1、2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)理科數(shù)學(xué)第I卷(共60分)參考公式：2球的表面積公式：S=4tR，其中R是球的半徑.如果事件 A在一次試驗中發(fā)生的概率是p ,那么n次獨立重復(fù)試驗中事件 A恰好發(fā)生k次的概率：Pn(k)=C：pk(1 p)j(k =0,1,2川，n).如果事件A, B互斥，那么P(A + B) = P(A) + P(B).如果事件A, B相互獨立，那么 P(AB) = P(AUP(B).一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的.1 .滿足 M= 自，a2, %, a4) ,且M PlQ, a =

2、 0 寸的集合 M的個數(shù)是( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：本小題主要考查集合子集的概念及交集運算。集合M中必含有a1,a2,則 M =4e2或乂 =a1,a2,a4.選 B.2 .設(shè)z的共軻復(fù)數(shù)是z ,若z +z = 4, zLIz =8 ,則三等于()zA. i b. -i C. ±1 d. ±i解析：本小題主要考查共軻復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運算。可設(shè) z = 2 + bi ,由z 2 =8/口 2z z2(2±2if得4 b2=8,b= 2. = i.選 D.z 883 .函數(shù)y=lncosx(<x < |的圖象是 22A .B.C.xD.

3、解析：本小題主要考查復(fù)合函數(shù)的圖像識別。y = lncosx(- <x<)是偶函數(shù),22可排除 B、D,由 COSXEln lncos XE0 排除 C,選 A.4 .設(shè)函數(shù)f (x) =|x+1 + x-a的圖象關(guān)于直線 x = 1對稱，則a的值為()A. 3 B. 2C. 1D. -1解：x+1、x-a在數(shù)軸上表示點x到點一1、a的距離，他們的和f (x) =|x +1 +| x -a4 ;=73 ,則 sin la 5+ 72 i的值是6關(guān)于x=1對稱，因此點1、a關(guān)于x = 1對稱，所以a = 3(直接去絕對值化成分段函數(shù)求解比較麻煩，如取特殊值解也可以)一一一冗 .5 .

4、已知 cos - - sin -6友 B亞 c _4 555D.如，二、.、33 .4 八斛：cos(。) +sin a =cos a +-sin a =。3 , 62251cos3且sina，, 2257n3(7314sin(a +)=-sin(£+)= 一 sin a +-cos« =661 22,56.右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()A. 9兀 B. 10九C. 11 兀 D. 12 九解：從三視圖可以看出該幾何體是由一個球和一個圓柱組合而成的，其表面及為一 一 .2,2 一 一 一 一S二4 二 1 二 12 2二 1 3 二12

5、二.7.在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1,2,3川|,18的18名火炬手.若從中任選 3人,則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為()1511B . 一68C.306D.1408解：古典概型問題，基本事件總數(shù)為C138 =17父16M3。選出火炬手編號為 an =a1+3(n1), a1=1時，由1,4,7,10,13,16可得4種選法;a1 =2時，由2,5,8,11,14,17可得4種選法；a1 =3時，由3,6,9,12,15,18可得4種選法。4 4 4117 16 3 688.右圖是根據(jù)山東統(tǒng)計年鑒2007中的資料作成的1997年至2006年2 9 1我省城鎮(zhèn)居

6、民百戶家庭人口數(shù)的莖葉圖.圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個位數(shù)字.從圖中可以得到1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平均數(shù)為（）A. 304.6 B. 303.6 C. 302.6 D. 301.6-9-9 -5 -2 2 6 10 12 14 17 ”解：= 3.610129, iX-3 |展開式中的常數(shù)項為（）3XA. -1320B. 1320 C. -220D. 220r.12 _4r解：Tr,=C；2X12上（J）r =（1）rC；2X12,x 3 =（1）rC 2X 3 ,令 12_t =

7、 0得1=9Vx3常數(shù)項10 =（-1）9C192 ;-C132 =-12 11 10 二-220.3 2 110.X軸上且長軸長為 26.若曲線C2上的點到橢圓 G的5，.設(shè)橢圓Ci的離心率為一，焦點在 13兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（解:22x _ y_22 - 142322X8. 11322L -142 一12XD. 1322 占二1對于橢圓C1 ,a =13,c =5,曲線C2為雙曲線,c = 5, a = 4, b=3,標(biāo)準(zhǔn)方程為:224232=1.2211 .已知圓的方程為x +y 6x-8y = 0 .設(shè)該圓過點（3,5）的最長弦和最短弦分別為 AC

8、和BD ,則四邊形ABCD的面積為（）A. 10* B. 2076C. 30而 D. 40>/622 _解：化成標(biāo)準(zhǔn)萬程 （X3） +（y4） =25,過點（3,5）的最長弦為 AC =10,最短弦為 BD =2 -52 -12 =4.6, S =1 AC B D=2 016.2x+2y-19> 0, 12,設(shè)二元一次不等式組 <x-y+8A0,所表示的平面區(qū)域為 M，使函數(shù)2x + y-14< 0y =aX（a >0, a01）的圖象過區(qū)域 M的a的取值范圍是（A. 1,3B. 2,何 C. 2,9D.加,9解：區(qū)域M是三條直線相交構(gòu)成的三角形（如圖） 顯然a

9、a1 ,只需研究過（1,9）、（3,8）兩種情形，13a E9 且 a 28 即 2Ea£9.第II卷（共90分）、填空題：本大題共 4小題，每小題4分，共16分.13.執(zhí)行右邊的程序框圖，若 p =0.8,則輸出的n =.1 1 1斛：一十一十一:>0.8,因此輸出n = 4.2 4 821 .14 .設(shè)函數(shù) f (x) =ax +c(a 00),育 J0 f (x)dx = f(Xo),0 0X001,則Xo的值為.1 i o10 d解： f (x)dx = £ (ax + c)dx =-ax + cx 0a243=3+c=ax0 +c：x0=-15 .已知a,

10、b, c為AABC的三個內(nèi)角 A, B, C的對邊, 向量 m =(" -1), n =(cosA,sin A),若 m _L n ,否，/輸出n結(jié)束且 acosB+bcosA =csin C ,則角 B=.解：m _ n = . 3cosAsin A =0= A = , sin AcosB sin BcosA = sinCsinC 32sin AcosB+sin BcosA = sin(A +B) =sin C =sin C= C = . . B = 一26解:g b / b -4 b+43x b < 4 = < x <,=0：二 j 3c b 433：二 1=5

11、<b<7即范圍為（5,7）:416 .若不等式3x-b <4的解集中的整數(shù)有且僅有 1,2,3,則b的取值范圍為 三、解答題：本大題共 6小題，共74分.17 .(本小題滿分12分)已知函數(shù)f (x) = J3sin(0x +中)_cos(0X+中)(0<邛 < 冗，切a0)為偶函數(shù)，且函數(shù) 冗y = f (x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為-.(I)求f '21的值；8(n)將函數(shù)y = f(x)的圖象向右平移 三個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長 6到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) y = g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.解：（I）

12、f （x） = V3sin（cox + 中）一cos（cox +中）=2 |比sin（cox 十中）一1cosx+ 中） 22= 2sin I 缶 x +中一一6因為f(x)為偶函數(shù)，所以對 xw R , f (x) = f (x)恒成立,因此 sin（-wx +*）=sin '®x +中-I.6.6即-sin xcosl : - cos xsin 1 : - = sin xcosl : - cos x sin I : - 6.6,6.6U 冗） 整理得 sin cox cos 中一一1二0.6因為6 A0,且xW R ,所以cos向=0.6又因為0 <華 < /

13、，故邛6 2土,、，冗：一所以 f（x）=2sin ix+- =2cos切x .2由題意得=2_ ,所以 8=2.故 f （x） = 2cos 2x .因此 f i °=2cos = 2 .84(n)將f (x)的圖象向右平移 二個單位后，得到f x- 的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo) 6.6伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到f *_- |4 6的圖象.所以g(x) = fc - i'x 九=2cos 2 1 14 6 力=2cosi x -2 3當(dāng)2k：tW22兀即 4k：t + M3< x < 4k Tt+8- (k z Z )時,3g(x)單調(diào)遞減,因此g(x)的

14、單調(diào)遞減區(qū)間為2冗.|4k 冗+一 ,4k 冗十汐(kw Z ).318.(本小題滿分12分) 甲、乙兩隊參加奧運知識競賽,3人,錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為每人回答一個問題，答對者對本隊贏得一分，答2 ,乙隊中3人答對的概率分別為 2,且33 3 2各人回答正確與否相互之間沒有影響.用表示甲隊的總得分.(I)求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(n)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求 P(AB).解：(I)解法一:由題意知，-的可能取值為0, 1, 2, 3,且P( =0) =C；11W, p-32121 -33327P(

15、=2) =c2所以的分布列為01231248P279927亡的數(shù)學(xué)期望為_ 12 _ 4 _ 8 _E =0黑+1乂一+2黑一+3乂 = 2 .279927解法二：根據(jù)題設(shè)可知，2B.3,一卜,32因此之的分布列為P(U=k)=C；Jf 33. 33_k2k=V k = 0,i,2,3.因為之 B ,3,2 I,所以E1 =3父2 = 2. 33(n)解法一：用 C表示“甲得2分乙得i分”這一事件，用 D表示“甲得3分乙得0分” 這一事件，所以AB=CJD,且C, D互斥，又p(c) C 3星二二+11=竺J 13 32 332332J34P(D) =C33： i2- 533 3 235io

16、43434由互斥事件的概率公式得 P(AB) = P(C) P(D) = 丁 5 =-5二 343535243解法二：用A表示“甲隊得k分”這一事件，用Bk表示“乙隊得k分”這一事件，k = 0,i,2,3 .由于事件 A3B0 , A2B1 為互斥事件，故有 P(AB) = P(A3B0UA2Bi) = P(A3B0)+ P(A2Bi).由題設(shè)可知，事件 A3與Bo獨立，事件 &與Bi獨立，因此P(AB) =P(A3B。)P(A2Bi) = P(A3)P(B。)P(A2)P(B1)2341c332 23A iC；322 322343224319 .(本小題滿分12分)將數(shù)列an中的所

17、有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表:aia2a3a4a5a6a7a8a9aio記表中的第一列數(shù)ai,a2,a4，a7,lll構(gòu)成的數(shù)列為斗,bi=ai =i , Sn為數(shù)列0的前n項和，且滿足(I)證明數(shù)列1 . 一，成等差數(shù)列，并求數(shù)列 bn的通項公式;(n)上表中,同一個正數(shù).當(dāng)若從第三行起，4a81 =時,91第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列,求上表中第k(k > 3)行所有項的和.且公比為解：(I)證明:由已知，當(dāng) n2 2時，2 = 1，又 Sn = bi + b2 +1II + bn, bn Sn . Sn所以2(Sn -Snj)- Z 72(Sn - S

18、n)Sn - Sn= 1=2(sn-sn)- SnSn又& =匕=a =1 .所以數(shù)列1一卜是首項為Sn1-的等差數(shù)列.2，一1由上可知一 二1 Sn12(n-1) =Sn -所以當(dāng)n2 2時,bn =Sn -Snn n(n 1)因此J 2n =1,n(n 1),n42.(n)解：設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為因為 1 +2+111+12 :12113： 78,所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列Qn)的前78項，故注1在表中第31行第三列,因此 a81 = bjq24.又 b1391132 一 八，所以 q = 2 .13 14記表中第k(k 23)行所有項的和為 S,2L(1-2

19、k)k(k 1) 1-2 k(k 1)(1-2k)(k> 3).20 .(本小題滿分12分)如圖，已知四棱錐P ABCD,底面ABCD為菱形，PA，平面ABCD ,/ABC =60，, E, F分別是BC, PC的中點.(l)證明：AE_LPD ;什 一 cc AL一L一 一十 iC u A，士6”(n )若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為 ,求二面角 2E -AF C的余弦值.解：(I)證明：由四邊形 ABCD為菱形，/ABC =60,可得 ABC為正三角形.因為E為BC的中點，所以 AE _L BC .又 BC / AD ,因此 AE _L AD .因為PA，平

20、面ABCD, AE二平面ABCD,所以PA_L AE. 而 PAu 平面 PAD, ADu 平面 PAD 且 PACAD = A,所以AE _L平面PAD .又PD u平面PAD , 所以 AE _L PD .連接 AH, EH .(n)解：設(shè)AB =2, H為PD上任意一點, 由(I)知AE_L平面PAD,則/EHA為EH與平面PAD所成的角.在 RtEAH 中，AE=V3,所以當(dāng)AH最短時，/EHA最大， 即當(dāng)AH_LPD時，/EHA最大.此時 tan . EHA - AE =-3- =-6 ,AH AH 2因此 AH = J2.又 AD =2,所以 /ADH =45,所以PA =2 .解

21、法一：因為PA _L平面ABCD, PA匚平面PAC,所以平面PAC _L平面ABCD .過E作EO _L AC于O,則EO _L平面PAC ,過。作OS_LAF于S,連接ES,則/ESO為二面角E-AF C的平面角,在 RtAOE 中，EO =AEkin30，=遮，AO = AEdos30C =3, 223 2又 F 是 PC 的中點，在 RtASO中，SO = AOsin45'=，4又 SE = . EO2 SO2 =則m道二0,因此m LAF =0,卜 3x1 =0,近1x1 + y1 +4 = 0.、2232_在 RtzXESO中，cos/ESO = S0 = q=匹， SE

22、3054即所求二面角的余弦值為 一155解法二：由（I）知 AE, AD , AP兩兩垂直，以 A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角 坐標(biāo)系，又E, F分別為BC, PC的中點，所以A(0,0,0) B(點1,0), 0(73；1,0), D(0,2,0),、3 1P(0,0,2) E(V3,0,0) F 1 2 2所以 AE =(M,0,0)AF =俾，1,1 2 2設(shè)平面AEF的一法向量為m =（x1，y1，4）,取 4 =-1,則 m =(0,2,1),因為 BD_LAC, BD_LPA, PAH AC = A,所以BD _L平面AFC ,故BD為平面AFC的一法向量.又BD=(-點 3

23、,0),所以 cos :二 m,BD =2 3<512所以所求二面角的余弦值為155155因為二面角EAFC為銳角,21.（本小題滿分12分）1已知函數(shù)f(x)=n + aln(x 1),其中xw N , a為常數(shù).(1-x)(I)當(dāng)n=2時，求函數(shù)f(x)的極值；(n)當(dāng)a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n ,當(dāng)n2 2時，有f (x) < x -1.解：21. (I)解：由已知得函數(shù) f(x)的定義域為x|x>1,一1.2_a(1_x)2當(dāng) n=2時，f(x)=二十a(chǎn)ln(x1),所以 f,x) = 2 a(1 x).(1 -x)(1-x)(1)當(dāng) a>0時，由他)=0得為=1+a1 , x2=1c1,此時 r(x)=a(xx1)(xx2).(1-x)當(dāng) xW(1, x1)時，f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) xW(x,+9)時，f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增.(2)當(dāng)a00時，f (x) M0恒成立，所以f(x)無極值.綜上所述，n=2時，當(dāng)a>0時，f(x)在x=1+J2處取得極小值，極小值為f '1+*日=旦，1 +皿2Yal，aJ2l a J當(dāng)a 00時，f(x)無極值.一， 一、，一，1(n)證法一：因為 a=