1、 4.4 換元積分法換元積分法1與它們與它們對應(yīng)的是本節(jié)和對應(yīng)的是本節(jié)和基本積分法基本積分法復(fù)合函數(shù)微分法和乘積的微分復(fù)合函數(shù)微分法和乘積的微分.在在積分運算積分運算中中,(兩種兩種).微分運算微分運算中有兩個重要法則中有兩個重要法則: 下節(jié)的換元積分法和分部積分法下節(jié)的換元積分法和分部積分法第第4 4章章 定積分與不定積分定積分與不定積分 4.4 換元積分法換元積分法24.4 換元積分法換元積分法第一換元積分法第一換元積分法第二換元積分法第二換元積分法小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)integration by substitution第第4 4章章 定積分與不定積分定積分與不定積分3 xx

2、d2cosCx 2sin解決方法解決方法將積分變量換成將積分變量換成令令xt2 xxd2costtdcos21 Ct sin21.2sin21Cx x2sinx2cos xxdcosCx sinx2cos2.2x因為因為 xd)d(221x,d21dtx ttd21xt2 一、第一換元積分法一、第一換元積分法 4.4 換元積分法換元積分法 4.4 換元積分法換元積分法4定理定理4.64.6 xxxfd)()( uufd)(第一類換元公式第一類換元公式) )(d)(xxf )(xu 證證 xxxfd)()( ,)(可導(dǎo)可導(dǎo)xu 則有換元公式則有換元公式設(shè)設(shè) f (u)具有原函數(shù)具有原函數(shù),由于由

3、于 )(d)(xxf ,d)(uuf所以根據(jù)不定積分的定義知上公式成立所以根據(jù)不定積分的定義知上公式成立.湊微分的主要思想是湊微分的主要思想是: 將所給出的積分將所給出的積分)(xu 湊微分的關(guān)鍵湊微分的關(guān)鍵.是是湊成積分表里已有的形式湊成積分表里已有的形式, 合理選擇合理選擇注注 4.4 換元積分法換元積分法5例例 求求 xxd2sin法一法一 xxd2sind2sin x.2cos21Cx 法二法二 xxd2sin xxxdcossin2 )(sindsin2xx.)(sin2Cx xu2 uudsin21xusin Cu cos21 uud2Cu 221)2( x解解Cxxx cosds

4、inCxxx 1d1 xxfxxxfsind)(sindcos)(sin 4.4 換元積分法換元積分法6 法三法三 xxd2sin xxxdcossin2 )(cosdcos2xx.)(cos2Cx xucos uud2Cu 2 同一個積分用不同的方法計算同一個積分用不同的方法計算, 可能得可能得到表面上不一致的結(jié)果到表面上不一致的結(jié)果, 但是實際上都表示但是實際上都表示同一族函數(shù)同一族函數(shù). 注注Cxxx 1d1 xxxfd)()( uufd)( )(d)(xxf )(xu 第一類換元公式第一類換元公式 ( xxxfdsin)(cos xxfdcos)(cos 4.4 換元積分法換元積分法

5、4.4 換元積分法換元積分法7例例 求求xxd231 解解xxd231 uud121 Cu |ln21.|23|ln21Cx )23(d23121xx xu23 Cxxx |lnd1x221 3 )0()(d)(1d)(abaxbaxfaxbaxf)d(231 x 4.4 換元積分法換元積分法 4.4 換元積分法換元積分法8xxd31 對第一換元積分法熟練后對第一換元積分法熟練后, 可以不再寫出可以不再寫出 中間變量中間變量.注注31 )1(1d1 Cxxx)31(dx x31顯顯 湊湊.)31(323123Cx )0()(d)(1d)(abaxbaxfaxbaxf 4.4 換元積分法換元積分

6、法 4.4 換元積分法換元積分法9例例 xxxdln 解解xxxdln )(lndlnxx.2)(ln2Cx xxxd)ln21(1 解解xxxd)ln21(1 )(lndln211xx )ln(dln211xx .)ln21ln(21Cx 1221 )lnd()(lnd1)(lnxxfxxxf 4.4 換元積分法換元積分法 4.4 換元積分法換元積分法10 )tan1(cosd2xxx xxtan1)tan(dde3 x)3(de323xx xxxde3 .e323Cx .tan1lnCx 2x xxxfd)()d()(2xxf xxfxxxftand)(tandsec)(tan2例例 1C

7、xxx |lnd1Cxxx ede 4.4 換元積分法換元積分法 4.4 換元積分法換元積分法11小結(jié)小結(jié)常見的湊微分類型有常見的湊微分類型有 xbaxfd)( xxbaxfmmd)(1 )(d)()1(111baxbaxfmamm )0()(d)(1abaxbaxfa 2d)1(xxxf )1d()1(xxf xxxfd1)(ln )lnd()(lnxxf xfxxde)e ()d(e)e (xxf xxxfd)()d()(2xxf 4.4 換元積分法換元積分法 4.4 換元積分法換元積分法12 xxxfdsec)(tan2 xxxfdcsc)(cot2 xxxfd11)(arcsin2 x

8、xxfd11)(arctan2小結(jié)小結(jié) xxxfdcos)(sin xxxfdsin)(cos xxfdsin)(sin xxfdcos)(cos xxftand)(tan xxfcotd)(cot xxfarctand)(arctanCxf )(ln xxfarcsind)(arcsin xxfxfd)()( )()(dxfxf 4.4 換元積分法換元積分法 4.4 換元積分法換元積分法13例例 求求xxad122 解解xxad122 xaxad111222 xaxad11122 .arctan1Caxa xxad122 Caxa arctan1 xxd112Cx arctan axaxad

9、1112 4.4 換元積分法換元積分法 4.4 換元積分法換元積分法14求求xxxd25812 解解xxxd25812 xxd9)4(12 .34arctan31Cx xxad122 Caxa arctan1 22)4(3)4(dxxxxd)4(3122 4.4 換元積分法換元積分法15例例 解解 xxad122 21d1axxa.arcsinCax )0(d122 axxa xxd112Cx arcsin)0(d122 axxaCax arcsin 2221daxax 21d1axaxaa 4.4 換元積分法換元積分法16且有很大的靈活性且有很大的靈活性,加一項減一項、加一項減一項、可通過三

10、角恒等變換、可通過三角恒等變換、一個因子等方法一個因子等方法,第一換元積分法是不定積分的基礎(chǔ)第一換元積分法是不定積分的基礎(chǔ),代數(shù)運算、代數(shù)運算、上上, 下同除以下同除以使積分變得易求使積分變得易求.大體可分成兩類大體可分成兩類1. 某些有理函數(shù)和其他函數(shù)某些有理函數(shù)和其他函數(shù)2. 某些三角函數(shù)某些三角函數(shù) 4.4 換元積分法換元積分法17例例 求求xxde11 解解xxde11 xxde11 xxxde1e1 xxxxde1ed xd.)e1ln(Cxx xe xe )e1(de11xx 法一法一1. 某些有理函數(shù)和其他函數(shù)某些有理函數(shù)和其他函數(shù) 4.4 換元積分法換元積分法18xxde11

11、法二法二xxxdede xxde11 xxd)e1( xexexxxde)e1(e1 xue uuud)1(1 uuud)1( )1( uu uuud111 Cuu )1ln(ln.1eelnCxx uud1 )1d(11 uu 4.4 換元積分法換元積分法19例例 )0(d122 axxa解解 221xa原式原式= xxaxxaad1d121 Cxaxaa lnln21.ln21Cxaxaa xaxaa1121)0(ln21d122 aCaxaxaxax 4.4 換元積分法換元積分法20例例 求求xxxxde )11(12 解解 xx1xxxxde )11(12 )1(de1xxxx .e1

12、Cxx 隱隱 湊湊211x 因為因為所以所以 4.4 換元積分法換元積分法21解解xxxxd)ln1()ln(d )ln(d)ln(xxxxp xxxxpd)1(ln)ln( ,1)ln(1Cpxxp 1 p,)lnln(Cxx 1 p求求xxxxpd)1(ln)ln( 4.4 換元積分法換元積分法22例例 xxdtan解解 原式原式 =xxxdcossin xxcoscosd.coslnCx Cxxx sinlndcot2. 某些三角函數(shù)某些三角函數(shù) xxxfdsin)(cos xxfdcos)(cosCxxx |lnd1 4.4 換元積分法換元積分法23例例 求求解解 xxdsin1 xx

13、dcsc xxdcsc xxxd2cos2sin21 2d2cos2tan12xxx 2tand2tan1xxCx 2tanln.)cotln(cscCxx (使用三角函數(shù)恒等變形使用三角函數(shù)恒等變形)分步湊分步湊法一法一 xxxfdsec)(tan2 xxftand)(tan 4.4 換元積分法換元積分法24 xxdsin1 xxdcsc xxxdsinsin2 )(cosdcos112xxxucos uud112Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 類似可推出類似可推出.)tanln(secdsec Cxxxx法二法二)0(d122 axxaCxaxaa ln21 4.4

14、換元積分法換元積分法25例例 求求解解 xxxdcossin52 xxxdcossin52 )(sindcossin42xxx )(sind)sin1(sin222xxx )(sind)sinsin2(sin642xxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 4.4 換元積分法換元積分法26例例 求求 xxdsin2解解 xxdsin2 xxx2d2cos41d21.2sin412Cxx ,有一個是奇數(shù)時有一個是奇數(shù)時、當當nm,都都是是偶偶數(shù)數(shù)時時、當當nm,cossin積分積分xxnm湊微分湊微分;用倍角公式用倍角公式降冪降冪,再積分再積分. 注注xx d)2cos1(21 4.

15、4 換元積分法換元積分法27例例 求求解解 xxxd2cos3cos)cos()cos(21coscosBABABA )5cos(cos212cos3cosxxxx xxxxxxd)5cos(cos21d2cos3cos.5sin101sin21Cxx 不同角度的正弦、余弦之積的積分不同角度的正弦、余弦之積的積分常用積化和差公式來化簡常用積化和差公式來化簡.注注 4.4 換元積分法換元積分法.dsin203 xx求求xxxdsinsin202 202cosd)cos1(xx203cos31cosxx .32 由微積分基本公式知由微積分基本公式知, 對定積分的計算對定積分的計算,第一換元積分法第

16、一換元積分法(湊微分法湊微分法)也同樣適用也同樣適用.例例 解解)()(d)(aFbFxxfba 微積分基本公式微積分基本公式:原式原式 4.4 換元積分法換元積分法29例例 解解 43ee)ln1(lndxxxx原式原式 43ee)ln1(ln)(lndxxx 43ee)ln1(ln)(lndxxx 43ee2)ln(1lnd2xx 43ee)lnarcsin(2x .6 )ln(dx)lnd(ln121xx 4.4 換元積分法換元積分法30二、第二換元積分法二、第二換元積分法xxd11 有根式有根式解決方法解決方法 消去根式消去根式,xt 令令 xdxxd11 ttt1d2tttd1112

17、 tttd11d2Ctt )1ln(22)0(2 ttx困難困難即即則則ttd2tttd2 回代回代.)1ln(22Cxx 4.4 換元積分法換元積分法31是單調(diào)的、可導(dǎo)的是單調(diào)的、可導(dǎo)的設(shè)設(shè))(tx 并且并且 xxfd)( tttfd)()( )(1xt )(1xt 其中其中.)( 的反函數(shù)的反函數(shù)是是tx )(t tt d)( 定理定理4.74.7函數(shù)函數(shù),. 0)( t )()(ttf 又又設(shè)設(shè)具有原具有原函數(shù)函數(shù), 則有換元公式則有換元公式 (第二類換元公式第二類換元公式)證證),()()(tttf的的原原函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè) ),( )(1xFx 記記用復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)及

18、反函數(shù)的求導(dǎo) )(xF xttdddd)()(ttf )(1t )(tf ),(xf 即即F(x)是是f (x)的原函數(shù)的原函數(shù),法則法則, 得得所以有所以有 4.4 換元積分法換元積分法32第二類換元法第二類換元法不易計算時不易計算時, 可作適當可作適當 ),(tx 化為不定積分化為不定積分積分后再將積分后再將)(1xt 若積分若積分 xxfd)(tttfd)()( 計算計算,代入代入.變換變換 xxfd)(CxF )(Cx )(1 tttfd)()( )(1xt 即證第二類換元公式即證第二類換元公式. 4.4 換元積分法換元積分法33axa22 ax例例 求求)0(d22 axxa解解 令

19、令taxsin ttaxdcosd 2,2txxad22 ttadcos22 taa222sinttad22cos12 Ctta )2sin21(22tax22xa 輔助三角形輔助三角形axarcsinttadcos axaarcsin22Cttta )cossin(22.222Cxax 回代回代三角代換三角代換 4.4 換元積分法換元積分法34三角代換三角代換例例 求求解解)0(d122 axax令令taxtan ttaxdsecd2 xaxd122 tasec1 ttdsec1|tansec|lnCtt tax22ax 2,2taCaxxln|ln122 ttadsec2 回代回代ln 1

20、C aax22 ax 輔助三角形輔助三角形 ttdsecCtt |tansec|ln.|ln22Caxx 4.4 換元積分法換元積分法35通過變換通過變換taxsec xaxd122 Caxx |ln22利用相應(yīng)的三角變換利用相應(yīng)的三角變換,xaxd22 Caxxaaxx |ln2222222相仿地相仿地,可算出可算出還可得到還可得到重要公式重要公式 4.4 換元積分法換元積分法36 94d2xx 223)2(dxx解解.942ln212Cxx Caxxxax )ln(d12222 94d2xx 223)2()2(d21xx 4.4 換元積分法換元積分法37注注以上幾例所使用的均為以上幾例所使

21、用的均為三角代換的三角代換的目的目的當當被積函數(shù)被積函數(shù)中含有中含有:,)1(22xa 令令taxsin ,)2(22xa 令令taxtan ,)3(22ax 令令taxsec taxcos 或或taxcot 或或taxcsc 或或回代時回代時, 一定要借助一定要借助 輔助三角形輔助三角形.三角代換三角代換.是化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律一般規(guī)律: 4.4 換元積分法換元積分法38例例 .d125xxx 求求(三角代換很繁瑣三角代換很繁瑣),12xt 令令, 122 tx,ddttxx xxxd125 tt22)1(tttd)12(24 Cttt 353251.1)348(151242Cxxx

22、 解解txtan xxd12 4xx ttd 回代回代 4.4 換元積分法換元積分法39三角代換并不是絕對的三角代換并不是絕對的,注注需根據(jù)被積函數(shù)需根據(jù)被積函數(shù)積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用的情況來定的情況來定. 4.4 換元積分法換元積分法40例例 求求解解xxde11 令令, 1e2 tx.d12d2tttx xxde11 ttd122 Ctt 11ln.)1e1ln(2Cxx ),1ln(2 txCaxaxaxax ln21d122回代回代,e1xt 4.4 換元積分法換元積分法41例例 求求解解xxxd423 令令,sin2tx ,dcos2dttx 2

23、,2t 3)sin2(ttttdcossin3223 ttttdcos)cos1(sin3222 tttcosd)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .)4(51)4(345232Cxx 法一法一原式原式=ttdcos2 t2sin44 回代回代 4.4 換元積分法換元積分法42法二法二xxxd423 222d4xxx uuud421 2xu uud4)(21 uuuud)4(2d)4(212123 )4d()4(2)4d()4(212123uuuu .)4(34)4(51232252Cxx Cuu 2325)4(34)4(51原式原式= xx 2xx

24、 d42 21u 44 回代回代 uuuuud44d4)4(21 4.4 換元積分法換元積分法43 ,coslndtanCxxx,sinlndcot Cxxx,)tanln(secdsec Cxxxx,)cotln(cscdcsc Cxxxx,arctan1d122Caxaxxa (18)(19)(20)(21)(22)基基本本積積分分公公式式(2),ln21d122Caxaxaxax (23) 4.4 換元積分法換元積分法44,ln21d122Cxaxaaxxa ,arcsind122Caxxxa ,)ln(d12222Caxxxax xaxd22 .|ln2222222Caxxaaxx 希

25、自己添加希自己添加!基基本本積積分分公公式式(2)(24)(25)(26)(27)熟熟熟熟熟熟 記記記記記記 4.4 換元積分法換元積分法45例例 xxxd)2(17 求求令令tx1 ttxd1d2 xxxd)2(17 ttttd12127 tttd2176Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解 7721)21(d141tt法一法一回代回代倒代換倒代換tx1 注注可用來消去分母中的變量可用來消去分母中的變量.一些情況下一些情況下(如被積函數(shù)是分式如被積函數(shù)是分式, 分母的分母的方冪較高時方冪較高時), 4.4 換元積分法換元積分法46法二法二xxxd)2(17 x

26、xxd)2(17 xxd)2(7 7xu )2(d71777xxx )2(d71uuu uuuud21d1141 Cuu 2lnln141.|ln21|2|ln1417Cxx uuuuud)2(22171 回代回代還有別的方法嗎？還有別的方法嗎？7x6x 4.4 換元積分法換元積分法47法三法三xxxd)2(17 xxxd)2(17 xxxd)2(7 2217x 7x xxd121 xxxd22176 |ln21x )2(d2114177 xx.|2|ln141|ln217Cxx 4.4 換元積分法換元積分法48xxxd)2(17 法四法四 )21(d78xxxxxxd)2(17 721x7d

27、 x71 7721)21d(141xx.|21|ln1417Cx 4.4 換元積分法換元積分法49如如: : 倒代換倒代換tx1 對如下形式對如下形式 22dxaxx 222dxaxx 22daxxx 222daxxxxxxad422 xxaxd422 都適用都適用. 4.4 換元積分法換元積分法50例例 解解xxxd1124 求求xxxd1124 令令,1tx ttxd1d2 ttttd11111224 (分母的階較高分母的階較高)tttd123 222d121ttt 2tu 4.4 換元積分法換元積分法51 uuud121 uuud11121 )1(d11121uuuCuu 1)1(313

28、.1131232Cxxxx tx1 2tu 回代回代 4.4 換元積分法換元積分法52,時時lkxx ntx 注注當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式的根式可采用令可采用令(其中其中n為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)) 4.4 換元積分法換元積分法53例例xxxd)1(13 求求令令6tx ttxd6d5 xxxd)1(13 ttttd)1(6235 tttd1622 tttd111622 ttd11162Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 解解 4.4 換元積分法換元積分法54解解 220232d)1(1xxI計算計算令令,sintx

29、,dcosdttx . 1 tttdcoscos3例例 2,2t由由 xxd)1(1232 ttdsec2Ct tant21x 輔助三角形輔助三角形1x,12Cxx )()(d)(aFbFxxfba 微積分基本公式微積分基本公式:得得 22021xxI回代回代 4.4 換元積分法換元積分法55 220232d)1(1xxI計算計算例例 此題如果直接對定積分進行換元此題如果直接對定積分進行換元, 化為化為新變量新變量故積出來的原函數(shù)不必回代故積出來的原函數(shù)不必回代,下下的定積分的定積分,用此法用此法此法較為簡潔此法較為簡潔!方法二方法二,sintx 設(shè)設(shè),22時時當當 x,4 t,0時時當當 x

30、; 0 t則則 220232d)1(1xxI ttdsec24040tant . 1 不妨與上面的運算做個比較不妨與上面的運算做個比較:此法對一般的定積分計算是否成立此法對一般的定積分計算是否成立? ? 4.4 換元積分法換元積分法56定理定理4.8則則 baxxfd)(定積分換元公式定積分換元公式設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)上上或或在在),(, )( t f )(t tt d)( ,)(baCxf 作變換作變換(2) 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),(1) ),(tx ,)(,)(ba :)( 滿足滿足其中其中t 為此為此, 下面給出定積分的換元積分法下面給出定積分的換元積分法.,時時且當且當 t;,)(bat

31、4.4 換元積分法換元積分法57證證,)(baCxf 由由于于 xxfbad)( )(ddtFt 是是故故)(tF tttfd )()( )()(aFbF 故有故有.d)()(d)(tttfxxfba 則則由于由于tttfxxfbad)()(d)( )(tF )()(ttf 的的)()(ttf N-L公式公式)()(aFbF N-L公式公式則則)()( FF 故可設(shè)故可設(shè)f (x)在在原函數(shù)原函數(shù),)(t ba )(,)()1( ,)()( Cttf 因此上面公式兩邊的定積分都存在因此上面公式兩邊的定積分都存在.a, b上的一個原函數(shù)為上的一個原函數(shù)為F(x), 4.4 換元積分法換元積分法5

32、8注注由于積分限做了由于積分限做了故積出來的原函數(shù)不必回代故積出來的原函數(shù)不必回代;求定積分的方法有兩種方法求定積分的方法有兩種方法: 可用可用N-L公式公式;從換元的觀點從換元的觀點.tttfxxfbad)()(d)( (1),時時當當 換元公式仍成立換元公式仍成立;(2) 在定積分換元公式中在定積分換元公式中,相應(yīng)的改變相應(yīng)的改變,(3)定積分換元公式定積分換元公式 4.4 換元積分法換元積分法59解解 aaxxax022)0(d1令令,sintax ax 2 t0 x0 tttaxdcosd 原式原式 ttcossin 20dcossinsincos121ttttt 20cossinln

33、21221tt .4 ttatatad)sin1(sincos22 02 20tcostd tsintcos tsin 21例例 4.4 換元積分法換元積分法60 幾個關(guān)于奇、偶函數(shù)、三角函數(shù)及周期函數(shù)幾個關(guān)于奇、偶函數(shù)、三角函數(shù)及周期函數(shù) 換元積分換元積分例例 則則上上可可積積在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè),)(aaxf 證證 由于由于 aaxxfd)( 0d)(axxf對對, tx 令令 axxf0d)(由由被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間的變化被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間的變化來確定變換來確定變換.通常通常 0d)(axxf aaxxfxfxxfd)()(d)(0a作作變換變換,.ddtx 還可以證明一些定積分等

34、式還可以證明一些定積分等式,的定積分的例子的定積分的例子. 4.4 換元積分法換元積分法61,ax , 0 x 0d)(axxf attf0d)(x利用這一結(jié)果計算利用這一結(jié)果計算:xxxde1cos44 .22xxxxxde1cose1cos40 則則;at . 0 t 0d)(attftx 令令 40dcosxx.ddtx x aaxxfd)( axxf0d)( 0d)(axxf aaaxxfxfxxf0d)()(d)(所以所以 4.4 換元積分法換元積分法62可得可得:由定積分的幾何意義由定積分的幾何意義(面積的代數(shù)和面積的代數(shù)和)也可得也可得.,)(上連續(xù)上連續(xù)在在當當aaxf 且有且

35、有則則 aaaxxfxxf0d)(2d)(則則 aaxxf0d)(1) f (x)為偶函數(shù)為偶函數(shù), (2) f (x)為奇函數(shù)為奇函數(shù), aaaxxfxfxxf0d)()(d)(由由 4.4 換元積分法換元積分法63 xxxdsin4 112d4xx xxxxxd12sin552423xx d412 00例例 20 4.4 換元積分法換元積分法64 xxxd |1).124(52 xxxxd122235 0.38 xxxd |2 奇奇奇奇偶偶11xxxxd12220224 xxxd |)1(21 0 21211dxxxxxxxxd12)2(2222345 xxxxd1222224 4.4 換

36、元積分法換元積分法65證證 (1)tx 2例例 2020;d)(cosd)(sin)1(xxfxxf 00,d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf由此計算由此計算 02.dcos1sinxxxx設(shè)設(shè)02 20d)(costtf 20d)(cosxxf02txdd 證畢證畢.由由被積函數(shù)的變化和積分被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間的變化區(qū)間的變化來確定變換來確定變換. 20d)(sinxxf ttfd2sin若若f (x)在在0,1上連續(xù)上連續(xù), 證明證明 4.4 換元積分法換元積分法66tx txdd 0d)(sinxxxf 0d)(sin)(ttft設(shè)設(shè) 0d)(sinxxxf.d)(sin

37、20 xxf證證由此計算由此計算 02.dcos1sinxxxx 00d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf 0d)(sinttf 0d)(sinttft00 xx x由由被積函數(shù)的變化和被積函數(shù)的變化和積分區(qū)間變化積分區(qū)間變化來確定來確定變換變換. ttftd)sin()(若若f (x)在在0,1上連續(xù)上連續(xù), 證明證明注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式所以所以 4.4 換元積分法換元積分法67 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 02)(cosdcos112xx 0)arctan(cos2x .42 )44(2 說明說明: 盡管盡管, 0cos1sin2Cxxx 但由

38、于它沒有但由于它沒有初等原函數(shù)初等原函數(shù),故此積分無法直接用故此積分無法直接用N-L公式求得公式求得. 0d)(sinxxxf 0d)(sin2xxf 4.4 換元積分法換元積分法68這個公式就是說這個公式就是說:周期函數(shù)在任何長為周期函數(shù)在任何長為一周期一周期的的區(qū)間上的定積分都相等區(qū)間上的定積分都相等.如果如果T是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù) f (x) 的周期的周期, 則則 TaaTxxfxxf0d)(d)(a為任何常數(shù)為任何常數(shù)),證證 Taaxxfd)( axxfd)(0T 0d)(xxf TaTxxfd)( TaTxxfd)(uTx auTuf0d)( auuf0d)( 0d)(axxf結(jié)論

39、成立結(jié)論成立.(1) 4.4 換元積分法換元積分法69如果如果T是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù) f (x) 的周期的周期, 則則(2).N(d)(d)(0 nxxfnxxfnTaaT證證 nTaaxxfd)( TaaTxxfxxf0d)(d)(a為任何常數(shù)為任何常數(shù))(1) Taaxxfd)( TaTaxxf2d)( TaTaxxf32d)( nTaTnaxxf)1(d)( Txxf0d)( Txxf0d)( Txxf0d)(.d)(0 Txxfnn個個定積分的積分區(qū)間可加性定積分的積分區(qū)間可加性由公式由公式(1) 4.4 換元積分法換元積分法70計算計算.dcos12000 xx)(d)(d)(00N

40、nxxfnxxfnTT 解解例例 2000dcos1xx 2000d|2sin2|xx4周期為周期為 0d|2sin|2xx)d2sind2sin(2504220 xxxx. 2400 2000d|2sin|2xx504 4.4 換元積分法換元積分法71例例 ,21, 1,2121,e)(2xxxxfx設(shè)設(shè)解解考研數(shù)學考研數(shù)學(三三, 四四)填空題填空題4分分).(d)1(221 xxf則則tx 1txdd tttde21212 td奇函數(shù)奇函數(shù) 221d)1(xxf,1tx 令令 )(tf21 1td)1(121 .21 4.4 換元積分法換元積分法72.dd,d)(0 xytxttfyx求

41、求 解解已知已知 f (x)連續(xù)連續(xù),故不能直接應(yīng)用對積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式故不能直接應(yīng)用對積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式, 先作換元變換先作換元變換,uxt 令令則則0 t;xu . 0 uxt .ddut uuufxd )(0 0 x 被積函數(shù)中除積分變量被積函數(shù)中除積分變量t外還含有變量外還含有變量x,分析分析 xtxttfy0d)(uufxud)()( uufxxd )(0 xydd)( xxf uufxd )(0 )( xxf .d )(0uufx uufxuxd )()(0 例例 應(yīng)應(yīng) 4.4 換元積分法換元積分法73),0, 0( ,d)(0 tsxtxftIts已知已知 f (x)

42、連續(xù)連續(xù),txu s0證明證明I與與t無關(guān)無關(guān), 并指出并指出(不必證明不必證明) I是否與是否與s無關(guān)無關(guān), I是否與是否與x無關(guān)無關(guān).證證 tstxtxfI0)d()( )d()(uuf所以所以, I與與t無關(guān)無關(guān). I與與s有關(guān)有關(guān), I與與x無關(guān)無關(guān). 4.4 換元積分法換元積分法74 xxttxtx020dsin1lim求極限求極限解解被積函數(shù)中除積分變量被積函數(shù)中除積分變量t外還含有變量外還含有變量x,故不能直接應(yīng)用對積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式故不能直接應(yīng)用對積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式,應(yīng)先作換元變換應(yīng)先作換元變換,uxt 令令,xut 則則0 t; 0 u.2xu xt xttxt0

43、dsin.ddxut uuuxdsin20 xxxxx22sinlim220 . 1 00分析分析02xxuusinxud 2002dsinlimxuuuxx 原式原式 4.4 換元積分法換元積分法75選擇題選擇題設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf連續(xù)連續(xù),則下列函數(shù)中則下列函數(shù)中,必為必為偶函數(shù)偶函數(shù)的是的是.d)()(02ttfAx .d)()(02ttfBx .d)()()(0ttftftCx .d)()()(0ttftftDx 分析分析 xttfx0d)()()( 0d)(ttfx x 考研數(shù)學考研數(shù)學(二二)選擇選擇3分分)(Attfxd)(02 )( xut ud x0utdd )(2uf )(

44、x 4.4 換元積分法換元積分法76例例 求極限求極限 xxxttxfxttftx000d)(d)()(lim考研數(shù)學考研數(shù)學(二二) 11分分 , 0)0(,)( fxf且且連續(xù)連續(xù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解 原式原式 xxxxttxfxtttfttfx0000d)(d)(d)(lim xxxxuufxtttfttfx0000d)(d)(d)(limu 00 xxxxxfuufxxfxxfttf000)(d)()()(d)(lim洛必達洛必達法則法則 xt 0 u0 txu utdd 4.4 換元積分法換元積分法77例例 求極限求極限 xxxttxfxttftx000d)(d)()(lim, 0)0(,)( fxf且且連續(xù)連續(xù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 00 xxxxxfuufxxfxxfttf000)(