1、概率論與數理統計（10）第3章多維隨機變量在實際問題中常需要同時考慮兩個或兩個以上的隨機變量。例如，為研究某一地區學齡前兒童的身體發育情況，對該地區的兒童進行抽查，對每個兒童都能觀察他的身高、體重等身體指標。又如，當一個確定的正弦信號經過信道隨機干擾后，輸出信號的振幅、相位和角頻率都是隨機變量。3.1 二維隨機變量及其分布一、聯合分布函數定義3.1.1設隨機試驗E的樣本空間為小對下每一個樣本點3£有日個實數與之對應，則稱它們構成的有序組.兀）稱為維隨機變量，或稱”維隨機向量.前述兒童身體健康抽樣試驗中.樣本空間為o=該地區的全體兒童，記兒童們的身高為"和體重為步，則（H,W

2、）構成定義在C上的二維隨機變量.由于二維隨機變量與門維隨機變量沒有本質的區別，為討檢簡單和便丁一理解起見，下而著重討論二維隨機變量.二維隨機變量（K/）中的£7是定義在同一樣本空間笈上的隨機變量，將它們的分布函數分別記為=P（¥與工1,F<y）=產Yy）.定義3.1.2設（AVF）是：維隨機變量是任意實數對.記稱二無函數=PXxtYy）（3,1,1）為（.¥，）的聯合分布函數:1與的分布函數RJ）和八（?）分別稱為（工卜）關丁KF的邊緣分布函數.PXx=PXx,Y<+x,ywy)=PX<+oc,ywy),可得聯合分布函數與邊緣分布函數之間的關系如

3、卜:Fv（X）=limF（y）=litnF（y）.（3.1.2）jj+Xy-*+X若將二維隨機變量（X,Y）看成平面上隨機點的坐標，則聯合分布函數內.”）就是隨機點（x,y）落在以（工,廣）為頂點，位于該點左下部陰影部分內的概率，如圖3J所示.圖3. 1分布函數FC”）的幾何意義由圖3.2不難看出，隨機點（X,y）落入矩形I）=（.E,y）：X.xx19y力內的概率為P（v,X0冕2»）1丫=/'（與，先）一/'（"2,）1）一卜工曲»）2）+（Xj,%）.（3.1.3）一維聯合分布函數具有以下性質：F（1）F（4,y）分別對%,y單調下降，即有當

4、X）町時，尸（町,y）w/（42,y）對一切y£R成立;當以六時，（算,力）0（%,打）對一切賓仁R成立.（2）對每一個變量r（、,）是右連續的，即有limf（x,y）=".”,y）,對一切ywR成立；limF（x,y）=F（工,%）,對一切工£R成立.（3） /，'（A：,y）是非負有界函數:0W/（X,y）l,llljri有limFCxy）=0,limF（x9y）=0,lim/，（,1）=I.x*-Xy-Xx-»X）,-x（4）對于任意實數X|5，有F（x2y2）一/（2，%）一F（町，2）+F（X，%）0.容易證明以上性質.需指出，若二元函

5、數/，（.、：,）滿足上述叫條性質，則一定F存在二維隨機變量（x,y）以人工,）為聯合分布函數.例3.1.1二元函數F( Xi y );¥ +, + j < 0.具有性質（1）、（2）、（3）,但有1H）-/'XH-1）-K-1,1J斗內-H-l）=l-l-l+0=-h即不滿足分布函數的性質（4）,故Zx,y）不是聯合分布函數.例3.1.2二維隨機變量）的聯合分布函數為I-2-T-2-1+2-Jr-Q0,yN0；10，其他，求邊緣分布函數3(工)和乙()，以及概率/U<,Yw2,3<¥宅5.解八(#)=lirnm1丫)=J2'一工，lo,H

6、<0.I”)J-2-戶0:戶1L3J=Imi八J=L+*0,<0.P0<XW2,3<W5)=K2t5)-F(2,3)-M1f5)+Z,3)=(I-2-2-25+27)-(1-2-2-2-3+2-5)-(I-2'1-25+2-6)n維隨機變量（&，后，,兀）的聯合分布函數定義為儀馬*q*X.,）=PX.這11,AW，工位.4.IjrlrIIjNN式中修，工“，陽,是T1個任意實數.由（尤）的聯合分布函數,可確定其中任意占個（1wAwQ分量的聯合分布函數，稱為左維邊緣分布函數，例如（X,）=/（X.7V/：A+0C，r/小芯十H）,F%（»,二/（

7、修.招+X，.T/；E+Iu11p-iijI"是（凡,蒞，,冗）分別關于£,（4,%）的邊緣分布函數.H維聯合分布函數有類似了二維聯合分布函數的性質.聯合分布律定義3.13二維隨機變量（K二所有可能取值為有限對或可列無窮對:（町,咒），司=1,2,、記*JJP（A=x-+=y-=ptJ»（/1y=1r2"）（3.1-5）滿足以卜條件：£ £心=1，J = I ;=(I)£注0,(itj=1.2,則稱（筋y）為二維離散型隨機變量.稱等式（3.5）為（x,y）的聯合分布律.關于（X,Y）的聯合分布律，有如下性質:性質3.1.I隨

8、機變量（,*）的聯合分布函數為收,2=XX心（3.L6）性質3.1.2隨機變量X與F的分布律為Ptt=Xj=/t=£1j=I.2,）（3.1.7）j=iP（>=）;）（£=12上C3.I.X）3二i旺證pa=工）=/（tv=x.nu（y=5）i=1=p（u£v.c¥=）j=i=X二=X/%.>=j=i同理Py=EPi-.i.三I人們習慣用表3.1的形式給出二維崗散型隨機變吊的聯合分布律.表3.1.1FiVSY；嵬x2MiPiiPi/冉i也MiVn.Pa死.Pi-Pi*piP-i外工由表3.1.1可見，將表格中的各行的元素相加，置于最后一列，構

9、成隨機變量X的分布律；將表格中各列的元素相加，排在最下一行，構成了隨機變量Y勺分布律，通常稱為X口Y的邊緣分布律*例3.1.3（有放回摸球試驗）袋子中裝有2只白色球和3只黑色球，現從中有放回地摸球，每次摸一個，用X表示第一次摸出的白球數，用Y表示第二次摸出白白球個數，表3.1.2給出了（X,Y）的聯合分布律以及關于X、Y的邊緣分布律。衣3.L2有放回摸球01033324-3555551177一二15555532P755例3.1.4（無放回摸球試驗）將上例中的試驗改為無放回摸球,則（X,Y）的聯合分布律，關于X、Y的邊緣分布律由表3.1.3給出表3,L3無放回摸球X01化.Q3232545435

10、12321«*54547T3_2_TT根據式（3.1.7）和式（3.1.8），由（X,Y）的聯合分布律可以完全確定X、Y的邊緣分布律。例3.1.3和例3.1.4中X、Y的邊緣分布律都相同，但兩個例子卻有完全不同的聯合分布律。應認識到：二維隨機變量的分布不僅與兩個分量有關，還與各分量間的聯系有關.例3.1.5（二維兩點分布）設隨機變量（X,Y）的聯合分布律如表3.1.4所示，其中0<p<1,稱（X,Y）服從二維兩點分布，寫出（X,Y）的聯合分布律.F(.tjy)=P=0；?(afy)=7JAVe,)Wj=Pw=I-p：F(xjv)=尸XW入，W)=/f=I-ptA-(x.v

11、)=PAW1,Wj)=Pm+Jh=I;(M)圖3.3綜合得(見圖工3)r()T工<0或<0：/'"(X,1)=JI-pt()A<I或0Wj<I"WarI，IWi,I忘k三、聯合概率密度定義3.1.4二維隨機變吊x*,y）的聯合分布函數為網上”），如果存在函數Jlx.y）法0.使得對于任意實數C#,y）有(3.1.9)則稱（）是連續型的二維隨機變量.函數八nr）稱為CLD的聯合概率密度.類似于一維的情形,聯合概率輜度.*,）具有以下性質工（）yuv）o處處成立：凡是滿足性質（1）和（2）的二元函數八x,y）必為某個二維隨機變量的聯合概率密度.（

12、3）若CUR,則有(3. L 10)P（¥）£6）=，支，）,）tIsG（4）隨機變量X。的概率密度分別為fl. x, y )( y， x & R(3. 1. I 1 )(3.L12)則稱/；（工），（y）為（x,丫）關于x,y的邊緣概率密度.因為A(x)=F(x.77F；£+x)/v(x)=Fv(x)=J/Ix»同理可證得公式（3.L12）.oc/(u9v)dvdu例3.1.6已知二維隨機變量（X,Y）的聯合概率密度為小：，）=Ke-0,x>0,y>0；J其他.試求：（1）常數K；(2)(3)(4)邊緣概率密度/V（Q；概率”YWX

13、;聯合分布函數內4,y）和邊緣分布函數色合）.(1)1JI工,y)(kdy=人（1山x|xl4,?故K=2.-+x /1x,y)dy = J Joe"'e 'dy, x > 0；0,x £ 0.2-0,x>0：rO.(3)令(；=(%,“) W.T 8 -+ X=h L(4) /=/( ii9 V)dudv0,(2""'ddu, x > (),y > 0;PyX=P(X,y)eG=p(x,y)(lA(lyG2e-(2lf>)(Lv(ly=LJ其他.八I-r-2¥)(I#>0,y>

14、0i0,其他rl-e-2*(工)=litnh'(XtV)=*J-"(.x>0；其他.可驗證有r式G=A（x）.例3L7二維隨機變量1.%F）的聯合概率密度是+1W%<+x»-x；2xyhIo,其他.求關廠F的邊緣概率密度/（Q，并檢驗所得£（，）是否為概率密度.(hs0W，<112.v/二dxtI與F<+8；2.r-vI。,y<0.1亍，t)y<I；10,v<0.對所有值（見圖3.4）,均有J；（y）>0成立，而RA(y)d,v=n圖3.4Ocly+-X小'+0乙2y四、二維均勻分布（幾何概率）設Gu

15、r、其面積記為s（c）,若二維隨機變量（x,y）的聯合概率密度為I_S3'0,則稱（X,y）在G上服從均勻分布.設是C的子域（uc）,則有p (x,y)w = 1 >df71(3.m3)S(C)3(C)力。的面積此公式表明，若二維隨機變量（x,y）在c上服從均勻分布,它落在c的任意域中的概率僅與該r域的面枳有關，面與其位置無關，從血（X,“落在c的等面積子域上的概率保持不變，這正是均勻分布的“均勻”含義.若隨機變量X在（”,）上服從均勻分布,對任意（C,/）U（,），有(3. 1. 14)根據式（3.1.13）、（3.1.14）以及類似公式，人們借助于幾何度量（長度、面積、體枳等

16、）來計算概率,將這種概率稱為幾何概率.例3.1.8在時間間隔0,T內的任意時刻，兩個不相干的信號都等可能地進入信號接收機,如果當這兩個信號進入接收機的時間間隔不大于"則會產生干擾試求信號接收機受到干擾的概率.解以x和y分別表示兩個信號進入接收機的時刻，山題設條件知（X,Y）在矩形區域G=（"，尸）：0W70WyW7上服從均勻分布.信號接收機受到干擾的充分必要條件是（x,y）落入I）=（.*,1）：lx-yW/內，根據幾何概率公式（3.1.13），如圖3.5所示，所求概率為的面積-（71-/）23fV不=（一力例3.1.9在區間-1,2上隨機選取兩點，其坐標分別記為X和匕求兩

17、坐標之和大于1而兩坐標之積小于1的概率.解顯然二維隨機變量（X,y）在矩形（如圖3.6）G=（x,y）-10.T02,-1上服從均勻分布，所求概率為/）的Hn枳6的面積S3)=3,；+2f-2J故S10)2?"S(G)-91/<lx="1-+2ln2.x2In26y2飛-1°y”其中D的面枳是Ot77圖3.5五、止態分布:維隨機變量。r丫）的聯合概率密度為/、f心一內尸?/產、叫八i_na卒27TfT,tr2vI-p1_U-pHal工ER*J£R式中Mi,如，er,f£T2rp均為常數,且%>0ttr2>Of-維正態分布.記為（F）;Y（出,吊；出,（rp）.例3.1.10設（X,F）-A（。，1:0,1./即（£11rli爪-y）-_rx）J（【J'42宣/1-p2（1-p）求MF的邊緣概率密度%（工）和6。“解爐t工）=卬（苒,）dyJ-茹f+x11-,TXLr,12*2tta/1-p21-）I圖3.6(r)2n+2r"We!J(3,1.15)1<p<k