1、精品文檔文檔高中數學 必修1知識點 第一章 函數概念1函數的概念設、是兩個非空的數集，如果按照某種對應法那么，對于集合中任何一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么這樣的對應包括集合，以及到的對應法那么叫做集合到的一個函數，記作函數的三要素:定義域、值域和對應法那么只有定義域一樣，且對應法那么也一樣的兩個函數才是同一函數2區間的概念及表示法設是兩個實數，且，滿足的實數的集合叫做閉區間，記做；滿足的實數的集合叫做開區間，記做；滿足，或的實數的集合叫做半開半閉區間，分別記做，；滿足的實數的集合分別記做注意：對于集合與區間，前者可以大于或等于，而后者必須，前者可以不成立，為空集；而后者必須成立

2、3求函數的定義域時，一般遵循以下原那么：是整式時，定義域是全體實數是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1中，零負指數冪的底數不能為零假設是由有限個根本初等函數的四那么運算而合成的函數時，那么其定義域一般是各根本初等函數的定義域的交集對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：假設的定義域為，其復合函數的定義域應由不等式解出對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進展分類討論由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義

3、4求函數的值域或最值求函數最值的常用方法和求函數值域的方法根本上是一樣的事實上，如果在函數的值域中存在一個最小大數，這個數就是函數的最小大值因此求函數的最值與值域，其實質是一樣的，只是提問的角度不同求函數值域與最值的常用方法：觀察法：對于比擬簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或最值判別式法：假設函數可以化成一個系數含有的關于的二次方程那么在時，由于為實數，故必須有，從而確定函數的值域或最值不等式法：利用根本不等式確定函數的值域或最值換元法：通過變量代換到達化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將

4、代數函數的最值問題轉化為三角函數的最值問題反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值函數的單調性法5函數的表示方法表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種 解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系6映射的概念設、是兩個集合，如果按照某種對應法那么，對于集合中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應包括集合，以及到的對應法那么叫做集合到的映射，記作給定一個集合到集合的映射，且如果元

5、素和元素對應，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象6函數的單調性定義及判定方法函數的性 質定義圖象判定方法函數的單調性如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1< x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是增函數1利用定義2利用函數的單調性3利用函數圖象在某個區間圖 象上升為增4利用復合函數如果對于屬于定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1< x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數1利用定義2利用函數的單調性3利用函數圖象在某個區間圖象下降為減4利用復合函

6、數在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數對于復合函數，令，假設為增，為增，那么為增；假設為減，為減，那么為增；假設為增，為減，那么為減；假設為減，為增，那么為減yxo7打“函數的圖象與性質分別在、上為增函數，分別在、上為減函數8最大小值定義一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：1對于任意的，都有； 2存在，使得那么，我們稱是函數的最大值，記作一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：1對于任意的，都有；2存在，使得那么，我們稱是函數的最小值，記作9函數的奇偶性定義及判定方法函數的性 質定義圖象判定方法函

7、數的奇偶性如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(x)=f(x),那么函數f(x)叫做奇函數1利用定義要先判斷定義域是否關于原點對稱2利用圖象圖象關于原點對稱如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f(x)=f(x),那么函數f(x)叫做偶函數1利用定義要先判斷定義域是否關于原點對稱2利用圖象圖象關于y軸對稱假設函數為奇函數，且在處有定義，那么奇函數在軸兩側相對稱的區間增減性一樣，偶函數在軸兩側相對稱的區間增減性相反在公共定義域內，兩個偶函數或奇函數的和或差仍是偶函數或奇函數，兩個偶函數或奇函數的積或商是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積或商是奇函數第二章 根本初等函數()2.1指

8、數函數【2.1.1】指數與指數冪的運算1根式的概念如果，且，那么叫做的次方根當是奇數時，的次方根用符號表示；當是偶數時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數沒有次方根式子叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數當為奇數時，為任意實數；當為偶數時，根式的性質：；當為奇數時，；當為偶數時， 2分數指數冪的概念正數的正分數指數冪的意義是：且0的正分數指數冪等于0正數的負分數指數冪的意義是：且0的負分數指數冪沒有意義 注意口訣：底數取倒數，指數取相反數3分數指數冪的運算性質【2.1.2】指數函數及其性質4指數函數函數名稱指數函數定義0101函數且叫做指數函數圖象定義域值

9、域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數在上是減函數函數值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內，越大圖象越高；在第二象限內，越大圖象越低2.2對數函數【2.2.1】對數與對數運算（1） 對數的定義假設，那么叫做以為底的對數，記作，其中叫做底數，叫做真數負數和零沒有對數對數式與指數式的互化：2幾個重要的對數恒等式，3常用對數與自然對數常用對數：，即；自然對數：，即其中4對數的運算性質 如果，那么加法：減法：數乘：換底公式：【2.2.2】對數函數及其性質5對數函數函數名稱對數函數定義函數且叫做對數函數圖象0101定義域值域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶單調性在上是增

10、函數在上是減函數函數值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內，越大圖象越靠低；在第四象限內，越大圖象越靠高(6)反函數的概念設函數的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那么式子表示是的函數，函數叫做函數的反函數，記作，習慣上改寫成7反函數的求法確定反函數的定義域，即原函數的值域；從原函數式中反解出；將改寫成，并注明反函數的定義域8反函數的性質原函數與反函數的圖象關于直線對稱函數的定義域、值域分別是其反函數的值域、定義域假設在原函數的圖象上，那么在反函數的圖象上一般地，函數要有反函數那么它必須為單調函數2.3冪函數1冪函數的定義

11、 一般地，函數叫做冪函數，其中為自變量，是常數2冪函數的圖象3冪函數的性質圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象限 過定點：所有的冪函數在都有定義，并且圖象都通過點 單調性：如果，那么冪函數的圖象過原點，并且在上為增函數如果，那么冪函數的圖象在上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近軸與軸奇偶性：當為奇數時，冪函數為奇函數，當為偶數時，冪函數為偶函數當其中互質，和，假設為奇數為奇數時，那么是奇函數，假設為奇數為偶數時，那么是偶

12、函數，假設為偶數為奇數時，那么是非奇非偶函數圖象特征：冪函數，當時，假設，其圖象在直線下方，假設，其圖象在直線上方，當時，假設，其圖象在直線上方，假設，其圖象在直線下方補充知識二次函數1二次函數解析式的三種形式一般式：頂點式：兩根式：2求二次函數解析式的方法三個點坐標時，宜用一般式拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大小值有關時，常使用頂點式假設拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標時，選用兩根式求更方便3二次函數圖象的性質二次函數的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增，當時，；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減，當時，二次函數當時，圖象與軸

13、有兩個交點4一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這局部知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理韋達定理的運用，下面結合二次函數圖象的性質，系統地來分析一元二次方程實根的分布 設一元二次方程的兩實根為，且令，從以下四個方面來分析此類問題：開口方向：對稱軸位置：判別式：端點函數值符號 kx1x2x1x2k x1kx2 af(k)0k1x1x2k2有且僅有一個根x1或x2滿足k1x1或x2k2 f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合k1x1k2p1x2p2此結論可直

14、接由推出 5二次函數在閉區間上的最值 設在區間上的最大值為，最小值為，令當時開口向上假設，那么假設，那么假設，那么xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)假設，那么，那么xy0>aOabx2-=pqf(p)f(q)()當時(開口向下)假設，那么假設，那么假設，那么xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)假設，那么，那么xy

15、0<aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0<aOabx2-=pqf(p)f(q)第三章 函數的應用一、方程的根與函數的零點1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點3、函數零點的求法：求函數的零點： 代數法求方程的實數根； 幾何法對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點4、二次函數的零點：二次函數，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點，方程有兩相等實根二重根，二次函數的

16、圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點高中數學 必修4知識點第一章 三角函數1、角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，那么稱為第幾象限角第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標軸上的角的集合為2、與角終邊一樣的角的集合為3、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度4、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，那么角的弧度數的絕對值是5、弧度制與角度制的換算公式：，Pvx y A O M T 6、假設扇形的圓心角為，半徑為，弧長

17、為，周長為，面積為，那么，7、設是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，那么，8、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正9、三角函數線：，10.三角函數的根本關系：；.3 倒數關系：11、函數的誘導公式：，口訣：函數名稱不變，符號看象限，口訣：正弦與余弦互換，符號看象限12、的圖象上所有點向左右平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長縮短到原來的倍縱坐標不變，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長縮短到原來的倍橫坐標不變，得到函數的圖象數的圖象上所有點的橫坐標伸長縮短到原來的倍縱

18、坐標不變，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點向左右平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長縮短到原來的倍橫坐標不變，得到函數的圖象13、函數的性質：振幅：；周期：；頻率：；相位：；初相：函數，當時，取得最小值為 ；當時，取得最大值為，那么，14、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：函數性質y=cotx圖象定義域值域最值當時，；當時，當時， ；當時，既無最大值也無最小值既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數偶函數奇函數奇函數單調性在上是增函數；在上是減函數在上是增函數；在上是減函數在上是增函數對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸對稱中心無對稱軸第

19、三章 三角恒等變換1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：； ； 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：升冪公式降冪公式， 3、合一變形把兩個三角函數的和或差化為“一個三角函數，一個角，一次方的 形式。，其中數學選修2-2導數及其應用一.導數概念的引入1. 導數的物理意義：瞬時速率。一般的，函數在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數，記作或，即=2. 導數的幾何意義：曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切。容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即3. 導函數：當x變化時，便是x的一個函數，我們稱它為的導函數. 的導函數有時也記作,即二

20、.導數的計算根本初等函數的導數公式:1假設(c為常數)，那么； 2 假設,那么;3 假設,那么 4 假設,那么;5 假設,那么 6 假設,那么7 假設,那么 8 假設,那么導數的運算法那么1. 2. 3. 復合函數求導 和,稱那么可以表示成為的函數,即為一個復合函數三.導數在研究函數中的應用1.函數的單調性與導數: 一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減.2.函數的極值與導數極值反映的是函數在某一點附近的大小情況. 求函數的極值的方法是:1如果在附近的左側,右側,那么是極大值2如果在附近的左側,

21、右側,那么是極小值;4.函數的最大(小)值與導數 求函數在上的最大值與最小值的步驟： (1)求函數在內的極值；(2)將函數的各極值與端點處的函數值，比擬，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.附：高中數學常用公式及常用結論.1.函數的單調性(1)設那么上是增函數；上是減函數.(2)設函數在某個區間內可導，如果，那么為增函數；如果，那么為減函數.2.如果函數和都是減函數,那么在公共定義域內,和函數也是減函數; 如果函數和在其對應的定義域上都是減函數,那么復合函數是增函數.3奇偶函數的圖象特征奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數4.假設函數是偶函數，那么；假設函數是偶函數，那么.5.對于函數(),恒成立,那么函數的對稱軸是函數;兩個函數與 的圖象關于直線對稱.6.假設,那么函數的圖象關于點對稱; 假設,那么函數為周期為的周期函數.7多項式函數的奇偶性多項式函數是奇函數的偶次項(即奇數項)的系數全為零.多項式函數是偶函數的奇次項(即偶數項