據(jù)二次函數(shù)的定義，函數(shù) y = (m2-m)xm 42m是二次函數(shù)需滿足兩個(gè)條件:未知數(shù)的系數(shù) m2m00,未知數(shù)的次數(shù) m2+2m1 = 2.由題意，得m2 2m -1 =22.m - m = 0解得m - -3.2m2 -2m-12將 m = -3 代入 y=(m -m)x，得 y=12x.故填 y =12x2. 2(二

2、)利用一般式y(tǒng) = ax +bx+c(a00)求解例2如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中， 一拋物線經(jīng)過 A,B,C三點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E ,它的頂點(diǎn)為點(diǎn) D.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.(2)求這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).(3)填空:把這個(gè)二次函數(shù)的圖象沿坐標(biāo)軸方向最少平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，可使得 該圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn).2解析：由二次函數(shù)的一般式 y=ax +bx + c(a#0)可知，只要知道這個(gè)二次函數(shù)圖象上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出該二次函數(shù)的解析式 2(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax +bx + c(a00).由圖象可知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0), B(0,3), C(2,3).將三

3、個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得a - b c。c = 3,4a 2b c =3解得所以這個(gè)二次函數(shù)圖象的解析式為y = -x2 2x 3.(2)因?yàn)?y = -x2 +2x+3 = (x1)2 + 4,所以這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 4).(3)因?yàn)辄c(diǎn)(1,4)變?yōu)辄c(diǎn)(0,0),需要向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，所以應(yīng)最少平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，才能使得該圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn).(三)利用頂點(diǎn)式y(tǒng) = a(xh)2+k(a#0)求解, 一一 ，,一，一2一一一一一例3在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y = ax +bx + c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 1),且過點(diǎn)(2,7),求該二次函數(shù)的解析式.解

4、析：當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或二次函數(shù)的最大(小)值時(shí)，將二次函數(shù)的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng) =a(xh)2+k(a =0)來求解較為簡(jiǎn)便.根據(jù)題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y = a(x 2)2 -1.把(2,7)代入解析式，得7 = a(x +2)2 -1.解得a = 1.21 2 r 12所以該二次函數(shù)的解析式為y= (x + 2) -1,即y=x +2x+1 .2 2(四)利用交點(diǎn)式y(tǒng) = a(xx1)(x x2)(a #0)求解例4如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，一拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P(3,-2),且拋物線在x軸上截得的線段AB長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，求這個(gè)函數(shù)的解析式.2解析：當(dāng)已知二次函數(shù) y =

5、ax +bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(%,0),(x2,0)時(shí)，將二次函數(shù)的解析式設(shè)為 y = a(x -x1)(x -x2)(a #0)來求解比較簡(jiǎn)便.因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為點(diǎn)P(3,-2),且拋物線在x軸上截得的線段 AB長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，所以拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn) A(1,0),點(diǎn)B(5,0).設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y = a(x-1)(x 5).將點(diǎn) P(3, -2),得-2 =a(3 -1)x(3-5).解得a = 1. 2 11 25所以這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y = (x -1) (x -5),即y = x -3x +.小結(jié):求二次函數(shù)解析式的常用方法是待定系數(shù)法.當(dāng)給定的條件

6、不同時(shí)，所設(shè)的解析式也不一樣，具體如下表所示：形式函數(shù)解析式適用范圍一般式給出拋物線上任意三點(diǎn)的 坐標(biāo)頂點(diǎn)式給出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) (忙兒)或?qū)ΨQ軸或函數(shù)最 大(小)值交點(diǎn)式中-卻)伏一祀)(0)給出拋物線與，軸的交點(diǎn) 坐標(biāo)通關(guān)二：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系例5在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y = ax2+bx+c(a= 0)的圖象如圖3所示，給出下列四個(gè)結(jié)論：4ac-b2 <0,4a+c<2b,3b+2c<0,m(am+b)+b <a(m # T),其中正確的結(jié)論有().尸一1B.3個(gè)D.1個(gè)A.4個(gè)C.2個(gè)2一2解析:觀祭圖象，因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以 b -4

7、ac >0 ,即4ac-b < 0 .結(jié)論正確.因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是直線x = -1，拋物線和x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（1,0）之間，所以拋物線和x軸的另一個(gè)交點(diǎn)應(yīng)在點(diǎn)（一3,0）和點(diǎn)（一2, 0）之間.所以當(dāng)x = 2時(shí)，y=4a2b+c>0,即 4a+c a2b.結(jié)論錯(cuò)誤因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，y = a+b+c<0,所以2a十2b十2c < 0.又因?yàn)閎=2a,所以 3b +2c<0 .結(jié)論正確.因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是直線 x = -1,所以y=a-b+c的值最大.當(dāng)x = m時(shí)，2.2.r,，* 人y =am + bm +c,所以 am +bm+c&l

8、t;a-b+c ,即 m（am + b）+ b c a .結(jié)論正確.因此，正確的結(jié)論有 3個(gè).故選B.小結(jié)二次函數(shù)y =ax2+bx + c（a=0）的圖象是一條拋物線， 開口方向由a決定.當(dāng)a>0 時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)2<0時(shí)，拋物線開口向下.拋物線的對(duì)稱軸是直線 x =-旦，頂點(diǎn)2a坐標(biāo)是（b2a4ac -b4a通關(guān)三：拋物線的平移、旋轉(zhuǎn)和翻折（一）由拋物線的平移來求新得二次函數(shù)的解析式. 1 23 . 例6在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=x +x+的圖象先向右平移 2個(gè)單位22長(zhǎng)度，再向上平移 6個(gè)單位長(zhǎng)度，所得二次函數(shù)的解析式為 .解析:本題應(yīng)先將二次函數(shù)的解析式化為頂

9、點(diǎn)式的形式，再根據(jù)平移規(guī)律確定平移后所 得的函數(shù)解析式.1 231 ,/、2c因?yàn)?y = X +x + = (X1) +2,222所得二次函數(shù)的解析所以拋物線先向右平移 2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度,121 ._.2-1 2 一 7式應(yīng)為 y = (x -1 -2) +2 + 6 ,即 y = (x -3) +8 ,也就是 y = - x +3x +.222212八 7故填 y = _ -x 3x .22(二)由拋物線的旋轉(zhuǎn)來求新得二次函數(shù)的解析式例7已知二次函數(shù)y =3x2-6x-5,在平面直角坐標(biāo)系中，將其圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180o,求旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)解析式.解析:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特

10、征可知，將拋物線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o后，所得到的拋物線與原拋物線的形狀相同，但開口方向變化了，頂點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)是原拋物線頂點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的相反數(shù)一 22 一因?yàn)?y =3x 6x5=3(x1) -8所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-8).所以將拋物線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180o后所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,8).所以旋轉(zhuǎn)后的二次函數(shù)的解析式為y = 3(x+1)2 + 8 = 3x2 6x + 5.(三)由拋物線的翻折來求新得二次函數(shù)的解析式例8在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y = 2x2 + 4x -3的圖象按下列要求進(jìn)行翻折變換，求翻折后所得二次函數(shù)的解析式.沿y軸翻折.(2)沿x軸翻折.解析：(1

11、)拋物線沿y軸翻折只改變拋物線的頂點(diǎn)位置，不改變拋物線的開口方向及開口 大小.因?yàn)?y =2x2+4x3 = 2(x+1)2_5,所以翻折前拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-5).所以翻折后所得新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-5).所以翻折后所得新的二次函數(shù)的解析式為y = 2(x1)25,即y = 2x24x3.(2)拋物線沿x軸翻折將同時(shí)改變拋物線的開口方向及頂點(diǎn)位置，但拋物線的開口大小 不變.因?yàn)閽佄锞€沿x軸翻折后所得新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(T,5),22所以翻折后所得新的二次函數(shù)的解析式為y = 2(x+1) +5,即y = 2x 4x+3.小結(jié):在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象作平移、旋轉(zhuǎn)或

12、軸對(duì)稱變換，有如下規(guī)律:變換方式拋物線的變化情況平移上下平移拋物線開口才向不變，拋物 線上各點(diǎn)的城坐標(biāo)發(fā)生變 化上加下戒”，平移幾個(gè) 單位長(zhǎng)度就加或減兒左右平移拋物線開口方向不變，拋物 線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)發(fā)生變 化左加右或”，平移幾個(gè) 單位長(zhǎng)度就加或減幾旋轉(zhuǎn)繞原點(diǎn)液轉(zhuǎn) 180°拋物線開口方向改變，頂點(diǎn) 的橫、縱坐標(biāo)與原拋物殘頂 點(diǎn)的懂、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)軸對(duì)稱以H軸為 對(duì)赤軸拋物線開口才南改變，頂點(diǎn) 坐標(biāo)的橫坐標(biāo)不變.姒坐標(biāo) 與原拋物線頂點(diǎn)的蟻?zhàn)鴺?biāo) 互為相反數(shù)以了軸力對(duì)稱軸拋物線開口方向不變，頂點(diǎn) 坐標(biāo)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo) 與原拋物線郁點(diǎn).的橫坐標(biāo) 互為相反效通關(guān)四：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

13、例9 已知二次函數(shù) y =ax2+bx + c（其中a A0,b <0,c <0）,關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的圖 象有如下說法：開口一定向上：頂點(diǎn)一定在第四象限；與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在 y軸 的右側(cè).以上說法正確的個(gè)數(shù)為（）.A .0B .1C.2D.3解析：因?yàn)閍 >0,所以這個(gè)二次函數(shù)圖象的開口一定向上.說法正確.因?yàn)閍 >0,b <0 ,所以這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸位于y軸的右側(cè).又由于c<0 ,所以可以判斷圖象的頂點(diǎn)一定在第四象限.說法正確.因?yàn)閳D象的開口向上，對(duì)稱軸位于y軸的右側(cè)，c<0,所以圖象與x軸的交點(diǎn)只有一個(gè)在y軸的右側(cè).說法錯(cuò)誤.所以說法

14、正確的有 2個(gè).故選C.一，一 ，一、“，2b -小結(jié):對(duì)于二次函數(shù) y=ax +bx+c （a ¥ 0）的圖象，如果a > 0 ,那么當(dāng)x > -時(shí), 2ab_by隨x的增大而增大，當(dāng)x一 時(shí)，y隨x的增大而減小；如果a <0 ,那么當(dāng)x>一 時(shí), 2a2a by隨x增大而減小，當(dāng)x < -時(shí)，y隨x的增大而增大.2a通關(guān)五：利用拋物線的對(duì)稱軸解題(一)利用對(duì)稱軸求解析式例10在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y = ax2 +bx + c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為 6,求此二次函數(shù)的解析式.解析：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1

15、,4),所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x = -1.又因?yàn)閽佄锞€與x軸兩交點(diǎn)的距離為 6,所以兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m =-1-3,x2 =-1+ 3 ,即兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-4,0),(2,0),求函數(shù)的解析式有以下兩種方法：2.解法1：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y = a(x+1) +4.4把(2,0)代入，解得a =.9一 一.，4 ,、2 r4 2832所以二次函數(shù)的解析式為y = (x+1) +4,即y = x x+.9999解法2:設(shè)二次函數(shù)的解析式為y = a(x+4)(x-2). 4把(一1,4)代入，解得a =.94 . .4 2 832 所以二次函數(shù)的解析式為y = (x + 4)(x

16、 -2),即y = x x十.9999(二)利用對(duì)稱軸比大小233例11已知二次函數(shù) y = x 3x 4 ,右x2- >一x1 >0,試比較V1與y2的大小.2 22 一 33解析：因?yàn)橐淮魏瘮?shù) y = x 3x4的圖象的對(duì)稱軸為直線 x=一,且x1A0,223八*2 、0 .2所以x1在對(duì)稱軸的左側(cè)，x2在對(duì)稱軸的右側(cè). 33 33因?yàn)閤1到對(duì)稱軸直線x =的距離為-x1, x2到對(duì)稱軸直線x =的距離為x2 -.33因?yàn)閤2-x1 >0 ,即x2到對(duì)稱軸距離大于 x1到對(duì)稱軸的距離，22所以、2 y1.(三)利用對(duì)稱軸解答方程問題2例12若關(guān)于x的方程x + px+1

17、=0(p>0)的兩根之差為1,則p等于().B. 4A. 2C.、,3D. .5解析:設(shè)方程x2 + px+1 =0的兩根為x1,x2,則二次函數(shù) y = x2 + px + 1的圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1,0）,（ x2,0）.一2因?yàn)槎魏瘮?shù) y = x + px +1的圖象的對(duì)稱軸為直線x.衛(wèi) x2一p 1 p 1所以 x= -上,x2 =-2 22 2因?yàn)?x1gx2 =1 ,解得p2 =5.因?yàn)閜>0,所以p = % 5 .，一 ,一，2b小結(jié):二次函數(shù)y = ax + bx + c（a = 0）的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸是直線x =2 a如果拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)的話， 那么對(duì)稱軸垂直平分兩交點(diǎn)所連的線段，即兩交點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等.通關(guān)六：二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系2例13下表是二次函數(shù) y=ax +bx+c的自變重x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值，判斷萬(wàn)程ax2+bx+c =0（ a *0 , a,b, c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍是（）.X6.176.186J9GOy = ax1