1、2021/3/91豐城九中高一數(shù)學組豐城九中高一數(shù)學組2021/3/922021/3/93從數(shù)列表示的角度理解數(shù)列的函數(shù)特性從數(shù)列表示的角度理解數(shù)列的函數(shù)特性數(shù)列是一種特殊函數(shù)數(shù)列是一種特殊函數(shù), ,其定義域是正整數(shù)集其定義域是正整數(shù)集N N+ +( (或它的有限子或它的有限子集集 1, 2, 3 1, 2, 3，, n) , n) ,值域是當自變量順次從小到大依次值域是當自變量順次從小到大依次取值時的對應值取值時的對應值. .2021/3/94000000002021/3/95000000002021/3/962021/3/97確定數(shù)列的增減性確定數(shù)列的增減性 確定數(shù)列的增減性的方法確定數(shù)列

2、的增減性的方法判斷數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列判斷數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列, ,關鍵是比較相鄰兩項關鍵是比較相鄰兩項a an+1n+1與與a an n的大小的大小, ,常見的比較方法有兩種：常見的比較方法有兩種：一是作差比較法一是作差比較法. .(1)a(1)an+1n+1-a-an n00a an+1n+1aan n數(shù)列數(shù)列aan n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. .(2)a(2)an+1n+1-a-an n00a an+1n+1aan n數(shù)列數(shù)列aan n 是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列. .(3)a(3)an+1n+1-a-an n=0=0a an+1n+1=a=an n數(shù)列數(shù)列aan n 是常數(shù)列是常

3、數(shù)列. .2021/3/98二是作商比較法，若數(shù)列的通項公式為根式形式二是作商比較法，若數(shù)列的通項公式為根式形式, ,用作商法用作商法比作差法更簡便一些比作差法更簡便一些. .a an n0 0遞增數(shù)列遞增數(shù)列遞減數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列常數(shù)列a an n0 0遞減數(shù)列遞減數(shù)列遞增數(shù)列遞增數(shù)列常數(shù)列常數(shù)列n 1na1an 1na01an 1na1a2021/3/99 在利用作商比較法時，要確保數(shù)列的每一項在利用作商比較法時，要確保數(shù)列的每一項都不是零，再確認相鄰兩項的正負，然后進行比較都不是零，再確認相鄰兩項的正負，然后進行比較. .2021/3/910【例【例1 1】已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的

4、通項公式為的通項公式為a an n= -8n= -8n，判斷數(shù)列，判斷數(shù)列aan n 的單調性的單調性. .【審題指導】【審題指導】解決本題的關鍵是正確采取比較的方式，比解決本題的關鍵是正確采取比較的方式，比較較a an+1n+1與與a an n的大小，也可用函數(shù)的觀點判斷的大小，也可用函數(shù)的觀點判斷. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】方法一：根據(jù)題意可知方法一：根據(jù)題意可知 則則a an+1n+1-a-an n= (n+1)= (n+1)2 2-8(n+1)-( n-8(n+1)-( n2 2-8n)-8n) 由數(shù)列的定義域為正整數(shù)集可知，當由數(shù)列的定義域為正整數(shù)集可知，當0n80n8時，時，a

5、an+1n+1-a-an n000，數(shù)列是，數(shù)列是遞增數(shù)列遞增數(shù)列. .2n1an8n2，121215n2，21n22021/3/911方法二：由于本題數(shù)列的通項公式為方法二：由于本題數(shù)列的通項公式為a an n= n= n2 2-8n-8n對應的函數(shù)對應的函數(shù)是是f(x)= xf(x)= x2 2-8x-8x，定義域為正整數(shù)集，根據(jù)函數(shù)的單調性，定義域為正整數(shù)集，根據(jù)函數(shù)的單調性可知：對稱軸是可知：對稱軸是x=8x=8，所以當，所以當0n80n00，所以數(shù)列，所以數(shù)列nn2 2+5n+5n是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. .方法二：由于本題數(shù)列的通項公式為方法二：由于本題數(shù)列的通項公式為a an n=

6、n=n2 2+5n+5n對應的函數(shù)是對應的函數(shù)是f(x)=xf(x)=x2 2+5x+5x，定義域為正整數(shù)集，對稱軸是，定義域為正整數(shù)集，對稱軸是 ，根據(jù)，根據(jù)函數(shù)的單調性可知：數(shù)列函數(shù)的單調性可知：數(shù)列nn2 2+5n+5n是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. .5x2 2021/3/913 【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】在利用函數(shù)的單調性判斷數(shù)列的單調在利用函數(shù)的單調性判斷數(shù)列的單調性時，一定要注意函數(shù)與數(shù)列的區(qū)別是數(shù)列的定義域為正性時，一定要注意函數(shù)與數(shù)列的區(qū)別是數(shù)列的定義域為正整數(shù)集，然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸和單調性進行判斷整數(shù)集，然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸和單調性進行判斷. .2021/3/914 數(shù)列的函數(shù)性質

7、的應用數(shù)列的函數(shù)性質的應用數(shù)列是特殊的函數(shù)，由數(shù)列的項與項數(shù)之間構成特殊的函數(shù)列是特殊的函數(shù)，由數(shù)列的項與項數(shù)之間構成特殊的函數(shù)關系可知：數(shù)列的通項數(shù)關系可知：數(shù)列的通項a an n與與n n的關系公式就是函數(shù)的關系公式就是函數(shù)f(x)f(x)的的解析式解析式, ,所以根據(jù)函數(shù)解析式得出數(shù)列的通項公式是重要途所以根據(jù)函數(shù)解析式得出數(shù)列的通項公式是重要途徑徑. .數(shù)列的函數(shù)性質的應用數(shù)列的函數(shù)性質的應用2021/3/915【例【例2 2】設函數(shù)】設函數(shù)f(x)f(x)loglog2 2x xloglogx x2(0 x1)2(0 x1)，數(shù)列，數(shù)列aan n 滿足滿足f( )=2n(nNf( )

8、=2n(nN+ +).).(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式；的通項公式；(2)(2)判斷數(shù)列的單調性判斷數(shù)列的單調性. .【審題指導】【審題指導】解決本題的關鍵是把函數(shù)的解析式通過關系解決本題的關鍵是把函數(shù)的解析式通過關系式轉化求解得到數(shù)列的通項公式，然后再根據(jù)通項公式進式轉化求解得到數(shù)列的通項公式，然后再根據(jù)通項公式進行作差，判斷與零的大小或者作商判斷與行作差，判斷與零的大小或者作商判斷與1 1的大小，從而判的大小，從而判斷數(shù)列的單調性斷數(shù)列的單調性. .na22021/3/916【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)f( )(1)f( )loglog2 2 -log 2=a-log

9、2=an n ，所以，所以a an n 2n2n 2na2nan n1 10 0，所以所以a an n . .因為因為x(0,1)x(0,1)，所以，所以 (0,1)(0,1)，所以，所以a an n0.0.所以所以a an n . .(2)(2)方法一：方法一：a an n1 1a an n(n(n1)1) n1an1a2na2nn1na2na2an22nn122n11(nn1) 221 (n11n1) 222n12n1110.n1nn11n1 na22021/3/917所以所以 ，即數(shù)列，即數(shù)列aan n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. .方法二方法二：又又a an n0aan n，數(shù)列數(shù)列aan

10、 n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. .n1naa2n 12nn1n11aann1 22nn11n1n11 ，2021/3/918【互動探究】若把題目中的函數(shù)改為【互動探究】若把題目中的函數(shù)改為f(x)=2f(x)=2x x-2-2-x-x，數(shù)列，數(shù)列aan n 滿足滿足f(logf(log2 2a an n)=-2n(nN)=-2n(nN+ +).).其他不變，你會求解嗎？其他不變，你會求解嗎？ 【解題提示】【解題提示】仿照例題通過仿照例題通過f(logf(log2 2a an n)=-2n)=-2n求得數(shù)列求得數(shù)列aan n 的通項公式，然后作差或者作商證明單調性的通項公式，然后作差或者作商證明單

11、調性. . 2021/3/919【解析】【解析】(1)f(x)=2(1)f(x)=2x x-2-2-x-x,f(log,f(log2 2a an n)=-2n,)=-2n,aan n0, 0, (2)(2)方法一：方法一：又又a an n0,a0,an+1n+1a an n,數(shù)列數(shù)列aan n 是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列. .2n2nloglogaann1222n,a2n,a 22nnna2na10,ann1. 解得2nan1n. 2n 12nn11n1aan1n 22n1n1,n11n1 2021/3/920方法二方法二：a an+1n+1-a-an n即即a an+1n+1-a-an n0 0，

12、a an+1n+1a an n.數(shù)列數(shù)列aan n 是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列. .22n11n1( n1n) 222222222222n11n1n11n1 11n11n1n1n1n11n1n11n1 , n1 n,n1n1.n11n1 2021/3/9212021/3/922【典例】【典例】(12(12分分) )一個數(shù)列的通項公式為一個數(shù)列的通項公式為a an n3030n nn n2 2. .(1)(1)問問6060是否為這個數(shù)列中的項？是否為這個數(shù)列中的項？(2)(2)當當n n分別為何值時，分別為何值時，a an n0 0，a an n00，a an n00.0.當當n6n6且且nNnN+

13、+時，時，a an n0. 80. 8分分2021/3/924(3)a(3)an n3030n nn n2 2又又nNnN+ +，故當故當n n1 1時，時，a an n有最大值，其最大值為有最大值，其最大值為30. 1230. 12分分 21121(n)24 ，2021/3/925【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下：對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下： 常見常見 錯誤錯誤錯錯 誤誤 原原 因因第二問第二問 n=-5 n=-5 解出了解出了n n的值后，沒有考慮的值后，沒有考慮n n的定義域，直接的定義域，直接下結論導致錯誤，事實上，解決這類問題需下結論導致錯誤，事實上

14、，解決這類問題需要特別注意要特別注意n n的取值范圍的取值范圍. . 2021/3/926第三問第三問 n=n=在利用二次函數(shù)的性質進行配方求解數(shù)列的在利用二次函數(shù)的性質進行配方求解數(shù)列的最值時，忽略了最值時，忽略了n n只能取正整數(shù)這一問題，只能取正整數(shù)這一問題，導致錯誤，一般地借助函數(shù)解決數(shù)列問題時，導致錯誤，一般地借助函數(shù)解決數(shù)列問題時，都需要認真考慮定義域都需要認真考慮定義域. . 122021/3/927【即時訓練】數(shù)列【即時訓練】數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為a an nn n2 25n5n4.4.(1)(1)數(shù)列中有多少項是負數(shù)？數(shù)列中有多少項是負數(shù)？(2)n(2)n為何值時，為何值時，a an n有最小值？并求出最小值有最小值？并求出最小值. .【解析】【解析】(1)(1)由由n n2 25n5n4=04=0，解得，解得n=1n=1或或n=4.n=4.由數(shù)列由數(shù)列aan n 的圖像及的圖像及nNnN+ +可知，可知，n n2,32,3時，時，a a