1、第二章 分解因式【知識要點】1分解因式（1）概念：把一個_化成幾個_的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。（2）注意：分解因式的實質是一種恒等變形，但并非所有的整式都能因式分解。分解因式的結果中，每個因式必須是整式。分解因式要分解到不能再分解為止。2分解因式與整式乘法的關系整式乘法是_；分解因式是_；所以，分解因式和整式乘法為_關系。3提公因式法分解因式（1）公因式：幾個多項式_的因式。 （2）步驟：先確定_，后_。（3）注意：當多項式的某項和公因式相同時，提公因式后該項變為1。 當多項式的第一項的系數是負數時，通常先提出“”號。4運用公式法分解因式（1）平方差公式：_ （2）完全平方公式

2、：_注：分解因式還有諸如十字相乘法、分組分解法等基本方法，做為補充講解內容?！究键c分析】考點一：利用提公因式法分解因式及其應用【例1】分解因式：（1） （2）（3） （4）1 / 33解析：（1）題先提一個“”號，再提公因式；（2）題的公因式為； （3）題的公因式為； （4）題的公因式為。答案：（1）； （2）； （3）； （4）。【例2】（1）已知，求的值。（2）已知，求的值。解析：（1）題：，所以考慮整體代入求該代數式的值；（2）題：，整體代入求值時注意符號。答案：（1） （2）【隨堂練習】1分解因式：（1） （2）（3） （4）2不解方程組，求的值注：（1）公因式應按“系數大（最大公約數

3、），字母同，指數低”的原則來選取。 （2）當多項式的某項和公因式相同時，提公因式后該項變為1，而不是沒有。（3）當多項式的第一項的系數是負數時，通常先提出“”號。（4）利用分解因式整體代入往往應用于代數式的求值問題。考點二：利用平方差公式分解因式及其應用【例3】分解因式：（1） （2）解析：（1）題：原式從整體看符合平方差公式，所以整體套用平方差公式； （2）題：，所以符合平方差公式，此題注意分解完全。答案：（1）； （2）?！纠?】計算：（1）； （2）.解析：（1）題：原式中每一個因式符合平方差公式，可以借助分解因式簡化計算。 （2）題：先化簡，再使用平方差公式。答案：（1）； （2）?！?/p>

4、例5】利用因式分解說明：能被整除。解析：對于符號相反的二項式，我們考慮使用平方差公式。此種題型應先將兩項化為底數相同的情況，再利用提取公因式法和平方差公式進行因式分解，最后湊出除數。 所以能被140整除?！倦S堂練習】 1分解因式：（1） （2）2. 利用分解因式說明：能被60整除.注：（1）平方差公式的結構特征是：二項式，兩項都是平方項，且兩項符號相反；（2）公式中的可以是具體數，也可以是代數式；（3）在運用平方差公式的過程中，有時需要變形?？键c三：利用完全平方公式分解因式及其應用【例6】（1）分解因式：（2）已知是完全平方式，求的值。 （3）計算：.解析：（1）題：原式要先提取公因式，再利用

5、完全平方差公式進行分解。 （2）題：此種題型考察完全平方公式的特征，中間項是首尾兩項底數積的2倍（或其相反數）。 （3）題：。答案：（1）； （2）； （3）【例7】（四川·成都）已知，那么的值是_。解析：原式的前三項可以進行因式分解，分解為，再將變形為，整體代入求值。答案：1【隨堂練習】 1（1）分解因式： （2）若多項式能運用完全平方差公式進行因式分解，求的值。（3）2（1）已知：，求代數式。（2）當時，求代數式的值。注：（1）完全平方公式的結構特征是：三項式，首尾兩項分別為兩個數的平方，中間項是兩個底數積的2倍（或其相反數）；（2）公式中的可以是具體數，也可以是代數式；考點四：

6、綜合利用各種方法分解因式及其應用【例8】分解因式：（1） （2）解析：（1）、（2）題都應先利用完全平方公式，再利用平方差公式進行因式分解。答案：（1）； （2）?！纠?】（福建·漳州）給出三個多項式：，請選擇你最喜歡的兩個多項式進行加減運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解。解析：本題是一道開放題，只要所得整式可以因式分解。本題可任取兩個多項式進行加法運算再因式分解。如：【例10】已知分別是三角形ABC的三邊，試證明解析：已知分別是三角形ABC的三邊，可以想到利用三角形的三邊關系，再由不等式的左邊是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。 由三角形三邊關系可知，上式的前三個

7、因式大于0，而最后一個因式小于0，則有：【隨堂練習】 1分解因式：（1） （2）2. （2009，吉林）在三個整式：中，請你任意選出兩個進行加（或減）法運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解。注：分解因式的一般步驟可歸納為：“一提、二套、三查”。 一提：先看是否有公因式，如果有公因式，應先提取公因式；二套：再考察能否運用公式法分解因式；運用公式法，首先觀察項數，若為二項式，則考慮用平方差公式；若為三項式，則考慮用完全平方公式。三查：分解因式結束后，要檢查其結果是否正確，是否分解徹底。【鞏固提高】一、選擇題1下列從左到右的變形中，是分解因式的有（ ） = A、1個 B、2個 C、3個 D、

8、4個2下列多項式能分解因式的是（ ）A、 B、 C、 D、3下列多項式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A、 B、 C、 D、4是ABC的三邊，且，那么ABC的形狀是（ ）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等邊三角形5如果是一個完全平方式，那么的值是（   ）A、     B、     C、       D、6已知多項式分解因式為，則的值為（）A、 B、C、 D、7已知，則的值是（   

9、; ）A、或     B、     C、       D、或8若，則是（ ） A、 B、 C、 D、9已知二次三項式可分解為兩個一次因式的積，下面說法中錯誤的是（ ）A、若，則同取正號；B、若，則同取負號；C、若，則異號，且負的一個數的絕對值較大；D、若，則異號，且負的一個數的絕對值較大。10已知，則多項式的值為（）A、     B、     C、  

10、60;    D、二、填空題11.分解因式： = .12在括號前面填上“”或“”號，使等式成立： 13若是一個完全平方式，則的值是 ；14已知：，那么的值為_.15ABC的三邊滿足，則ABC的形狀是_.16.觀察圖形，根據圖形面積的關系，不需要連其他的線，便可以 得到一個用來分解因式的公式，這個公式是 . 17若，則=_.18分解因式:_. (第16題圖)19若， 則_，_.20若， 則_.三、解答題21.分解因式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）22先分解因式，再求值：已知，求的值23設，（為大于零的自然數）。探究是否為8的倍數，并用文字

11、語言表達你所得到的結論。24對于實數，定義一種新運算：，分解因式：25閱讀下列計算過程：99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=100 2=10 4（1）計算：999×999+1999=_=_=_=_；9999×9999+19999=_=_=_=_。（2）猜想9999999999×9999999999+19999999999等于多少？寫出計算過程。第三章 分式【知識要點】1分式的概念及特征：、表示兩個整式，÷就可以表示成的形式，如果 中含有字母，式子就叫做分式。2分式有意義、無意義的條件：因為不能做除數，所以在分式中

12、，有：則有意義；則無意義。3分式值為零的條件：分式的值為零要同時滿足：分母的值不為零，分式的值為零這兩個條件。即則有且。4. 分式的符號法則：5. 分式的運算（1）同分母分式相加減，分母不變，只把分式相加減，即 = （2）異分母分式相加減，先通分，變為同分母的分式，然后再加減，即 = =注：1. 無論是探求分式有意義、無意義的條件，還是分式值等于零的條件，都將轉化成解方程或不等式的問題。2. 分式約分步驟：（1）找出分式的分子與分母的公因式，當分子分母是多項式時，要先把分式的分子和分母分解因式。（2）約去分子與分母的公因式。3. 最簡公分母的確定：（1）當幾個分式的分母是單項式時，各分式的最簡

13、公分母是系數的最小公倍數、相同字母的最高次冪、所有不同字母的積；（2）如果各分母都是多項式，應先把各個分母按某一字母降冪或升冪排列，再分解因式，找出最簡公分母?！究键c分析】考點一 ：分式有意義、無意義、值等于零的條件（重點）【例1】（2009，天津）若分式的值為零，則的值等于 。答案： 評析：由于可得，解得或。又因為時，；時，。所以要使分式的值為零，的值只能等于?！倦S堂練習】1. 若分式的值為0，則x的值等于 。2. 若分式的值為零，則x的值等于 。考點二： 分式的約分【例2】（2009，吉林）化簡的結果是（）A B C. D. 答案： 評析：觀察題中所給分式，分子、分母都為多項式，且都能分解

14、，因此應先將分子分母分解因式，再約去公因式。如注：1. 在應用分式的基本性質時要充分理解都和同這兩字的含義。2. 約分的結果是最簡分式或整式。【隨堂練習】1. （2008，太原）化簡的結果是（ ）A. B. C. D. 2化簡)的結果是（ ）A. B. C. D. 考點三：分式的加減運算（重點）【例3】（2009，長沙）分式 的計算結果是（ ）A. B. C. D. 答案：C 評析：先通分化為同分母分式，再進行加法運算。+ = + = = 注：1. 同分母分式加減運算中的“把分子相加減”是指把各個分式的“分子的繁體相加減，故當分子是多項式時，應加括號。2. 通分和約分是兩種截然不同的變形，約分

15、是針對一個分式而言，通分是針對多個分式而言；約分是將一個分式簡化，通分是將一個分式化繁?！倦S堂練習】（2008，杭州）化簡的結果是（ ）A. B. C. D. 考點四：分式的乘除運算【例4】（2009，天水）已知，計算評析：因為，所以 且,即原式= =,當時，原式=注：先化簡再求值，運算更簡便，分式的乘除運算要進行到分式和分母不再有公因式為止?！倦S堂練習】化簡1. 2. .考點五： 分式的混合運算【例5】（2010，常德）化簡：評析：原式= =注： 1. 正確運用運算法則；2. 靈活運用運算規律；3. 運算結果要最簡化【隨堂練習】（2010，瀘州）化簡：考點六： 條件分式求值的常用技巧（難點）

16、【例6】已知，則分式的值為 答案: 評析:由已知條件不能直接求出的值，所以考慮將已知條件向著所求代數式的方向進行變形轉化，通過整體代換解決問題。由,可得,所以,所以原式= = 注：條件分式求值主要方法有：1. 參數法：當已知條件形如所要求值的代數式是一個含 而又不易化簡的分式時，常設（就是我們所說的參數），然后將其變形為的形式，再代入所求代數式，約分即可。2. 整體代換法：若由已知條件不能直接求分式中字母的值，可考慮把已知條件和所求代數式進行適當的變形，然后整體代換，可使問題得到解決【隨堂練習】1. 已知，求代數式的值2. 若，則的值【鞏固提高】一、選擇題1（2009，荊門）計算：的結果是（

17、）A. B. C. D. 2（2009,威海）化簡)的結果是（ ）A. B. C. D. 3若，則等于（ ）A. B. C. D. 4（2010,河北）化簡的結果是（ ）A. B. C. D. 5（2009,陜西）化簡的結果是（ ）A. B. C. D. 二、填空題6計算： 7（2009，漳州）若分式 無意義，則實數 8（2010，黃岡）當x=2010時，代數式的值為 9在下列三個不為零的式子：中，任選兩個組成一個分式是 把這個分式化簡所得結果是 三、解答題10(2010,煙臺)先化簡，再求值：，其中11(2010,貴陽) 先化簡：，當時，再從的范圍選取一個合適的整數代入求值。12（表格信息題

18、）按下圖的程序計算，把答案寫在表格內：平方（）（）答案（1）填寫表格輸入輸出答案（2）請將題中的計算程序用代數式表達出來，并化簡。13（條件開放題）請從下列三個代數式中任選兩個構造一個分式，并化簡該分式： 第四章 相似三角形【知識要點】 1相似三角形對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。 注：（1）兩個全等三角形一定相似 （2）兩個直角三角形不一定相似。兩個等腰直角三角形一定相似。 （3）兩個等腰三角形不一定相似。兩個等邊三角形一定相似。2相似比 （1）相似三角形對應邊的比叫做相似比。 （2）面積比等于相似比的平方。 注：相似比要注意順序：如ABCA'B'C'

19、的相似比，而 ABC的相似比，這時。 3相似三角形的識別 （1）如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三 角形相似。 （2）如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相 等，那么這兩個三角形相似。 （3）如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個 三角形相似?！究键c分析】考點一：相似三角形的判定 【例1】 如圖，123，圖中相似三角形有（ ）對。 解析：由平行線的性質，可知 ， ，再由相似三角形判定定理一，可得有四組三角形相似。 答：4對。【隨堂練習】 1 如圖，已知：ABC、DEF，其中A50°，B60

20、6;C70°， D40°，E60°，F80°，能否分別將兩個三角形分割成兩個小 三角形，使ABC所分成的每個三角形與DEF所分成的每個三角形， 分 別對應相似？ 如果可能，請設計一種分割方案；若不能，說明理由。 考點二：相似三角形的識別、特征在解題中的應用 【例2】（2008·廣東?。┤鐖D所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點F在BA的延 長線上，連結CF交AD于點E。 （1）求證：CDEFAE； （2）當E是AD的中點，且BC2CD時，求證：FBCF。 解析：由ABDC得：FDCE，EAFD CDEFAE ，又E為AD中點 DEAE，從而CDF

21、A，結合已知條件，易證 BFBC，FBCF （1）四邊形ABCD是平行四邊形 ABCD FDCE，EAFD CDEFAE （2）E是AD中點，DEAE 由（1）得： CDAF 四邊形ABCD是平行四邊形 ABCD ABCDAF BF2CD，又BC2CD BCBF FBCF 注：平行往往是證兩個三角形相似的重要條件，利用比例線段也可證明兩線段相等。 【隨堂練習】 1已知：如圖(a)，在梯形ABCD中，ADBC，對角線交于O點，過O作 EFBC分別交AB，DC于E，F。求證：(1)OE=OF;(2);(3)若 MN為梯形中位線，求證AFMC。 考點三：未知數的設定應用 【例3】 在梯形ABCD中，

22、A90°，ADBC，點P在線段AB上從A向B運動， （1）是否存在一個時刻使ADPBCP； （2）若AD4，BC6，AB10，使ADPBCP，則AP的長度為多少？ 解析：（1）存在 （2）若ADPBCP，則 設 或 或 或 AP長度為4或6【隨堂練習】 1如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知C90°，AB 5cm，BC3cm，試設計一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達最大的正方形不銹 鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長。 考點四：直角三角形相似的比例關系 【例4】已知：如圖，RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，DEAC于E， DF BC于

23、F。 求證：(1)；(2); (3) 解析：（1）掌握基本圖形“RtABC，C=90°，CDAB于D”中的常用結論。 勾股定理： 面積公式：AC·BC=AB·CD 三個比例中項：, （2）靈活運用以上結論，并掌握恒等變形的各種方法，是解決此類問題的基 本途徑，如等式兩邊都乘或除以某項，都平方、立方，或兩等式相乘等。 （3）學習三類問題的常見的思考方法，并熟悉常用的恒等變形方法，以及中 間等量代換。 第（1）題： 證法一 證法二 , 第（2）題： 證法一 ，利用BDFDAE，證得 ， 命題得證。 證法二 由得 證法三 ， (相似三角形對應高的比等于對應邊的比) DE

24、BC， 第（4）題： 證法一 , ， 證法二： ADCCDB， · 證法三：， 【隨堂練習】1 如圖，已知直角梯形ABCD中，AB90°，設， ，作DEDC，DE交AB于點E，連結EC。 （1）試判斷DCE與ADE、DCE與BCE是否分別一定相似？若相似，請加 以證明。 （2）如果不一定相似，請指出a、b滿足什么關系時，它們就能相似？ F A D E B C【鞏固提高】 1. 如圖，已知DEBC，CD和BE相交于O，若，則AD：DB_。 2. 如圖，ABC中，CE：EB1：2，DEAC，若ABC的面積為S，則ADE的面積為_。 3. 若正方形的4個頂點分別在直角三角形的3條

25、邊上，直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長為_。（2000年武漢市中考題） 4. 閱讀下面的短文，并解答下列問題： 我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體。 如圖，甲、乙是兩個不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對應線段之比都等于相似比：，設分別表示這兩個正方體的表面積，則，又設分別表示這兩個正方體的體積，則。 （1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（ ） A. 兩個球體B. 兩個圓錐體 C. 兩個圓柱體 D. 兩個長方體 （2）請歸納出相似體的3條主要性質： 相似體的一切對應線段（或弧）長的比等于_； 相

26、似體表面積的比等于_； 相似體體積的比等于_。（2001年江蘇省泰州市中考題） 5. 如圖，鐵道口的欄桿短臂長1 m，長臂長16 m，當短臂端點下降0.5 m時，長臂端點升高（ ） A. 11.25 mB. 6.6 mC. 8 mD. 10.5 m 6. 如圖，D為ABC的邊AC上的一點，DBCA，已知，BCD與ABC的面積的比是2：3，則CD的長是（ ） A. B. C. D. 7. 如圖，在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，且，AEBE，則有（ ） A. AEDBEDB. AEDCBD C. AEDABDD. BADBCD（2001年杭州市中考題） 8. 如圖，已知ABC中，DEFGBC，且AD：FD：FB1：2：3，則等于（ ） A. 1：9：36B. 1：4：9 C. 1