1、2013年普通高等學校招生全國統一考試（卷）數學I注意事項絕密啟用前考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：1 .本試卷共4頁，均為非選擇題（第1題第20題，共20題）.本卷滿分為160分.考試時間為 120分鐘.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.2 .答題前，請您務必將自己的、考試證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定 位置.3 .請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的、號與您本人是否相符.4 .作答試題必須用0. 5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答，在其它位置作答一律無效.5 .如需作困，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.一、

2、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.1 .函數y = 3sin（2x-?）的最小正周期為.解析：T= =22 .設z = （2 i）2（i為虛數單位），則復數z的模為 解析：Z = 3-4/,|Z| = 32+（-4）2=5223 .雙曲線二一2_ = 1的兩條漸近線的方程為 .（第5題）16 93解析：y=±x44 .集合（-1,0共有 個子集.解析：23=8 （個）5 .右圖是一個算法的流程圖，則輸出的"的值是解析：經過了兩次循環，n值變為36 .抽樣統計甲，乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環)，結果如下:運動員第1

3、次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩定(方差較小)的那位運動員成績的方差為.解析：易知均值都是90,乙方差較小， 252-x) =|(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2) = 27 .現有某類病毒記作X,”匕，其中正整數"7,“(? W 7, < 9)可以任意選取，則1,八都取到奇數的概率為 .解析：機可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7個可以取的值有：1,2,3,45,6,7,8,9共9個所以總共有7x9 = 63種可能符合題意的根可以取1,3,5,7共4個符合題意的可以

4、取1,3,57,9共5個所以總共有4x5 = 20種可能符合題意所以符合題意的概率為空 638 .如圖，在三棱柱ABG-ABC中，Q,乙尸分別是A6,AC,AA的中點，設三棱錐廠一AOE的體積為匕，三棱柱44cABC的體積為匕，則用：%=.解析：V =Ls.nJi=LxLsuiCx-h1=V11 3 m九 13 4，血 2 224 2所以匕：匕=-1 - 249 .拋物線），= /在x = l處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為D （包含三角形部和邊界）.若點夕。,），）是區域O的任意一點，則x+2y的取值國是 .解析：易知切線方程為：y = 2x-l所以與兩坐標軸圍成的三角形區域三個點為A（0

5、,0）3（0.5,0）C（0,1）易知過C點時有最小值一2,過B點時有最大值0.51210 .設D,E分別 是AABC的邊AB.BC上 的點，AD = -AB , BE = -BC ,若23QE = 4而衣（4，4為實數），則4+4的值為 .解析：易知。石月月+2（4e一4月）=一14后2323、763所以4 +4 =萬11 .已知/（X）是定義在R上的奇函數.當x>0時，/（x） = x2-4x,則不等式，（x）>x的解集用區 間表示為 .解析：因為.f(x)是定義在R上的奇函數，所以易知x<0時，/(x) = -x2-4x解不等式得到/(X)> x的解集用區間表示為

6、(一5,0)U(5,+8)=1(。>0力>0),右焦點為尸，右準12 .在平面直角坐標系xQy中，橢圓。的標準方程為 線為/,短軸的一個端點為3,設原點到直線8尸的距離為4，尸到/的距離為“2若4 = 7石4,則橢圓的離心率為.解析：】無上乙， be ,a2b2由題意知4 =& =。= a -cc所以有匚=娓忙兩邊平方得到即/ 一/=6/兩邊同除以“4得到1一/=6°4,解得/=1,即6 =正 3313 ,平面直角坐標系xOy中，設定點P是函數y =1(x>0)圖像上一動點，若點RAN x間最短距離為2右,則滿足條件的實數4的所有值為.解析:令4+_!_ =

7、 /卜之2)xo則 PA2=f(t)=t2 -2cit + 2cr-2(/>2)對稱軸L心2時，尸71"2) = 2/-.+ 22c/ 一 4+ 2 = 8a = - , a = 3 (舍去)2.心2時，一出"(°)=八2/-2 = 8a = >/To , a = -VlO （舍去）綜上。=-1或 =14.在正項等比數列”中，“5 =1，4+的=3.則滿足 +“2 +%+4 >“Q2。3“4”的最大2正整數的值為 解析:1 公%=54+%=3 aq + aq = 3q2 +f/-6 = 0；q>0 q = 2% = 2-6. q +a2 +

8、cq + + a > aa2ay.an n2-l br. 2-s - 2-5 > 21J-】 in. 2n-5 - 2-2> 2-5 > 0u ir -1 In77-5 > 213-V12913 + 7129<n< 1 < h < 12, n e N.又，2 = 12時符合題意，所以的最大值為12二、解答題：本大題共6小題，共計90分。請在答題卡指定區域作答，解答時應寫出文字說明、證 明過程或演算步驟。15.（本小題滿分14分）已知 a = (cosa, sin。)，b = (cos/?, sin/7), 0< p <a<

9、n.（1）若 a求證： (2)設c = (0,l),若a + B = c,求a,4的值.解:(1) a = (costz,sinab = (cossin4),0</3<a<7tv a-b = y/2：. a-b = 2 a + b -2ab = 21 +1 -2a,B = 2 , a-b = 0 , a Lb(2),c = (0,l),a + /? = c(cosa + cos /3, sin a + sin /7) = (0J)cos a + cos p = 0.sin a + sin 0 = 1?+2得：2+2cos(a/7) = 1,得 cos(a-/7) = - 2:

10、 b<。<a <亢 :.Q<a-J3c 2/r:.a- p =3cos a + cos 0 = 0 又,.a + / =乃5%-笈(M 16 題):a = ，Z = o o如圖，在三棱錐S 45c中，平面以平面S8C,16.（本小題滿分14分）AB±BC 9 AS = AB.過4 作 AE«LS8,垂足為 E,點 AE,G分別是側棱S4.SC的中點.求證：（1）平面EFG/平面ABC；（2） BC± SA.解：（1）;石,6分別是側棱54,5（7的中點/. EG/AC.AC在平面A8C中，EG在平面外二.EG平面 A8C-AS = AB.A

11、F±SB:.F為SB中點/. EF/ABA8在平面ABC中，政在平面外/. EF/ 平面 ABCEF與EG相交于EEF,EG在平面EFG中平面EFG/平面48c（2） .平面 S48_L 平面 SBCSB為交線A戶在 S45 中，AF±SBAFX.平面 SBCAFLBCBCA.ABAF與A8相交于AARAB在平面S48中/. 8C_L 平面BCLSA17.（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0,3）,直線/： y = 2x 4.設圓的半徑為1,圓心在/上.（1）若圓心C也在直線y = x l上，過點A作圓。的切線，求切線的方程； (2)若圓。上存在點使

12、M4 = 2MO,求圓心。的橫坐標，的取值圍.解:y = 2x-4® y=x-®與聯立得到圓心坐標C(3,2) 圓方程為(入-3)2+(y 2)2=1 切線斜率不存在時，不合題意設切線方程為曠=6+3.做-2 + 3| . f;13解得攵=0或攵=一二4切線方程為y = 3或y = -3x + 34(2)設。億2-4)則圓方程為(x-a+(y-2a + 4=1設由題意-+(% - 2a+4)2 =1MA = 2Mov+(yo-3)2=4v+4>o2即/2+(% + 1)2=4M存在圓(犬一4)2+()，-2 + 4=1與圓/+()，+ 1=4有交點即兩圓相交或相切.-

13、.(2-1)2<6/2<(2 + 1)2即 14,-0+(24-4-(-1)y<912：.0<a< 518.(本小題滿分16分)如圖，游客從某旅游景區的景點處下山至C處有兩種路徑.一種是從沿A直線步行到C,另一種是 先從A沿索道乘纜車到8,然后從8沿直線步行到C.現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿4C勻速步行，速度為50m/min.在甲出發2min后，乙從A 乘纜車到8,在8處停留lmin后，再從3勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為123130m/min,山路 AC 長為 1260m,經測量，cos A = , cosC =.135(1)求索道A3的長；(

14、2)問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處相互等待的時間不超過3分鐘, 乙步行的速度應控制在什么圍？解：(1).()< A < 乃,0< 8 < 九,0 v C< 汽 .* sin A , sin C =一135A + 8+C=乃12134_635655 3in B= sin (A+C) = sin A cos C+cos A sin C= 一 - +1AC AB _ BCsin B sin C sin A,-AB=£fAC=rl 1260=1040mBC=AC=500設乙出發t(Y8)分鐘后，甲到了。處，乙到了 E處則有

15、 A0=50t+100 AE = 30t根據余弦定理。石2 = AE2 + AD2 - 2AEAD - cos A即 DE2 = 7400產-14000/ +100002 7400 37有最小值DE =250g37(3)設甲所用時間為加，乙所用時間為t,，乙步行速度為匕妹* 1260 126 .由現忌九尸=min505tz =2+J1040 , 500 一 500 .+1+ =11+ min<3，中解不等式得詈“匕“魯記 =77 e N * ,19.(本小題滿分16分)設為是首項為.，公差為"的等差數列(d WO), S”是其前項和.其中c為實數.(1)若c = 0,且4，4,

16、 4成等比數列，證明：5成=2sJz,£N*)； (2)若也是等差數列，證明：c = 0.解：< 1)4 =4 + (-l)d(d 00)0 n2 - nS, = na +2b ="=1 1,伍也也成等比.他=b；.cl2 = lad " H 0d = 2aS tl =S“k =n'k%5 =n2k2aA二 Snk = n0(2)由已知4=，生=ir +c2n2a + n3d -n2d2n2+2c- /.設/乙=kn+h (k,b為常數)/.有(2k-d)n' +(2b + d-2a)J + 2chi + 2bc = 0 對任意 e N*恒成

17、立'2k-d = 02b + d - 2a = 0-2ck=02bc = 0" WOk W Oh =此時：.c = 02a - d2命題得證20.(本小題滿分16分)設函數/(x) = Inx - ax , g(x) =。'- at,其中為實數.(1)若/(x)在(1,+s)上是單調減函數，且g(x)在(1,+s)上有最小值，求a的圍;(2)若g(x)在(一1,+s)上是單調增函數，試求/(X)的零點個數，并證明你的結論.解：(1)f(x) =xl-ag(x) =ex -a由題意：/*) <0對xe(l,+s)恒成立即a Nx"對xe(l,yo)恒成立/. a > 1,/ g(x)在(1,+cO)上有最小值a<0時，g(x)>o恒成立，g(x)在(1,XO)無最值a >0時，由題意Ina>1a > e綜上：。的圍是：a> e(2) g(x)在(一1,一)上是單調增函數g(x)'z。對 xe(-l,*o)恒成立即對xe(-l,4<Q)恒成立：.a < /In x令 fM = 0 ,則 a =-xIn Y則有/W的零點個數即為)