1、.14.1.2 直角三角形三邊的關系驗證勾股定理課前知識管理對于勾股定理的探究，可以采用測量、計算、觀察和動手操作的方法來驗證其正確性課本主要運用拼圖的方法，利用兩種方法表示同一個圖形的面積來驗證勾股定理如圖1，是由4個完全一樣的直角三角形拼成的，得到一個邊長為a+b的大正方形和以斜邊c為邊長的小正方形，有a+b2=4×ab+c2，整理可得a2+b2=c2對于圖2，有S正方形EFGH=c2=b-a2+4×ab，即c2=a2+b2名師導學互動典例精析：知識點1：用拼圖法驗證勾股定理例1、請判斷一下，以下圖形中，哪些可以用來驗證勾股定理.來源:1ZXXK【解題思路】大正方形的面

2、積等于四個直角三角形面積加中間小正方形面積；中間正方形面積等于大正方形面積減去四個直角三角形面積；推導不出.【解】可以驗證勾股定理.【方法歸納】勾股定理的驗證，主要通過拼接圖形的面積來實現.對應練習：請結合以以下圖形，驗證勾股定理.知識點2：方程的思想例2、如圖，在ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC邊上的高AD【解題思路】【解】設DC=，那么BD=14，在RtABD和RtACD中，由勾股定理可得：14+，兩式相減得：，解得：在RtACD由勾股定理得：AD=12【方法歸納】由于勾股定理反映了直角三角形三邊的數量關系，所以在應用勾股定理解決問題時，要考慮應用定理列方程來求解對應

3、練習：如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，那么CD等于 A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm知識點3：數形結合的數學思想例3、某市氣象臺測得一熱帶風暴中心從A城正西方向300km處，以每小時26km的速度向北偏東60°方向挪動，距風暴中心200km的范圍內為受影響區域.試問A城是否受這次風暴的影響？假如受影響，懇求出遭受風暴影響的時間；假如沒有受影響，請說明理由.【解題思路】【解】構造數學模型，如下圖，設O為風暴中心，OC為風暴中心挪動方向，ADOC.在RtOAD中，AOD=30&#

4、176;，OA=300km，所以AD=150km<200km，即A城受到這次風暴的影響.如圖，設AB=AC=200km，在RtABD中，應用勾股定理，得，所以，A城遭受風暴影響的時間小時.【方法歸納】勾股定理本身就是數形結合的定理，它的驗證和應用，都表達了數形結合的思想知識點4：分類討論的數學思想例4、在中，邊上的高那么的長為 .【解題思路】三角形中某邊上的高既可在三角形內部，也可在三角形的外部，故此題應分為兩種情況來考慮.當邊上的高在的內部時，如圖，由勾股定理，得得，得那么；當上的高在的外部時，如圖，同樣由勾股定理可求得，這時，故的長為或.【解】或.【方法歸納】當元素之間的位置關系沒有

5、限制時，要對可能的情形分類進展討論.對應練習：直角三角形的兩邊長分別為5，12，求第三邊的長.知識點5：整體思想例5、如圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形.大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的短直角邊是a ,較長直角邊是b ,那么的值為 A. 13 B. 19 C. 25 D. 169【解題思路】由勾股定理可得到兩個變形：和.通過這兩個變形，我們可以從中任意兩個出發，求出其他各個量.仔細觀察圖形，不難得到：，利用，可求得，故=13+12=25.【解】選C.【方法歸納】利用整體思想可防止繁瑣的運算，到達快速求值的目的.對應練習：如圖，的周長為32，

6、且于，的周長為24，那么的長為知識點6：轉化思想例6、如圖，高速公路的同一側有A、B兩個奧運村，它們到高速公路所在的直線MN的垂直間隔 分別為=2km，=4km，km，要在高速公路上A、B之間設一個出口P，使A、B兩個奧運村到P的間隔 之和最短，那么這個最短間隔 是 . 【解題思路】過B作關于MN的對稱點B，連接AB交于點P.因垂直平分BB，所以PB=PB，那么AP+PB=AP+ PB=AB，由“兩點之間，線段最短易知，P點為到A、B間隔 之和最短的點.【解】過點A作AE垂直于BB于E，那么AE=8km，BE=+=6km，由勾股定理，得AB=10km，即AP+PB=AP+ PB=AB=10km

7、，故最短出口P到A、B兩個奧運村間隔 和為10km.【方法歸納】此題可轉化為“在直線同側有兩點A、B，試在上找一點P，使PA+PB最小，利用對稱作圖即可.對應練習：為了向建國六十周年獻禮，某校各班都在開展豐富多彩的慶賀活動，八年級3班開展了手工制作競賽，每個同學都在規定時間內完成一件手工作品陳莉同學在制作手工作品的第一、二個步驟是：先裁下了一張長，寬的矩形紙片ABCD，將紙片沿著直線AE折疊，點D恰好落在BC邊上的F處， 請你根據步驟解答以下問題：1找出圖中FEC的余角；2計算EC的長.知識點7：化立體為平面例7、有一根70 cm的木棒，要放在長、寬、高分別是50 cm、40 cm、30 cm

8、的木箱中，能放進去嗎？來源:Zxxk 【解題思路】在實際生活中，往往工程設計方案比較多，應用所學的知識進展計算方可解決，而此題正是需要我們大膽理論和創新，用我們學過的勾股定理和豐富的空間想像力來解決.我們可注意到木棒雖比木箱的各邊都長，按各邊的大小放不進去，但木箱是立體圖形，可以利用空間的最長長度.如AC.【解】由以下圖可得，AA=30 cm，AB=50 cm，BC=40 cm.ABC，AAC都為直角三角形.由勾股定理，得AC2=AB2+BC2.在RtAAC中.AC最長，那么AC2=AA2+AB2+BC2=302+402+502=5000702. 故70 cm的棒能放入長、寬、高分別為50 c

9、m，40 cm，30 cm的大箱中.【方法歸納】此題源于生活實際，較有興趣性，可以較好地增強學生的應用意識和理論才能，同時還考察了空間觀念. 求解立體幾何圖形的一些問題時，通常是通過平面展開圖，將其轉化為平面圖形的問題，然后求解.對應練習：制一個底面周長為a、高為b的圓柱形花架，需用沿圓柱側面繞織一周的竹條假設干根，如圖中的，那么每一根這樣的竹條的長度最少是_.易錯警示1、注意勾股定理的使用前提是直角三角形例8 如圖，在中，邊上的中線，試說明 錯解：因是邊上的中線，所以又, 在ADC中，由勾股定理，得=而，故錯因分析：由于受題目、結論及圖形的影響，不少同學在沒有進展推證說明，就先行認為是直角三

10、角形，無視了運用勾股定理的前提，犯了循環論證的錯誤 正解：因為是邊上的中線，所以又，, 且有，即，那么是直角三角形，即所以，在中，由勾股定理，從而2、注意分清直角邊和斜邊例9 在中，,，的對邊分別是，且，求的長錯解：由，為直角三角形那么由勾股定理，得,即錯解分析：錯解未抓住題目本質，受勾股定理的表達式：的影響而誤認為是斜邊，其實，由,知才是斜邊如圖因此，我們在運用勾股定理時，首先要正確識別哪個角是直角，從而確定哪條邊是斜邊，然后準確寫出勾股定理表達式進展解題正解：,那么在中，由勾股定理，得=3、注意分類討論例10 三角形的兩邊長為和，假如這個三角形是直角三角形求第三邊的長錯解：設第三邊的長為，

11、那么由勾股定理得，解得 來源:1ZXXK錯解分析：題中沒有明確指出直角邊和斜邊，應分類討論，而上述解法中誤以為所求的第三邊即為斜邊因此漏解，值得注意正解：設第三邊的長為1當為斜邊時，由勾股定理，得，解得2當為直角邊時，由勾股定理，得解得所以，第三邊的長為或來源:Z|xx|k 課堂練習評測1、假如直角三角形的三條邊2，4，a，那么a的取值可以有 A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個2、如圖，OAB=OBC=OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，那么OD2=_.3、如圖，設火柴盒ABCD的兩邊之長為a與b，對角線長為c，推倒后的火柴盒是ABCD，試利用該圖驗證勾股定

12、理的正確性4、1求以下直角三角形未知邊的長如下圖來源:Zxxk 2求以下圖中未知數x，y，z的值5、如下圖，為了求出位于湖兩岸的兩點A、B之間的間隔 ，一個觀測者在點C設樁，使三角形ABC恰好為直角三角形，通過測量，得到AC長160米，BC長128米，問從點A穿過湖到點B有多遠？6、如下圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G的邊長為7cm，求正方形A，B，C，D的面積7、小紅家住在18層的高樓上，一天，她與媽媽去買竹竿如下圖假如電梯的長、寬、高分別是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入電梯內的竹竿的最大長度約是多少米？你能估計出小紅買的竹竿至少是多少米

13、嗎？.來源:1ZXXK課后作業練習 一、判斷題2×2=4分 1ABC的兩邊AB=5，AC=12，那么BC=13 來源:1ZXXK 2ABC中，a=6，b=8，那么c=10 來源:1ZXXK二、填空題3×7=21分3在ABC中，A：B：C=1：1：2，AB2=50，那么BC=_來源:Z.xx.k 4在RtABC中，C=90°，a：b=3：4，c=15cm，那么a=_cm5在RtABC中，a=3，b=4，那么c=_6一艘輪船以16海里/時的速度分開A港向東南方向航行，另一艘輪船同時以12海里/時的速度分開A港向西南方向航行，經過1.5小時后它們相距_海里7在ABC中，

14、C=90°，假設AC=6，CB=8，那么AB上的高為_8在ABC中，C=90°，CDAB于D1假設AC=61，CD=11，那么AD=_2假設CB=113，CD=15，那么BD=_9等邊ABC的高為3cm，以AB為邊的正方形面積為_三、選擇題5×5=25分10假設等腰ABC的腰長AB=2，頂角BAC=120°，以BC為邊的正方形面積為 A3 B12 C11等腰三角形斜邊上中線為5cm，那么以直角邊為邊的正方形面積為 A10cm2 B15cm2 C50cm2 D25cm212等腰三角形底邊上的高為8，腰長為10，那么三角形的面積為 A56 B48 C40 D3213一個長方形的長是寬的2倍，其對角線的長是5cm，那么長方形的長是 A2.5cm Bcm C2cm Dcm14如下圖，長方形ABCD中，AB=3，BC=4，假設將該矩形折疊，使點C與點A重合，那么折痕EF的長為 A3.74 B3.75 C3.76 D3.77四、解答題8×5=40分 15用尺規在數軸上找出坐標為的點16如圖ac所示，求以下直角三角形中未知邊的長17如下圖，長2.5m的梯子靠在墻