1、一一、內容小結內容小結 二、二、實例分析實例分析空間平面與直線 第二二章 空間平面空間平面一般式一般式點法式點法式截距式截距式0 DCzByAx)0(222 CBA1 czbyax三點式三點式0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),(:000zyx點點0)()()(000 zzCyyBxxA),(:CBAn 法法向向量量一般式一般式對稱式對稱式參數式參數式 0022221111DzCyBxADzCyBxA tpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(0000zyxM),(pnms 兩點式兩點式

2、.010010010zzzzyyyyxxxx面與面的關系面與面的關系0212121 CCBBAA212121CCBBAA 平面平面平面平面垂直垂直: :平行平行: :夾角公式夾角公式: :),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA ),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA 021 nn021 nn1212cosn nn n,1111111pzznyymxxL ：直線直線0212121 ppnnmm,2222222pzznyymxxL ：212121ppnnmm 直線直線垂直垂直: :平行平行: :夾角公式夾角公式: :),(1111pnms ),(2222pnms

3、 021 ss021 ss1212coss sssCpBnAm 平面平面:垂直：垂直：平行：平行：夾角公式：夾角公式：0 CpBnAm直線直線:),(, 0CBAnDCzByAx 000,(,)xxzzyysm n pmnp 0 ns0 nsnsns sin(1) 過直線過直線 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束的平面束)(1111DzCyBxA 0)(2222 DzCyBxA方程方程 0,21不全為不全為 12的距離為的距離為DzCyBxA 000 d222CBA 到平面到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxM d0Mn),(0000zyx

4、M到直線到直線的距離的距離pzznyymxxL111: 為為d ssMMd 10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML1L2L1M2M2121,MMLL分別過點它們之間距離為它們之間距離為兩異面直線兩異面直線21,ss方向向量分別為.,2121sssLL的公垂線方向向量為212121ssssMMdx 4 z =3 和和 2 x y 5 z = 1 的交線的交線解解: 所求直線的方向向量可取為所求直線的方向向量可取為利用點向式可得方程利用點向式可得方程43 x)1,3,4( 401 512 32 y15 z平行平行, 且且 過點過點 (3 , 2 , 5) 的直線方程的直

5、線方程. 21nns kji 解解:.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程組成組成且與平面且與平面求過直線求過直線 zyxzxzyx過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即由題設知由題設知114cosnnnn ) 8, 4, 1 ()1 ( , 5),1() 8, 4, 1 ()1 ( , 5),1( 解得解得.43 代回平面束方程得代回平面束方程得n1n4 L. 012720zyx注意到平面注意到平面04 zx與已知平面也成與已知平面也成4角.所求平面為：所求平面為：, 04 zx. 012720zyx求平行

6、于點求平行于點( 5, 11,3),(7,10, 6),(1, 3, 2)ABC 所確定的平面所確定的平面, ,且與它的距離為且與它的距離為2的平面方程的平面方程. .解解: : 點點,A B C所在平面的法向量為所在平面的法向量為nABAC (12,21, 9)(6,8, 5) ( 33,6, 30)3(11, 2,10) 設所求平面方程為設所求平面方程為112100 xyzD點點C到其距離為到其距離為2, 因此因此222|11 1( 2) ( 3)10 ( 2)|3|21511( 2)10DD 27,D 或或33D 11210270 xyz 或或11210330 xyz 解解:.3)1 ,

7、 0 , 0()0 , 0 , 3(平面方程角的面成且與和求過點xoyBA設平面方程為：設平面方程為：, 1 czbyax，和和因為平面過點因為平面過點)1 , 0 , 0()0 , 0 , 3(BA，故故1, 3 ca這樣平面方程為這樣平面方程為, 113 zbyx角角，面面成成又又因因為為所所求求平平面面與與3 xoy故故222222100.1)1()31() 1 , 0 , 0).(1 ,1,31(3cosbb,263 b解之得解之得故所求平面為故所求平面為3326 zyx或或222222100.1)1()31() 1 , 0 , 0).(1 ,1,31(3cosbb. 3326 zyx

8、12131 zyx垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程.解解: 先求二直線交點先求二直線交點 P. 0)3()1(2)2(3 zyx化已知直線方程為參數方程化已知直線方程為參數方程, 代入代入 式式, 可得交點可得交點),(7371372 P最后利用兩點式得所求直線方程最后利用兩點式得所求直線方程431122 zyx的平面的法向量為的平面的法向量為故其方程為故其方程為),(312),(011),(123過已知點且垂直于已知直線過已知點且垂直于已知直線, )1,2,3( P 0101zyxzyx在平面在平面上的投影直線方程上的投影直線方程.解：解：過已知直線的平面束方程過已知直線的平面束方程從中

9、從中選擇選擇01)1(1)1(1)1( 得得 001zyxzy這是投影平面這是投影平面0)1()1()1()1( zyx0)1(1 zyxzyx 即即0 zyx使其與已知平面垂直：使其與已知平面垂直：從而得投影直線方程從而得投影直線方程,1 思路思路: 先求交點先求交點)1 ,1 ,1(0M,12:1 xzxyL且與兩直線且與兩直線 1243:2xzxyL都相交的直線都相交的直線 L.21,LL解：將的方程化為參數方程的方程化為參數方程 1243:,12:21tztytxLtztytxLL1L2L0M1M2M設設 L 與它們的交點分別為與它們的交點分別為. )12,43,(2222 tttM

10、再寫直線方程再寫直線方程.;,21MM),1,2,(1111 tttM2,021tt)3,2,2(, ) 1,0,0(21MM211111:zyxL210,MMM1) 12(1) 1(1)43(1211212121tttttt2010/MMMML1L2L0M1M2M),1,2,(1111 tttM. )12,43,(2222 tttM)1 ,1 ,1(0M三點共線；三點共線；例. 求兩直線 之間的距離和它們的公垂線L的方程。1114:121xyzl) 1, 0 , 1 (8)8, 0 , 8() 1 , 6, 1 () 1 , 2 , 1 (2121SSSS，解：25212121SSSSMMd

11、267:161xyzl在直線 L1 與L2上分別取點M1(0,11,4)和點M2(6,-7,0),作M1M2=(6,-18,-4)，則所求距離為S1,S, M1M=0 及 S2,S, M2M=0設點M(x,y,z)為公垂線上一點，則整理得x -y + z + 7 = 03x + y + 3z -11 = 0解：解：(2)設角平分面上有點設角平分面上有點M(x,y,z), d1 =d212( , , ),(0,1,1),(1,0,1)OMx y z vv 1212|OMvOMvvv 0 x20 xyyz解得或L1， L2張成平面張成平面:12(,)0,x0OP v vyz 即所求平分線為所求平分

12、線為:0 x20,x0 x0 xyyzyzyz 設兩條直線設兩條直線12:,:011101xyzxyzLL（1）證明）證明L1 和和L2 相交；相交；（2）求）求L1 和和L2 的角平分線的方程。的角平分線的方程。 求過點P(1,2,1)且與直線zyx2相交的直線 l 的方程.解解：因l l1, 故有3m+2n+p=0 l1:11231zyxpznymxl121 方程為設直線S=(m,n,p) l2過點A(0,0,0),方向向量為S2=(2,1,-1) l與l2相交，故有 S,S2, AP=0，即m-n+p=0 聯立 得npnm25,23512231zyx所求直線方程為垂直，與直線 l2: 6

13、5224BzyDx 在直線方程 中，如何選取B 的值才能使直線平行于xoy平面？D 取何值才能使直線平行于yoz平面？B 和D 取何值才能使直線同時平行于平面3x-2y+2z=0和x+2y-3z=0？解：當B=-6時，直線平行于xoy平面； 當D=2時，直線平行于yoz平面；要使直線同時平行已知兩平面，B、D 應滿足：3(2-D)-4+2(B+6)=01(2-D)+4-3(B+6)=01118,1150DB即，.23142: 53142:) 3 , 4, 1(21都垂直的直線方程和并與兩直線求過點tztytxLyxzyxL)0 , 3 , 1()1 , 4, 2(:11 sL解解:),10,

14、1 , 3( ),2 , 1, 4(:22 sL21:sss 取所求直線的方向向量取所求直線的方向向量),1,46,12( :所求直線方程為.13464121 zyx求在平面求在平面1xyz上上, ,且與直線且與直線11yz 垂直垂直相交的直線方程相交的直線方程. .解：解：所求直線的方向向量所求直線的方向向量(1,1,1),n 垂直于已知平面的法向量垂直于已知平面的法向量s 且垂直于已知直線方向向量且垂直于已知直線方向向量1(1,0,0),s 因此因此1(1,1,1)(1,0,0)sns (0, 1,1) 所求直線過已知平面與已知直線的交點所求直線過已知平面與已知直線的交點0(,1, 1)M x 代入已知平面方程得代入已知平面方程得01,x 所以所求直線方程為所以所求直線方程為111011xyz 求過點求過點( 1,0,4),M 平行于平面平行于平面3410 x