1、第九章 曲線積分與曲面積分 第一節(jié) 對弧長的曲線積分 98頁定理 ：設(shè)L參數(shù)方程為：，則，這里要求（下限小于上限）同理，設(shè)空間曲線參數(shù)方程為：,則 這里要求.直角坐標(biāo)下 設(shè)曲線L的直角坐標(biāo)方程為：，則同理，設(shè)曲線L的直角坐標(biāo)方程為：，則補(bǔ)充例1：計(jì)算是上間的一段弧。補(bǔ)充例2：計(jì)算:為圓柱螺線，的一段弧。.習(xí)題9-1 對弧長的曲線積分 102頁.計(jì)算下列對弧長的曲線積分在第一象限部分。(2) ，L為園周，解：原式=（3）的直線段。(4) ，L為直線及拋物線所圍區(qū)域的整個(gè)邊界.解：原式y(tǒng)xaOBA（5）.，L為，直線及x軸在第一象限中所圍圖形的邊界.解：，圓弧.線段：，由及 得 ，, 因此 (6)

2、 ，其中為折線，各點(diǎn)坐標(biāo)：。解：,故 原式=補(bǔ)充；，其中為曲線，上相應(yīng)于t從0到2的這段弧.解：原式練習(xí)冊1設(shè)在面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線弧在點(diǎn)處的線密度為用對弧長的曲線積分表示：（1） 這曲線弧（2） 這曲線弧（3） 這曲線弧2： 計(jì)算，其中L為右半單位圓. 題圖解：法一:由，考察，則.;法2:由，則.法3:由，故.法4：3計(jì)算:為以點(diǎn)（0，0），（2，0），（0，1）為頂點(diǎn)的三角形 題圖4求空間曲線的弧長。解：5有一鐵絲成半圓形其上每一點(diǎn)處的密度等于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求鐵絲的質(zhì)量。 題圖 第二節(jié)，對坐標(biāo)的曲線積分 103頁設(shè)為有向曲線弧，是與方向相反的有向曲線弧，則 . 對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算L

3、的參數(shù)方程為：，對應(yīng)于L的起點(diǎn)，對應(yīng)于L的終點(diǎn)，不一定小于.且;則同理，空間曲線的參數(shù)方程為：，對應(yīng)于的起點(diǎn)，對應(yīng)于的終點(diǎn)，不一定小于.則 直角坐標(biāo)下，設(shè)曲線L的直角坐標(biāo)方程為，a對應(yīng)于L的起點(diǎn)，b對應(yīng)于L的終點(diǎn)，a不一定小于b. 則同理，設(shè)曲線L的直角坐標(biāo)方程為：，c對應(yīng)于L的起點(diǎn)，d對應(yīng)于L的終點(diǎn)，c不一定小于d. 則注意:積分下限要對應(yīng)積分路徑的起點(diǎn)，積分上限要對應(yīng)積分路徑的終點(diǎn).補(bǔ)充例子：計(jì)算為：（1）半徑為，圓心為原點(diǎn)，逆時(shí)針方向繞行的上半圓周。（2）從點(diǎn)沿軸到的直線段。解：，例子中，兩個(gè)積分的被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但沿不同路徑的積分值并不相等。三. 兩類曲線積分之間的聯(lián)系

4、O 其中為L上點(diǎn)處的切向量的方向角。為上處切向量的方向角.習(xí)題9-2 對坐標(biāo)的曲線積分 109頁1. 計(jì)算下列對坐標(biāo)的曲線積分：按逆時(shí)針方向繞行一周。解：令的直線段。 題圖 (3) ，L為園周，上對應(yīng)t從0到的一段弧；解：原式=（4）L為及軸所圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界。（按逆時(shí)針方向繞行）。解：L為直線段和弧段之和，顯然： (5) ，L為園周（按逆時(shí)針方向繞行）；（7）上對應(yīng)從0到的一段弧。3 把對坐標(biāo)的曲線積分化為對弧長的曲線積分，其中為：（1）在面內(nèi)沿直線從點(diǎn)（0，0）到點(diǎn)（1，1）。解:(3)沿上半圓周從點(diǎn)（0，0）到點(diǎn)（1，1）。解:補(bǔ)充：，L為上點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。解：原式11補(bǔ)

5、充：. 計(jì)算，L是：（1） 拋物線上從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,2)的一段弧。42解：所以：（2） 從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,2)的直線段。解：，所以原式先沿直線從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(1,2)，然后再沿直線到點(diǎn)(4,2)的折線；42練習(xí)冊1. 計(jì)算，L為園周（按逆時(shí)針方向繞行）；2計(jì)算，L是拋物線上從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(2,4)的一段弧；解：依題意有：原式3計(jì)算上對應(yīng)的一段弧。解：原式=4計(jì)算，為有向閉折線依次為點(diǎn)。 解：，, 5方向沿縱軸正方向，大小等于作用點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方的力構(gòu)成一力場，求質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿拋物線從點(diǎn)（1，0）移動(dòng)到點(diǎn)（0，1）時(shí)場力所做的功 題圖解：記曲線第三節(jié).格林公式及其應(yīng)用 11

6、0頁邊界曲線L的正向：當(dāng)觀察者沿邊界正向行走時(shí)，區(qū)域總在他的左手邊。定理1設(shè)是平面上以分段光滑封閉曲線為邊界的有界閉區(qū)域,及在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有格林公式,其中是區(qū)域的正向時(shí)取正號(hào)；負(fù)向時(shí)取負(fù)號(hào).若不滿足Green公式的條件： 曲線L不封閉，則可補(bǔ)直（曲）線，使之封閉，再減去所補(bǔ)直（曲）線上的積分；（2）閉D內(nèi)有“點(diǎn)洞”，則可作小園挖去“點(diǎn)洞”.補(bǔ)例 計(jì)算，其中L為正向圓周.解：法一 滿足Green公式條件，DDD 原式法二：直接計(jì)算：，則：二.曲線積分與路徑無關(guān)的條件定義：設(shè)是一個(gè)單連通域,若對內(nèi)任意指定的兩點(diǎn),B以及內(nèi)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的任意兩條不同的曲線,有,則稱曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān).這

7、時(shí)可將曲線積分記為.定理：設(shè)函數(shù)和在單連通區(qū)域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分與路徑無關(guān)充分必要條件是:在區(qū)域G內(nèi)恒成立. 若在G內(nèi)恒有成立，則曲線積分與路徑無關(guān).這時(shí)積分路徑可以走與坐標(biāo)軸平行的折線，稱折線法.即 或 二元函數(shù)全微分求積定理：設(shè)區(qū)域G是單連通域，函數(shù)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在G內(nèi)為某函數(shù)的全微分的充要條件是在G內(nèi)成立. 同時(shí)有：或者其中在G內(nèi).補(bǔ)例 計(jì)算，L：，逆時(shí)針方向一周.解：曲線積分滿足Green公式的條件，且， 原式其中二重積分的計(jì)算利用了對稱性.補(bǔ)例 證明：只與L的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，而與所取路徑無關(guān)，其中L不經(jīng)過y軸，且求的值.解：由 ；有 ，.只要L不經(jīng)過y軸，

8、曲線積分與路徑無關(guān). 取折線路徑：. 則方法二 用直接計(jì)算法（取直線AB）由兩點(diǎn)式，直線AB：，則.補(bǔ)例 計(jì)算 ，其中是閉折線.解：ABOA為負(fù)向.補(bǔ)充例子：，為圓周正向.解：因?yàn)槭钦蜷]路，有人就利用Green公式計(jì)算如下： 原式這是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果.事實(shí)上，曲線為：，.故原式為什么？因、在D上不連續(xù)（原點(diǎn)是奇點(diǎn)），不滿足Green公式的條件.討論(1)也可以按如下作法來應(yīng)用Green公式計(jì)算：曲線積分沿：的正向，因此上有：又，在圍成的區(qū)域D內(nèi)連續(xù). 原式討論(2)若改為不包含也不通過原點(diǎn)的任意閉曲線，（例如：逆時(shí)針方向）因?yàn)檫B續(xù)；則原式=0討論(3)若改為包含原點(diǎn)的任意正向閉曲線.由于包含原

9、點(diǎn)，由所圍成的區(qū)域是復(fù)連通域.為了除去原點(diǎn)（點(diǎn)洞），作小圓，為逆時(shí)針方向，a充分小，使得小的圓周也包含在之中. 故有，因?yàn)椋? 即 故：包含原點(diǎn)在任意正向閉路上的積分等于包含原點(diǎn)的充分小的正向圓周上的積分.故 補(bǔ)例：設(shè)是沿上半圓周=1上的點(diǎn)（1，0）到一段弧，如圖.解一，曲線積分與路徑無關(guān)，可選線段.得=.解二設(shè)為參數(shù)，從0到得=（+cos4t）.補(bǔ)例 計(jì)算，其中L為逆時(shí)針方向一周. 解：因?yàn)長上；所以補(bǔ)充例：設(shè)是任意一條分段光滑的閉曲線，證明：證明：，有：習(xí)題9-3 Green公式及其應(yīng)用 120頁1. 利用Green公式，計(jì)算下列曲線積分：（1），L是拋物線和所圍區(qū)域的正邊界.解：由G

10、reen 公式，（2）為頂點(diǎn)分別為（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形正向邊界。解：（4），為正向星形線。解：（2），其中L是四個(gè)頂點(diǎn)分別為（0，0），（2，0），（2，2）和（0，2）的正方形的正向邊界。解：在上連續(xù)，所以由格林公式有2 用曲線積分計(jì)算下列曲線所圍的面積.（1）橢圓：（3）圓：解：參數(shù)方程：3計(jì)算的一段弧。L4. 計(jì)算，L為園周，方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向. 解：，除原點(diǎn)外上式恒成立包含原點(diǎn)，因此作小圓，（a充分小）方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.則5. 證明下列曲線積分在整個(gè)xoy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分值：（1）解：因?yàn)榍€積分在xoy面內(nèi)與路徑無關(guān).取路徑：(2) 解：曲線積分在整個(gè)x

11、oy面內(nèi)與路徑無關(guān).取路徑：補(bǔ)充：解：曲線積分在xoy面內(nèi)與路徑無關(guān). 取路徑：補(bǔ)充：利用Green公式，計(jì)算曲線積分：，L為在拋物線上由點(diǎn)(0,0)到的一段弧； 解：，所以：法2該曲線積分在整個(gè)xoy面內(nèi)與路徑無關(guān). 取路徑，故原式6. 驗(yàn)證下列在整個(gè)xoy平面內(nèi)是某一個(gè)函數(shù)的全微分，并求這樣的一個(gè)：（1）解：,（2）解：，在整個(gè)面內(nèi)恒成立，是某函數(shù)的全微分，積分路線如圖所示，則：本題的不定積分解法：因 ， ,對y求偏導(dǎo)數(shù)：，而 ，故,因此，(C為常數(shù))或：是某函數(shù)的全微分，故：(4) ； 解：,除原點(diǎn)外均成立.取. 則補(bǔ)充：； 解：,除原點(diǎn)外均成立.取. 則練習(xí)冊2 用曲線積分計(jì)算星形線所

12、圍的面積.解：3. 計(jì)算，L為園周，方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.a題圖 解：，但法2：，.4計(jì)算的正弦曲線L5.證明在整個(gè)xoy平面內(nèi)是某一個(gè)函數(shù)的全微分，并求這樣的一個(gè)：,取. 則6試確定與路徑無關(guān)，并求當(dāng)時(shí)曲線積分的值。解故:原式=7求OL題（1）圖題（2）圖解：（1）因?yàn)樗缘狞c(diǎn)成立，顯然L包含的區(qū)域不包含（1，0）。所以 第四節(jié) 對面積的曲面積分 121頁設(shè)曲面的方程為：在xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)椋谏嫌羞B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，則同理，如果曲面的方程可以寫為或，則把投影到y(tǒng)oz平面上（投影區(qū)域?yàn)椋┗騲oz平面上（投影區(qū)域?yàn)椋﹦t習(xí)題9-4 對面積的曲面積分 125頁3計(jì)算，為拋物面在xoy面上方的部

13、分.分別如下：（1）；（3）解:原式=4 計(jì)算： (5) ，為錐面被柱面所截的有限部分；補(bǔ)充：求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的面密度的大小為.(上題等價(jià)于：曲面上每點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到xoy面的距離，求曲面的質(zhì)量).解:原式=練習(xí)冊1設(shè)有一分布著質(zhì)量的曲面處的面密度為用曲面積分表示：曲 ;曲曲2 ，其中為平面在第一卦限中的部分； 解：故：3 計(jì)算：，其中為錐面及平面所圍城的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面。.1記：，所以： 4計(jì)算，其中是界于平面及之間的園柱面；解：此圓柱面不能表為的形式，故不能在面投影。所以或法2：原式5計(jì)算zxy解：因?yàn)橥队八匝a(bǔ)充：計(jì)算 第五節(jié) 對坐標(biāo)的曲面積分直接投影法：把曲面的表達(dá)式直接

14、代入被積表達(dá)式中，再取定有向曲面的側(cè)的符號(hào).其中前側(cè)、右側(cè)、上側(cè)取正號(hào)；后側(cè)、左側(cè)、下側(cè)取負(fù)號(hào).、分別為曲面在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影區(qū)域.因此，曲面積分P、Q、R三項(xiàng)齊全時(shí)，要分別向三個(gè)坐標(biāo)面投影.有Pdydz，則把向yoz平面投影；有Qdzdx，則把向zox平面投影；有Rdxdy，則把向xoy平面投影.三 兩類曲面積分之間的聯(lián)系：如果取上側(cè)其中；，；是曲面上點(diǎn)處的法向量的方向余弦. 間接投影法：設(shè)曲面由方程表出，函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（是在xoy面上的投影）.由；,；則 其中為上側(cè)時(shí)取正號(hào)，為下側(cè)時(shí)取負(fù)號(hào).同理可得把投影到y(tǒng)oz平面或xoz平面上的相應(yīng)的公式.補(bǔ)例下列各計(jì)算的理由及結(jié)果是否正

15、確？為什么？其中均為球面的外側(cè)表面.(1) ，因?yàn)楸环e函數(shù)z是關(guān)于z的奇函數(shù)，且積分區(qū)域?qū)ΨQ；(2)，考慮到和的側(cè)的符號(hào)，而且在xoy平面上的投影都圓域：，故 解：對坐標(biāo)的曲面積分，不僅要考慮被積函數(shù)，還要曲面的側(cè)的符號(hào).故(1)(2)中的理由及結(jié)果是錯(cuò)誤的.因?yàn)?1)只考慮了被積函數(shù)z在上有正負(fù)，即是一個(gè)雙值函數(shù)，而沒有考慮曲面有側(cè)的符號(hào)，也有正有負(fù). 而(2)中只考慮了曲面的側(cè)的符號(hào)有正有負(fù)及相同的投影區(qū)域，而忘了被積函數(shù)是定義在上的雙值函數(shù)，z在和是不相同的.正確的計(jì)算應(yīng)該是兩者同時(shí)考慮，即習(xí)題9-5 對坐標(biāo)的曲面積分134頁2 計(jì)算下列對坐標(biāo)的曲面積分： (1) ，是球面下半部分的下側(cè)

16、；(2) ，其中是圓柱面被平面所截得的在第一卦限部分的前側(cè)；(3)，是球面外側(cè)在的部分。解：把分成，積分曲面取上側(cè)。則：，所以：(4)，其中是長方體的整個(gè)表面的外側(cè)，。 解：把有向曲面分成以下六個(gè)部分：除外，其余四片在面上的投影為0，因此：類似的：3 把對坐標(biāo)的曲面積分化為對面積的曲面積分，其中（1）是拋物面在xoy面上方的部分的上側(cè).解:原式，取法向量，從而原式=（2）是平面在第一卦限部分的上側(cè)。解：原式=4利用兩類曲面積分之間的關(guān)系計(jì)算： (1) ，其中是圓錐面被所截下部分的下側(cè)；解：添上側(cè)，則(2) ，為連續(xù)函數(shù)，是平面在第四卦限部分的上側(cè)；解：由有，.在xoy平面上的投影為.，為上側(cè)，

17、取正號(hào)；原式=（三角形面積）.練習(xí)冊1當(dāng)面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí)，與二重積分的關(guān)系為：2計(jì)算的上側(cè)。3計(jì)算所圍空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。4，是長方體的整個(gè)表面的外側(cè)。解：把分成以下六部分： 除外，其余四片在面上的投影為0，因此：類似的：所以5計(jì)算所截出部分的外側(cè)。2yxxy題圖解：記，由高斯公式有：-22xx+z=2-222xy 第六節(jié) Gauss公式通量與散度定理1 若空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成， 函數(shù)、在閉上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲面積分化為三重積分計(jì)算. 即是外側(cè)，則右端取正。若是曲面的內(nèi)側(cè)，則右端取負(fù)。若曲面不封閉，則可補(bǔ)面，使之封閉，再減去所補(bǔ)面上的積分；補(bǔ)充例子1：利用高斯

18、公式計(jì)算曲面積分：為錐面介于平面和之間部分的下側(cè)，是在點(diǎn)處的法向量的方向余弦。h解：不封閉，設(shè)：一起構(gòu)成一個(gè)封閉曲面，記它們圍城的空間閉區(qū)域?yàn)椋筛咚构剑海⒁獾剑杭吹茫憾?所以：補(bǔ)例2 設(shè)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，試計(jì)算曲面積分，為的錐面與球面，所圍立體表面的外側(cè).解：且，.原式.球坐標(biāo)： 原式補(bǔ)例3：計(jì)算，是錐面的外側(cè).解：補(bǔ)平面上側(cè)，則+封閉，且為外側(cè). 又由，所以（奇且對稱）原式（奇且對稱）補(bǔ)例4 計(jì)算，是旋轉(zhuǎn)曲面 的外側(cè).解：補(bǔ)上側(cè)；投影區(qū)域?yàn)閳A域：.公式：原式=(奇且對稱）補(bǔ)例5 計(jì)算，是曲面被截部分的上側(cè).解：下做法有錯(cuò)：用Gauss公式，補(bǔ)平面取上側(cè)，使為封閉曲面，又有：.原式這是錯(cuò)誤

19、的. 問題出在雖然成為封閉曲面，但沒有構(gòu)成外側(cè)的條件. 只有取的下側(cè)，才能使+的閉曲面構(gòu)成外側(cè). 因此，前面計(jì)算的實(shí)際上是：；而 原式.習(xí)題9-6 Gauss公式通量與散度 142頁1. 利用Gauss公式計(jì)算曲面積分：（1），為立體, 外表面外側(cè).解：滿足Gauss公式條件，且，.原式，三重積分利用了輪換對稱性.(2)，為曲面及平面所圍成空間閉區(qū)域整個(gè)邊界曲面的外側(cè).解：曲面積分滿足Gauss公式的條件，且則（3）其中是曲面及所圍立體表面的外側(cè)；(4) ，其中是上半球面的上側(cè)；解:添下側(cè)，則原式（5），是曲面被截部分的下側(cè).解：用Gauss公式，補(bǔ)平面，取上側(cè)，使為封閉曲面，又有：.原式(3) 為上半球體的表面外側(cè)；原式= (4) 是界于和之間的園柱體的整個(gè)表面外側(cè)；解:原式=練習(xí)冊1計(jì)算為平面所圍成立體表面的外側(cè)。 題圖解：由高斯公式：2計(jì)算外側(cè)的上半部分題圖3 設(shè)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，試計(jì)算