1、尖子生數列提高之通項公式的求法因為數列在課本上的內容和習題相對都比較簡單，而在考試尤其是高考中數列題目大多數又比較難，有的題目很難、很復雜，顯示出很大的反差。使得在學習數列時感到很困難。同時，數列題目種類繁多，很難歸類。為了便于研究數列問題，找出其中某些常見數列題目的解題思路、規律、方法，現把一些常見的數列通項公式的求法作以下歸類。.一、作差求和法m w.w.w.k.s.5.u.c.o例1 在數列中，,，求通項公式.解：原遞推式可化為：則 ，逐項相加得：.故.二、作商求和法例2 設數列是首項為1的正項數列，且（n=1,2,3），則它的通項公式是=（2000年高考15題）解：原遞推式可化為： =

2、0 0， 則 ， 逐項相乘得：，即=.三、換元法例3 已知數列，其中，且當n3時，求通項公式（1986年高考文科第八題改編）.解：設，原遞推式可化為： 是一個等比數列，公比為.故.故.由逐差法可得：. 例4已知數列，其中，且當n3時，求通項公式。解 由得：，令，則上式為，因此是一個等差數列，公差為1.故.。由于又所以，即 四、積差相消法 例5設正數列，滿足= 且，求的通項公式.解 將遞推式兩邊同除以整理得：設=，則=1，故有 ()由+ +()得=，即=.逐項相乘得：=，考慮到，故 . 五、取倒數法例6 已知數列中，其中，且當n2時，求通項公式。解 將兩邊取倒數得：，這說明是一個等差數列，首項是

3、，公差為2，所以，即.六、取對數法例7 若數列中，=3且（n是正整數），則它的通項公式是=（2002年上海高考題）.解 由題意知0，將兩邊取對數得，即，所以數列是以=為首項，公比為2的等比數列， ，即.七、平方（開方）法例8 若數列中，=2且（n），求它的通項公式是.解 將兩邊平方整理得。數列是以=4為首項，3為公差的等差數列。因為0，所以。八、待定系數法待定系數法解題的關鍵是從策略上規范一個遞推式可變成為何種等比數列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：1、（A、B為常數）型，可化為=A（）的形式.例9 若數列中，=1，是數列的前項之和，且（n），求數列的通項公式是.解 遞推式可變形為 （1

4、）設（1）式可化為 （2）比較（1）式與（2）式的系數可得，則有。故數列是以為首項，3為公比的等比數列。=。所以。當n，。數列的通項公式是 。2、（A、B、C為常數，下同）型，可化為=）的形式.例10 在數列中，求通項公式。解：原遞推式可化為： 比較系數得=-4，式即是：.則數列是一個等比數列，其首項，公比是2. 即.3、型，可化為的形式。例11 在數列中，當， 求通項公式.解：式可化為：比較系數得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化為：則是一個等比數列，首項=2-2（-1）=4，公比為3.利用上題結果有：.4、型，可化為的形式。例12 在數列中，=6 求通項公式.解 式可化為： 比較系數可得

5、：=-6， 式為是一個等比數列，首項，公比為.即 故.九、猜想法 運用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出，然后猜想出滿足遞推式的一個通項公式，最后用數學歸納法證明猜想是正確的。十、特征方程法（形如是常數）的數列） 形如是常數）的二階遞推數列都可用特征根法求得通項，其特征方程為 若有二異根，則可令是待定常數） 若有二重根，則可令是待定常數） 再利用可求得，進而求得例13已知數列滿足，求數列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得， 例14已知數列滿足，求數列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得， 十一、不動點法（形如的數列） 對于數列，是常數且） 其特征方程為，變形為 若有二異

6、根，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值 這樣數列是首項為，公比為的等比數列，于是這樣可求得 若有二重根，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值 這樣數列是首項為，公差為的等差數列，于是這樣可求得此方法又稱不動點法例15已知數列滿足，求數列的通項解：其特征方程為，化簡得，解得，令 由得，可得，數列是以為首項，以為公比的等比數列，例16已知數列滿足，求數列的通項解：其特征方程為，即，解得，令 由得，求得，數列是以為首項，以為公差的等差數列，強化訓練1. 設數列an的前項的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； ()求證數列an為等比數列2 已知數列an的前n項和Sn滿足：Sn=

7、2an +(-1)n,n1（）寫出求數列an的前3項a1,a2,a3；（）求數列an的通項公式；（）證明：對任意的整數m>4，有.3. 已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上（）求數列的通項公式；（）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m4. 若數列滿足：求證：； 是偶數 5. 已知數列，且, 其中k=1,2,3,.（I） 求；（II）求 an的通項公式. 6. 設是常數，且，（）證明：7. 已知數列的前n項和Sn滿足()寫出數列的前3項 ()求數列的通項公式8. 已知數列滿足，求數列的通項公式。9. 已知數列滿足，求數列的通項公

8、式。10. 已知數列滿足，求數列的通項公式。11. 已知數列滿足，求數列的通項公式。12. 已知數列滿足，求數列的通項公式。13. 已知數列滿足，則的通項14. 已知數列滿足，求數列的通項公式。15. 已知數列滿足，求數列的通項公式。16. 已知數列滿足，求數列的通項公式。17. 已知數列滿足，求數列的通項公式。18. 已知數列滿足，求數列的通項公式。19. 已知數列滿足，求數列的通項公式。20. 已知數列滿足，求數列的通項公式。21. 已知數列滿足，求數列的通項公式。22. 已知數列滿足，求數列的通項公式。答案：1. 解: ()由,得 又,即,得. ()當n>1時, 得所以是首項,公比

9、為的等比數列2. 解：當n=1時,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；當n=2時,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；當n=3時,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；綜上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化簡得：上式可化為：故數列是以為首項, 公比為2的等比數列.故 數列的通項公式為：.由已知得：.故( m>4).3. 解：（）設這二次函數f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因為點均在函數的圖像上，所以3n22n.當n2時，anSnSn1（

10、3n22n）6n5.當n1時，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）.（2006年安徽卷）數列的前項和為，已知（）寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；（）設，求數列的前項和解：由得：，即，所以，對成立由，相加得：，又，所以，當時，也成立（）由，得而，4. 證明：由已知可得：又=而=所以，而為偶數5. 解（）（略） (II) 所以 ，為差型 故=所以an的通項公式為：當n為奇數時，；當n為偶數時， 6. 方法（1）：構造公比為2的等比數列，用待定系數法可知方法（2）：構造差型數列，即兩邊同時除以 得：，從而可以用累加的方法處理方法（3）：直接用迭代的方法處理：7

11、. 分析：-由得-由得，得-由得，得 -用代得 -：即- 8. 解：兩邊除以，得，則，故數列是以為首，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。9. 解：由得則所以數列的通項公式為10. 解：由得則所以11. 解：兩邊除以，得，則，故因此，則12. 解：因為，所以，則，則所以數列的通項公式為13. 解：因為所以所以式式得則則所以由，取n=2得，則，又知，則，代入得。14. 解：設將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，則x=1，代入式，得由0及式，得，則，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列，則，故。15. 解：設將代入式，得整理得。令，則，代入式，得由及式，

12、得，則，故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，因此，則。16. 解：設將代入式，得，則等式兩邊消去，得，則得方程組，則，代入式，得由及式，得則，故數列為以為首項，以2為公比的等比數列，因此，則。17. 解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得設將式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得由及式，得，則，所以數列是以為首項，以5為公比的等比數列，則，因此，則。18. 解：因為，所以又，所以數列的通項公式為。19. 解：由及，得由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。（1）當n=1時，所以等式成立。（2）假設當n=k時等式成立，即，則當時，由此可知，當n=k+1時等式也成立。根據（1）（2）可知，等式對任何20. 解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項